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丢番图

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丢番图_第1页
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请对照图片内容,把错误的修改过来(图片不要删掉)请对照图片内容,把错误的修改过来(图片不要删掉) 然后发邮箱:然后发邮箱:liongcq@,,谢谢!谢谢!丢番图梁宗巨(辽宁师范大学)丢番图(D10phantus 05 前后活跃于亚历山大.数学.丢番图梁宗巨(辽宁师范大学)丢番图(D10phantus 05 前后活跃于亚历山大.数学.丢番图生存的年代,是根据下面的记载来确定的在他的著作《多角数》(De polygonis numeris)中,引用了许普西克勒斯(Hypsicles of A1exandria,约公元前 175 年)关于多角数的定义,而赛翁(Theon of Alexandria)的书又引用丢番图的著作.这样界定的上、下限是公元前 175 年到公元 390 年.另外,M.C.普赛勒斯(Psellus,1018 一约 1078)2)写过一封信,提到阿纳托利厄斯(Anatolius,约公元 280 年)将他所著的关于埃及计算方法的小册子献给丢番图,因此两人应同时代或丢番图稍早” .据此断定丢番图的活跃时期是公元 250 年前后.丢番图将他的杰作《算术》(Arithmetica)献给迪奥尼修斯(Dionysius).历史上用这一个名字的有好几个,估计这一个是亚历山大的迪奥尼修斯,他是当地的主教.在任主教(公元 247 年)之前,曾在那里建立基督教学校(从公元 231 年起)。

丢番图的《算术》可能就是为这些学校编写的教科书.这种推想是合倩合理的,年代也和前面所说的一致.关于丢番图的生平,还有一则别开生面的记载.在一本《希腊诗文选》(The Greek anthology)中,收录了丢番图奇特的基志铭(见[7],p.512):坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了所经历的道路上帝给予的童年占六分之一,又过十二分之一,两颊长胡,再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛五年之后天赐贵子,可伶迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓悲伤只有用数论的研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途.这相当于方程,xxxxx421571 121 61x=84由此知他享年 84 岁丢番图的著作确实知道他有两种著作,是《算术》 ,大部分保存了下来;另一种以《多角数》 ,只有少部分留下来.还有两种书,一是《推论集》(Porismata)它只是在《算术》中几次提到,可能是若干数论问题的汇编,独立成册,也可能是附属在《算术》中的失传部分. 此外,伊空布利霍斯(Iamblichus,约公元 250 一约 330 年)所著《尼科马霍斯<算术>评注》一书的注释者还提到丢番图另外一本书《分数算法》(Moriastica),它记载了分数计算的法则,可惜已失传。

丢番图的《算术》是一部划时代的著作它在历史上影响之大可以和欧几里得《几何原本》(E1ements)一比高下. 这书的序中说,全书共分 13 卷.(见[7]p.517.)可是现在见到的希腊文本只有 6 卷.长期以来,大家都认为其余的 7 卷早在 10 世纪以前已经失传. 5 世纪时希帕提娅(Hypatia)注释这部书,只注了 6 卷,也许这正是其余部分被人忽视终致失传的原因.(见[8],p449.)近年来,发现 4 卷阿拉伯文本,改变了传统的看法.1973 年 G.图默(Toomer)获悉在马什哈德圣地(Mashhad Shrine)图书馆有一本阿拉伯文手抄本,经过研究,确认为《算术》的失传部 (但还不全). 这是由古斯塔伊本卢加(Qusta ibn Luqa,活跃于 860 年前后)译成阿拉伯文的,后来 J.塞夏诺(Sesiano)将它译成英文并加以详细注释(见[6]).经过反复推敲,塞夏诺指出这卷在《算术》中原来的位置应该是紧接着希腊文本卷 1,2,3的卷 4,5,6,7,而希腊文的其余部分应是卷 8,9,10.下面将按这新的顺序编排来介绍它的内容.原来的 6 卷希腊文本,最初是 J. 雷格蒙塔努斯(Regiomontantls,1436——1476)发现的.1464 年 2 月 15日,他写信给 L.比安基(Bianchi),提到他在威尼斯找到了丢番图的《算术》 ,从此面方学术界才知道有 6 卷希腊文手抄本流传下来.最早的拉丁文译本是 G.克胥兰德(Xylander,I 532—1576)的“Diophanti A1er&ndrini Rerum arithmeticarun libri sex,et de numeris multangulis liber unus” (《亚历山大的丢番图算术 6 卷,多角数 1 卷》).以后又有 C.—G.巴歇(Bachet de Meziriac,1581—1638)校订注释的希腊—拉丁文对照本“Diophanti A1exandrini Arithmeticorum libri sex , et de numeris multangulis liber unus”(《亚历山大的丢番图算术 6 卷,多角数 1 卷》). 关于这个译本,有一段饶有趣味的历史.1637 年左右,P.de费马(Fermat,1601—1665)读到这译本第 2 卷第 8 题:“将一个平方数分为两个平方数”时,在书页的空白处写出了著名的“费马大定理” ,1670 年费马的儿子 S.de 费马(Fermat)将他父亲的全部批注插入正文,重新出版巴歇的希—拉对照本。

近代,不包括新发现 4 卷的“丢番图全集” ,标准的版本是 P.唐内里(Tannery,I 843—1904,法国数学史家)编辑、校订的希—拉对照本 “Diophanti A1exandrini opera omnia cum Graecis commentariis”(《亚历山大的丢番图全集,包括希腊文注释》).最流行的英译本是 T.L.希思(Heath, 1861—1940)的“Diophantus of A1exandria , A Study in the history of Greek algebra (《亚历山大的丢番图,希腊代数学史研究》).此外,还有德、法、英、俄及现代希腊语等多种译本.代数学的特征希腊时代“算术”(arithmetica)一词,主要指“数的理论”而言,大致相当于现在的“数论” .而数字的加、减、乘、除等运算则叫做“计算的技巧”(logistica),和前者有明显的区别.这种分法翅毕达哥拉斯时代开始,一直延续到近代,例如 C.F.高斯(Gauss)的数论名著就叫做《算术研究》(Disquisitones Arithmeticae,1801)。

丢番图《算术》也是讲数论的,它讨论了一次、二次以及个别的三次方程,还有大量的不定方程.现在对于具有整系数的不定方程,如果只考虑其整数解,这类方程就叫做丢番图方程,它是数论的一个分支不过丢番图并不要求解答是整数而只要求是正有理数从另一个角度看, 《算术》一书也可以归人代数学的范围代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数,并对未知数加以运算,根据问题的条件列出方程,然后解方程求出未知数.算术也有未知数,这未知数一般就是问题的答案,一切运算只允许对已知数来施行.在代数中既然要对未知数加以运算,就需要用某种符号来表示它.就引入未知数,创设未知数符号以及建立方程的思想(虽然未有现代方程的形式)这几方面来看,丢番图《算术》完全可以算得上是代数. 当时代数学没有专门的名称,algebra 是 9 世纪花拉子米(a1—Khowarizmi)以后才出现的名称,而且直到 17 世纪还没被欧洲人普遍接受. 丢番图将这方面的成果冠以算术之名是很自然的.他被后人称为“代数学之父”也是有一定道理的希腊数学自毕达哥拉斯学派以后,兴趣中心在几何,他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的.为了逻辑的严密性,代数也披上了几何的外衣,一切代数问题,甚至简单的一次方程的求解,也都纳入僵硬的几何模式之中.直到丢番图,才把代数解放出来,摆脱了几何的羁绊.(见[9],p.238.)例如,(a+b)的关系在欧几里得《几何原本》中是一条重要的几何定理(卷 II 命题 4),而在丢番图《算术》2222baba中只是简单代数运算法则的必然结果。

然结果.下面通过一个例子来说明丢番图解决问题的手法.卷 II 第 20 题:求两数,使得任一数的平方加上另一数等于一个平方数. ([10],p.101)这相当于不定方程2222nxymyx要求所有的未知数 x,y,m,n 都是正有理数丢番图只设一个未知数,也只使用一个未知数的符号,这是他的特点之一,今暂记作 x其余的未知数根据问题的具体条件用含 x 的一个简单式子表示出来本例的条件是加上另一个未2x知数等于一个平方数,故可设这个未知数是,因为正好是一个完全平方.其次,还应12 x122 xx该满足 =平方数.xx212丢番图设右端是,显然是想使展开后左右两端相同的 4项可以对消,于是得到,另222 x24x133x一数是.1319-2 是怎样来的?不妨先令右端是,消去后可222442aaxxax24x得.为了保证 x>0,需使 a<,最简单的办法是令aax45124511a或2a-原文很简单,没有说明这样设未知数的理由,更没有给出一般的法则.他虽然知道问题有多个答案,但常常得到一个答案就已满足.他认为代数方法(可理解为一种倒推法,先假设未知数存在,列出方程然后求解)比几何的演绎陈述更适宜于解决问题.解题的过程中显示出高度的巧思和独创性,在希腊数学中独树一帜.有的数学史家说 (见[11],p。

60),如果丢番图的著作不是用希腊文写的,人们就不会想到这是希腊人的成果,因为看不出有古典希腊数学的风格,从思想方法到整个科目结构都是全新的.如果没有丢番图的工作,也许人们以为希腊人完全不懂代数.有人甚至猜想他是希腊化了的巴比伦人(见[13],p.74.)代 数 符 号G.H.F.内塞尔曼(Nesselmann, 1811—1881)根据符号使用的情况,将代数学分为三类(见[12],pp.301—306):(1)文词代数(rhetorische algebra),完全用文字来叙述而不用符号;(2)简字代数(synkopierte algebra);(3)符号代数(symbolische algebra),除了个别地方,一切全用符号来表示按照这个分类,丢番图《算术》应该属于第二类符号的使用,在数学史上是一树大事一套优良的符号,绝不仅仅是起到加快速度、节省时间的作用,它能够准确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系一个较复杂的式子,如果不用符号而日常语言来表述,会十分冗长而含混不清.符号的发明在数学史上是一次飞跃,也是代数的特征之一,其作用是不容低估的丢番图创设了一些符号,多半来自相应文字的字头,而问题的叙述主要仍然是用文字,和现代的符号代数相去甚远,只可算是轻原始的简字代数.他用 M 表示数的单位,取自射 Movas(单位)的字头.未知数定义为“未确定单位的数量”并叫做apiouos(数),用特殊的符号来表示它.由于丢番图本人的原始手稿早已失传,后人传抄的手稿上这个符号又不很统一,故很难确知他用的是什么符号.不过几种手稿都像是,这是希腊字母放在词尾的形状.(见[8],p.456)希腊记数法系统是用字母表数,如“···分别表示,,,,1,2,3,4···;···分别表示 10,20,30,40,···;···分别表示· ,,,,,,,,100,200,300,400,···等等,24 个字母都用到了,还外加 3 个符号,就是的词尾形状没有用到,故用它来表示未知加 3 个符号,就是的词尾形状没有用到,故用它来表示未知数,可以不至和数目字相混,它同时又是如的词尾.值得注意的是,在一份大约写于 2 世纪的纸草书上,也出现和丢番图未知。

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