第 1 页 共 12 页 数学九年级上册知识点总结数学九年级上册知识点总结 第一章第一章 特殊的平行四边形复习特殊的平行四边形复习 1.1.矩形、菱形性质及判定矩形、菱形性质及判定 矩形矩形菱形菱形正方形正方形 定义定义 性性 质质 边边 角角 对角线对角线 判判 定定 边边 角角 对角线对角线 对称性对称性 一、一、矩形矩形 例 1：若矩形的对角线长为 8cm，两条对角线的一个交角为 60 0，则该矩形的面积为 例 2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （） A． 对角线互相平分；B.四条边都相等；C.对角相等；D.邻角互补 例 3：已知：如图，□ABCD 各角的平分线分别相交于点 E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 是矩形． 二．菱形二．菱形 例例 1 1已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD=∠CBE． 例例 2 2 已知：如图ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F．求证：四边形 AFCE 是菱形． 第 2 页 共 12 页 例例 3 3、、如图，在ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 AC 的垂线与边 AD、BC 分别交于 E、F，求证： 四边形 AFCE 是菱形. 例例 4 4、、已知如图，菱形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE 、BD 交于 M，若 AB=AE,∠EAD=2∠BAE。
求证：AM=BE 例例 5 5．．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E． (1)求线段BE的长． 例例 6 6、、如图，四边形 ABCD 是菱形，DE⊥AB 交 BA 的延长线于 E，DF⊥BC，交 BC 的延长线于 F请你猜想 DE 与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想 例例 7 7、、如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点，且满足 AE+CF=2. （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围. A B C D E F O 1 2 B M A D C E D A B C O E 60 第 3 页 共 12 页 三．正方形三．正方形 例例 1 1 已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O，E 是 OB 上的一点，DG⊥AE 于 G，DG 交 OA 于 F． 求证：OE=OF． 例例 2 2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A、C 两点作l1∥l2，作 BM⊥l1于 M，DN⊥l1于 N，直线 MB、 DN 分别交l2于 Q、P 点．求证：四边形 PQMN 是正方形． 实战演练： 1.对角线互相垂直平分的四边形是（） A．平行四边形、菱形 B．矩形、菱形 C．矩形、正方形D．菱形、正方形 2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（） A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形 3.如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（） A．当 AB=BC 时，它是菱形B．当 AC⊥BD 时，它是菱形 C．当∠ABC=90 0时，它是矩形 D．当 AC=BD 时，它是正方形 4.如图，在ABC△中，点EDF， ，分别在边AB，BC，CA上，且DECA∥，DFBA∥．下列四个判 断中，不正确的是（） A．四边形 AEDF 是平行四边形B．如果∠BAC=90°，那么四边形 AEDF 是矩形 C．如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果ADBC且ABAC，那么四边形AEDF是菱形 5.如图， 四边形ABCD为矩形纸片． 把纸片ABCD折叠， 使点B恰好落在CD边的中点E处， 折痕为AF． 若 6CD ，则AF等于（） A．4 3B．3 3C．4 2D．8 6.如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交ADBC， 于EF，点，连结CE，则CDE△的周长为（） A．5cmB．8cmC．9cmD．10cm D C B A Ａ Ｆ Ｃ Ｄ Ｂ Ｅ ＢＦ Ｃ Ｅ Ｄ Ａ A O B C D E F 第 4 页 共 12 页 7.在右图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点） ， 若方格纸中每个最小正方形的边长为 1，则该菱形的面积为 8.如图，在矩形ABCD中，对角线ACBD，交于点O，已知1202.5AODAB ， ，则AC的长 为． 9.边长为５cm 的菱形，一条对角线长是 6cm，则另一条对角线的长是. 10.如图所示，菱形ABCD中，对角线ACBD，相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方 形，则这个条件是（只填一个条件即可） ． 11.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是． 应用探究： 1.如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在 C 处， BC 交AD于E，若22.5DBC°， 则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（） A．6 个B．5 个C．4 个D．3 个 2.如图，正方形ABCD的面积为 1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是（） A． 3 10 B． 1 3 C． 2 5 D． 4 9 3.已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中1与2一定不相等的是（） A．B．C．D． 4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm的红丝带交叉成 60°角重叠在一起 （如图） ，则重叠四边形的面积为_______ 2. cm A B C D A B C D A D C B O BC DA P A B E C D C 22.5 D A C B M BA 1 DC 2 1 1 2 BA DC BA C 1 2 D 1 2 BA DC 第 5 页 共 12 页 5.如图，将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，若 EH＝3 厘米，EF＝ 4 厘米，则边 AD 的长是___________厘米. 6.如图，已知AOBOAOB，，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中 画出AOB的平分线（请保留画图痕迹） ． A B F E O 7.如图：矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC 的长是． A BC P D E 第二章第二章一元二次方程一元二次方程 一、一元二次方程一、一元二次方程 （一）（一）一元二次方程定义 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
（二）（二）一元二次方程的一般形式 )0(0 2 acbxax，它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零，其 中 2 ax叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项 例例 方程 2 2 (2)(3)20 m mxm x 是一元二次方程，则____m . 二、一元二次方程的解法二、一元二次方程的解法 1、 直接开平方法： 适用于解形如bax 2 )(的一元二次方程 当0b时，bax，bax； 当 b0 时，图 像的两个分支分别在第、象限内，在每一个象限内，y 随 x 的增大而； 当 K0 时，图像的两个分支分别在第、象限内，在每一个象限内，y 随 x 的增大 而 （2）面积不变性：点 P(a,b)是反比例函数)0(k x k y的图像上的任一点，PA⊥x 轴于 A，PB⊥y 轴于 B， 则有|| 2 1 || 2 1 ||||kxySkxyS AOBOAPB 矩形 （3）图像的对称性：双曲线是 5 5、、确定确定反比例函数解析式反比例函数解析式 确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数 x k y 中，只有一个待定系数，因此 只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式 例例 在同一坐标系中，函数 x k y 和3 kxy的图像大致是（） ABCD 例例 反比例函数 x m y 23 ，当_______m时，其图象的两个分支在第一、三象限内 例例 反比例函数 x y 1 的对称轴有（）条 （A）0（B）1（C）2（D）无数 例例 对于反比例函数 x k y 2 (0k)，下列说法不正确 ．．． 的是（） （A）它的图象分布在第一、三象限（B）点（k，k）在它的图象上 （C）它的图象是中心对称图形（D）y随x的增大而增大 例例 反比例函数 k y x （k＜0）的图象上有两点A（ 11 xy，） ，B（ 22 xy，） ，且 12 xx，则 12 yy的值是（） （A）正数（B）负数（C）非正数（D）不能确定 例例 如图，A 为反比例函数 x k y 图象上一点，AB 垂直x轴于 B 点，若 S△AOB＝3，则k的值为（） （A）6（B）3（C）1.5（D）不能确定 A BO x y P B AO P B A O 。