几何散布的定义以及希望与方差几何散布（ Geometric distribution ）是失散型概率散布此中一种定义为：在 n 次伯努利试验中，试验 k 次才获得第一次成功的机率详尽的说，是：前 k-1 次皆失败，第 k 次成功的概率公式：它分两种状况：1. 获得 1 次成功而进行， n 次伯努利实验， n 的概率散布，取值范围为『1， 2，3， ...』;2. m = n-1 次失败，第 n 次成功， m的概率散布，取值范围为『0， 1，2， 3， ... 』 .由两种不一样状况而得出的希望和方差以下：,;,概率为 p 的事件 A，以 X 记 A 初次发生所进行的试验次数，则 X 的散布列：，拥有这类散布列的随机变量 X，称为听从参数 p 的几何散布，记为 X~Geo( p) 几何散布的希望，方差高中数学教科书新版第三册（选修 II ）比本来的订正本新增添随机变量的几何散布，但书中只给出了却论： （ 1） E1 ，（ 2） D1 p，而未加以证明本文给出证明，并用于解题pp2（ 1）由 P( k ) q k 1 p ，知E p 2 pq 3q2 p kq k 1 p (1 2q 3q 2 kq k 1 ) p下边用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。
记Sk 1 2q 3q 2 kq k 1qSk q 2q2(k)k 1kqk1 q两式相减，得(1 q)Sk 1 q q2 qk 1 kq kSk1q kkq k(1q) 21q由 0 p1，知 0q1，则 lim q k0，故k1 2 p2k1lim Sk113qkq22k(1q)p进而 E1p也可用无量等比数列各项和公式Sa1 (| q| 1) （赐教科书91 页阅读资料），推导以下：1q记 S12 2kq k 13qS q2q2(k)k 11 q相减，(1 q)S 1 q q 2q k 111q则 S11(1q) 2p2还可用导数公式( x n )'nx n 1 ，推导以下：1 2 x3x2kxk1x'(x 2 )'( x3 )'( xk )'(xx 2x 3x k)'(x)'(1x)(x)1x(1x) 21(1x) 2上式中令 xq ，则得1 2q 3q2kq k 111(1q) 2p2（ 2）为简化运算，利用性质 D E 2 (E ) 2 来推导（该性质的证明，可见本刊 6 页）可见重点是求 E 2 E 2 p 22 qp 32 q2 p k2 q k 1 pp(1 22 q 32 q 2 k 2 q k 1 )对于上式括号中的式子，利用导数，对于 q 求导： k 2 q k 1 (kq k )' ，并用倍差法乞降，有1 2 2 q 32 q 2 k 2 q k 1(q2q 23q 3kq k)'[q2 ]'(1q) 22(1q) )(1q)4(11q 21q2 p(1q) 4(1q) 3p3则 E 2p(23p )22p ，所以 DE 2( E ) 2 22p(1) 212pppppp利用上述两个结论，能够简化几何散布一类的计算问题。
例 1.一个口袋内装有5 个白球和2 个黑球，现从中每次摸取一个球，拿出黑球就放回，取出白球则停止摸球求取球次数的数学希望 E 与方差 D解：每次从袋内拿出白球的概率p5 ，拿出黑球的概率q2 的取值为1，2，3，⋯⋯，77有无量多个我们用k 表示前 k－ 1 次均取到黑球，而第k 次取到白球，所以P(k )q k 1 p(2)k 1 (5)( k1,2,3, ) 可见听从几何散布所以77E17p51p1514D57p2225)(7例 2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为 p（ 0
但求解过程可参照有关公式的推导方法。