第三章 旋转质量陀螺仪及其运动微分方程§3.1 旋转质量陀螺仪的根本特性旋转质量陀螺仪〔简称陀螺〕是把转子以某种方式支承起来，使转子具有转动自由度的定点转动刚体在分析单自由度陀螺仪的运动特性之前，我们首先给出陀螺仪的自由度的概念陀螺仪的自由度是指陀螺仪转子自转轴相对于壳体的转动自由度由此可以看出，旋转质量陀螺仪从自由度方面看有单自由度陀螺仪和双自由度陀螺仪两大类— 旋转质量陀螺仪的简化模型为定性说明陀螺仪的根本特性，首先争论如图3.1 所示的简化模型：对称刚体以角速度W 绕固定点o 高速旋转坐标系oxyz 与刚体固连，其中ox ，oy ， oz 取通过o 点的三根惯性主轴方向，且oz 轴沿刚体的旋转对称轴yΩozx图 3.1 绕定点高速旋转的刚体设刚体相对三个主轴的转动惯量分别为J ， Jx y， J ，则，刚体的角动量 H 可表示为zH = JW i + J Wx x y yj + J Wz zk 〔3-1〕在刚体绕其对称轴高速旋转的状况下，可以认为Wz到角动量 H 的近似表达式>> W ， Wx z>> Wy，于是可以得H » J Wz zk = Hk 〔3-2〕由于Wz是刚体绕其旋转对称轴高速旋转的角速度，通常称其为刚体的自转角速度；而W 、W 可视为刚体旋转对称轴z 轴绕 x ， y 轴的低速转动，称它们为刚体的进动角速度。
x y这样，式〔3-2〕就可说明一个近似结论：“陀螺对点o 的角动量 H 近似等于自转角动量，其方向始终与旋转对称轴保持全都，即H 相对于oxyz 坐标系不变有了角动量表达式，就可以用角动量定理di H = M 〔3-3〕dt来争论陀螺的运动规律，即陀螺的根本特性将式〔3-3〕写成相对于oxyz 坐标系的欧拉方程形式dH + ω ´ H = M 〔3-4〕dt式〔3-4〕中的 M 是作用于陀螺上的外力矩由于H 相对于oxyz 坐标系不变，所以有dH = 0 ，于是式〔3-4〕可简化为dtω ´ H = M 〔3-5〕式〔3-5〕中ω 、 H 、 M 三个向量之间的关系符合右手螺旋法则下面依据此关系式定性争论陀螺的根本特性二 双自由度陀螺仪的根本特性1 双自由度陀螺仪的进动性所谓双自由度陀螺仪是指陀螺仪转子的自转轴具有两个转动自由度的陀螺仪如图3.2 所示，陀螺仪转子仅受o 点约束，角动量 H 沿旋转对称轴oz 方向，假设在ox 轴方向施加外力矩 M ，那么H 轴〔即旋转对称轴〕将绕oy 轴以角速度ω 转动不难看出，自转轴oz 的转动角速度ω 不是沿外力矩 M 的方向，而是沿与外力矩M 相垂直的oy 轴方向。
这种陀螺转子自转轴在外力矩作用下绕与外力矩相垂直的方向转动的运动，称为陀螺的“进动运动” 简称“进动”〔Spin Precession〕，角速度ω 称为陀螺的“进动角速度”这种高速旋转的陀螺在外力矩作用下产生进动的特别性能，称为陀螺的“进动性”它是陀螺运动的一个重要的 特征为便于记忆，陀螺的进动可按如下方法来推断：“在外力矩作用下，陀螺的进动是使 H轴以最短的路径倒向外力矩M 的方向”图 3.2 双自由度陀螺仪的进动把ω ´ H = M 开放，写成o - xyz 坐标轴的重量式有：é 0 - ωê ω zω ùé 0 ù éM ùyy úê ú ê x úê 0 - ωúê 0 ú= êM úê- z ω0 x úêH ú êM úëûzë ωy xûë ûé Hω ù éM ùê- H y úê x úy úzê ωx ú = êM于是有：êë 0 úû êëM úûì Hωí- H y= Mx 〔3-6〕îω = Mx y由式〔3-6〕可以看出，当H 沿陀螺旋转对称轴 oz 轴方向时，沿x 轴方向的外力矩Mx将使 H 产生oy 方向的进动角速度ωy，并且进动角速度的大小为Mω = xy H或者反过来说，假设要使 H 轴绕oy 轴以角速度ωy进动，则必需沿ox 轴方向施加外力矩 M 并使xM = Hωx y同理，沿oy 轴方向的外力矩My，将使 H 产生沿ox 轴的进动角速度，其量值大小为Mω = - y x H其中负号表示方向是沿ox 轴的负方向。
假设要使 H 轴绕ox 轴以角速度ω 进动，则必需沿oy 轴方向施加外力矩M 并使x yM = -Hωy x负号表示力矩方向是沿oy 轴的负方向由上也可以看出，与 H 同方向的外力矩 Mz向垂直的外力矩重量才会使H 轴产生进动2 双自由度陀螺仪的定轴性当作用于陀螺上的外力矩M = 0 时，不会引起陀螺 H 轴的进动，只有与 H 方di H = 0 〔3-7〕dt由此可以得出： H = const 〔3-8〕 式〔3-8〕说明，在 M = 0 的状况下，角动量 H 不仅大小保持不变，而且在惯性空间的方向也保持不变由于 H 和自转轴始终保持重合，所以当作用于陀螺上的外力矩为零时， 高速旋转的陀螺的自转轴在惯性空间的方向将保持不变这就是陀螺的“定轴性” 〔spin stabilization〕依据牛顿定律，对于任一物体，在所受外力为零并且初始状态为静止状态时，它也会永久保持静止不动，物体上的任意一条线在惯性空间也将保持方向不变那么，上述陀螺的定轴性还有什么特别的意义呢？众所周知，在实际问题中，突然的、微小的干扰〔例如撞击等〕总是不行避开的，对于一般静止的物体，当受到外界干扰后则不能保持其原来的静止状态而发生运动。
但是，对于 高速旋转的陀螺，当受到突然的外界干扰力矩作用时，陀螺将产生进动由于干扰力矩一般 都很小，而陀螺角动量 H 却很大，所以由干扰力矩所引起的进动角速度也格外小当干扰力矩消逝后，陀螺的进动也随之消逝，陀螺的自转轴又保持不动而干扰的作用时间一般总是短暂的，因而在进动角速度w 很小、进动时间很短的状况下，陀螺自转轴在干扰力矩作用后偏离初始位置的角度实际上是格外小的，因而仍可看作为 H 轴的方向不变由此可见， 所谓陀螺的定轴性实质上是指陀螺具有巨大的抗干扰力量陀螺的定轴性在很多技术领域得到了广泛的应用例如枪筒、炮筒内的来复线可以使枪 弹、炮弹射出时获得极高的自转角速度以保持其定向性，从而提高命中率儿童玩具陀螺、杂技表演中的转碟等都是利用了陀螺的定轴性而得以稳定的在近代导航技术中，利用陀螺 的定轴性和进动性做成各种陀螺仪表及掌握系统进展导航，使导航技术进入了一个时代3 陀螺力矩与陀螺效应已经知道，当陀螺受到外力矩作用时，陀螺将会产生进动依据作用力与反作用力的概 念，在陀螺进动过程中，对应外力矩必定存在一个与它大小相等，方向相反的反作用力矩它与外力矩同时消灭、同时消逝，并且作用在对陀螺施加力矩的物体上，通常称该力矩为“陀 螺反作用力矩”，简称“陀螺力矩”。
对于高速旋转的物体，当我们强迫它的旋转轴以角速度 ω 转动时，就似乎强迫它“进动”一样，这时，高速旋转的物体就会象陀螺那样给强迫其“进动”的物体一个反作用力矩M ，这个反作用力矩不是在轴的旋转平面内，而是在和旋转轴平面相垂直的平面内，即反G作用力矩 M 垂直于旋转轴和角速度矢量w 所组成的平面这个反作用力矩就是陀螺力矩G对于高速旋转的物体，当旋转轴转变方向时，就会产生陀螺力矩的现象，称之为“陀螺效应”既然陀螺力矩为反作用力矩并且和外力矩大小相等、方向相反，则可以写出陀螺力矩的表达式为M G = H ´ ω 〔3-9〕陀螺力矩和陀螺效应不仅在陀螺仪中格外重要，而且在一般的具有高速旋转转子的工程问题中，陀螺效应也具有特别重要的意义上述进动性、定轴性和陀螺效应是双自由度陀螺仪所具有的特别性能，总称为陀螺的三大特性前面我们已经初步了解了陀螺力矩的概念，下面再进一步阐述其物理实质如图 3.3 所示，把陀螺转子近似地看作均质圆盘，自转角速度 Ω ，同时自转轴进动角速度ω ，且ω ^ Ω 取定坐标系 ox”y”z”〔图中未画出〕，原点在转子中心o ，动坐标系 oxyz ， 原点也在o ，oz 轴与转子自转轴重合，ox ，oy 轴在转子赤道平面内，动坐标系与转子固连，但不参与转子自转。
图 3.3 陀螺力矩的物理实质设：初始时， oxyz 与ox”y”z” 完全重合下面分析转子上任一质点i 的运动，动坐标系绕 y 轴的转动为牵连运动，圆盘绕 z 轴的转动为相对运动假设质点i 距中心o 之向径为ri，则：i 点的牵连加速度为aci= r w 2 cosq ，方向平行 xi轴，指向 y 轴，相对加速度ari= r W 2 ，其方向指向中心o ；哥氏加速度ai ki= 2r wWsinq ，i其方向沿 z 轴正向，设i 点的质量为mi，则相应的惯性力为：Q = -m aci i ciQ = -m ari i riQ = -m aki i ki方向与相应的加速度方向相反vv由于转子是均质、对称圆盘，因此圆盘上全部质点的牵连惯性力和相对惯性力均是成对消灭，即： åQci= 0, åQri= 0 对于圆盘上各点之哥氏惯性力，可以看出，在 x 轴以上的半圆内，全部各点之Qki均指向 z 轴负向；x 轴以下的半圆内，全部各点之Qki均指向 z轴正向由于圆盘对称，所以Qki相对于 y 轴完全对称因而全部哥氏惯性力对y 轴之矩的总和 M = 0ky又由于全部哥氏惯性力都平行于z 轴，故全部哥氏惯性力对z 轴之矩的总和Mkz而哥氏力对 x 轴之矩：= 0 。
Mkix= Q × rki isinqi= -2mir 2w sin 2 qi i转子上全部点的哥氏惯性力对 x 轴之矩总和为：M = ån M= -2wWånm r 2 sin 2 q由于 yi= r sinqi ikx，所以kix i i ii=1 i=1åm r 2 sin 2 q = åm y 2又由于圆盘对称，所以i i i iåm y 2 = åm x2i i i i2åm y 2 = åm (x2 + y 2 ) = J于是哥氏惯性力矩为：i i i i i Z方向沿 x 轴负向M = - Jk ZWw = -Hw这个哥氏惯性力矩就是转子赐予迫使其进动的施加外力矩物体的反作用力矩，即陀螺力矩一般状况下：当ω 与 Ω 不垂直时，可将ω 分解为ω1^ Ω 和ω。