医 学 高 等 数 学高等数学教研室尹玲课程介绍n33学时，考查课n授课内容：前三章n考试内容：前三章n成绩计算：30%平时成绩（作业、 出勤）70%卷面成绩参考资料n医用高等数学学习指导与习题全解 （第二版） 马建忠主编 科学出版 社出版n高等数学（第五版）上册 同济大学 应用数学系主编 高等教育出版社出 版 Chapter 1 函数、极限与连续§1.1 函数n函数的概念n函数的特性n初等函数n分段函数和反函数一、 函数的概念 1.常量与变量常量:在某一变化过程中始终保持同一个数值的量称为常量 ，一般用 a, b, c 表示 注意:常量与变量是相对于过程而言.变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量称为变量 , 一般用 x, y , z 表示2.函数的定义n定义：设在某个变化过程中存在两个变量x、y，若对于某一非空数集中的每一个x值，按照某一确定关系ƒ都有唯一一个实数y与之对应，则称变量 y 是变量 x 的函数，记为y =f (x).因变量自变量3.定义域、值域定义域：自变量所有允许值的集合称为函数的定义域值域：所有函数值的集合称为值域函数的三要素定义域 对应关系 值域EE’ƒ4.函数相同n当且仅当两个函数的对应关系和定义域完全相同时，我们才说两个函数相同或者说这两个函数是相同的函数。
例3n公式法n图像法n表格法5.函数的表示法公式法n如果两个变量之间的函数关系是借助于公式或分析式直接给定的,则我们称这种函数的表示方法为分析法或公式法如 y=x2 这是函数最常用的表示方法例4: 正常婴儿在出生后1～6个月的体重近似满足以下关系 y=3+0.6x图像法n由于函数的图像与函数是一一对应的，所以我们可以用函数的图像来表示函数，并称这种方法为函数的图像法例5: 监护仪记录某患者在一段时间内的体 温T的变化情况,即用曲线描述了函数关 系T=T(t).表格法n在实际应用中，经常将一系列的自变量的值与对应的函数的值列成表格，如对数表，三角函数表等称这种表示函数的方法为表格法例6: 某地区统计了某年1-12个月当地流行性出血热的情况(如图),即用数据表描述函数y=y(t).t 123456789101112Y16.6 8.3 7.1 6.57.0 10.0 2.5 3.5 5.710.0 17.17.06.区 间区间的定义 : 界于某两个实数 a 和 b ( a 0）为半径的开区间称为 x0的一个 邻域 , x0 叫做邻域的中心,叫做邻域的半径.记为 U(x0 , )或(x0), 即 U(x0 , ) = (x0 - , x0+ ) 例7: (-1,1)是一个开区间,也是0的一个1邻域. | y-y0 | f ( x2) ，则称该函数f (x)在区间 I上是单调减少的。
单调减函数的图形是沿x 轴的正向下降的如下图所示单调减 xyxy说明：在整个区间 I 内单调增加或单调减少的函数称为 单调函数单调增加与单调减少不是相互对立的概念有的 函数可能既不单调增加又不单调减少z1. 函数 y = x2 在 (0 , +)内是单调增加的 , 而在 (- , 0)内是单调减少的例 8:z2. 函数 y = x3 在 (-, + )内是单调增加的xyy=x3oxyy=x2ob.奇偶性n奇函数 : 对于函数 y= f(x) , x D ,如果 D 是关于原点对称的 , 而且对任意的 x D ,恒有 f(-x) = - f(x) ,则我们称函数 f(x) 为 D 上的奇函数奇函数的图形是关于原点对称的n偶函数 : 对于函数 y= f(x) , x D ,如果 D 是关于原点对称的 , 而且对任意的 x D ,恒有 f(-x)= f(x) ,则我们称函数 f(x) 为 D 上的偶函数偶函数的图形是关于 y 轴对称的奇函数的图形对称于原点偶函数的图形对称于y轴偶函数的图形是关于y轴对称的.奇函数的图形 是关于原点对称的.例9： 1.函数 y= x3 , x [-1, 1] 是一个奇函数2.函数 y= x2 , x [-1, 1] 是一个偶函数3.函数 y= x2 , x [-1, 2] 既不是一个偶函 数 ,又不是一个奇函数。
c. 有界性n有界函数 : 对于函数 y= f(x) ,x D ,如果存在正数M , 使得对任意的 x D ,恒有 | f(x)| M ,则我们称函数 f(x) 为D 上的有界函数否则称为无界函数例10：函数 y = sinx在区间(-∞,+∞)内是有界的注意：n有界和无界是对立的,非此即彼的.例11：函数 y=1/x在区间(1, +∞)上有界，但是在(0,1)上无界有界性是相对于一定区间来讲的概念，函数在某一区间上有界，但是在另一区间上可能无界具有下界的函数被称为下方有界函数 , 具有上界的函数被称为上方有界函数说明：有界函数必同时为下方有界函数和上方有界函数d.周期性n周期函数 : 对于函数 y= f(x) ,x D ,如果存在正数 T, 对任意的 x D , x+T D ,恒有 f(x+T)= f(x) ,则我们称函数 f(x) 为 D 上的周期函数T 称为函数 y= f(x) ,x D 的周期 , 通常,周期函数的周期 T 都是指最小正周期 周期函数的图形特点：注意：n周期函数的图形在每一个周期中都是相同的 周期函数的定义域一定是一个无穷区域 , 但不一定是整个实数轴 (-,) 。
函数 y=tan x , x n ± /2 是一个 T = 的周期函数三、 初等函数n基本初等函数复合函数n初等函数1.六类基本初等函数幂函数 y= x (为常数)指数函数 y= ax (a 0 , a 1 ) 对数函数 y= loga x (a 0, a1 )三角函数 y=sinx , y=cosx , y=tanx , y=cotx 反三角函数 y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx常数函数 y=C (C为常数)幂函数指数函数a 1010 a 1三角函数反三角函数y=arccosx2.复合函数定义: 设变量 y 是变量 u 的函数,变量 u 是变量 x 的函数,即y= f(u) , u=(x)如果变量 x 的某些值通过变量 u 可以 确定变量 y 的值, 则称y 是x的复合函数,记为 y= f [(x)]其中 u 称为中间变量3.复合函数的分解方法从最外层函数开始分析，找出最接近的基 本初等函数形式开始分解，直到最后形式 变成基本初等函数或基本初等函数经过四则 运算所构成的函数（即简单函数）为止。
例12：例13：例11 解一：解二：例12 解：综合起来，分解应该是4.初等函数定义 : 由基本初等函数 , 经过有限次的四则运算及有限次的复合所构成的, 仅用一个解析式子表达的函数 , 称为初等函数例14 : y= , y=xtanx + sin 等都是初等函数四、 分段函数和反函数 1.分段函数定义:某些函数,对于其定义域内自变量不同的值,不能用一个统一的解析表达式表示,而要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数例如：例15: 设某药物的每天剂量为y(mg为单位),对于16岁以上的成年人用药剂量是一常量,设为2mg;对于16岁以下的未成年人,则每天的用药剂量y与年龄成正比,且比例常数为0.125mg/岁,写出函数关系.2. 反函数说明：1. 原函数的定义域（值域）恰是其反函数 的值域（定义域）;2.原函数与反函数的图像是相同的，但由 于互换了x和 y的位置 所以图像就不同 了，即：在同一个直角坐标系中是关于 y＝x对称的曲线.。