微分中值定理的证明、推广以及应用篇一：微分中值定理推广及其应用 及其应用 数学091班：龙超 指导教师：马菊霞 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021） 摘 要：拉格朗日中值定理与柯西中值定理都是罗尔中值定理，在本篇论文里，给出罗尔中值定理的其它多种推广来扩大其应用本文也举例说明了和性质,并给出了第二型曲面积分计算的几种方法 关键词：拉格朗日中值定理，柯西中值定理，罗尔中值定理 The Extension and Application of The Differential Mean-value Theorem ABSTRACT：The Lagrange mean-value theorem and the Cauchy mean-value theorem are extension of the Rolle mean-value theorem. In this article the Rolle mean-value theorem has been concluded and deduced in few more forms application to expand the use of the Rolle mean-value theorem. Also the article has demonstrated of the application of differential mean-value theorem. KEYWORDS：Lagrange mean-value theorem,Cauchy mean-value theorem ,Rolle mean-value theorem 1 引言 在数学分析课程中罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理统称为微分中值定理,他们是微分中值学中最基本、最重要的定理,是连接函数与导数之间的桥梁,是应用导数局部性研究函数整体性的重要数学工具,是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值,因此讨论微分中值定理的推广具.为加深学生对微分中值定理的理解,更好地掌握微分中值定理的应用,本文归纳介绍了微分中值定理的几种推广形式及在解题中的一些应用。
2 微分中值定理的推广 2.1 推广一 f(x)?limf(x)?A,其中A为有限值,或??,若函数f(x)满足：①在(a,b)内可导；②lim?? x?a x?b 或??,则至少存在一点??(a,b).使f(x)?0 证明：(1) 设A为有限值时,对函数f(x)做连续延拓,定义 F(x)?{Ax?a,b f(x)x?(a,b) ，易知F(x)在[a,b]上满足罗尔中值定理条件, 故在开区间(a,b)内至少存在一点?,使F?(?)?f?(?)?0 (2)设A???,由于f(x)在(a,b)内连续,有极限的定义,对充分大的C?0,存在x0?(a,b),使f(x0)?C， 则直线y?C与y?f(x)至少有2个交点M1(x1,f(x1))与M2(x2,f(x2)), 即f(x1)?f(x2)?C,x1,x2?(a,b)不妨设x1?x2, 易知f(x)在[x1,x2]?(a,b)上满足罗尔中值定理, 故存在??(x1,x2)?(a,b),使f?(?)?0 (3)设A???,类似可证 还可以把罗尔定理中的有限区间推广到无限区间 2.2 推广二 若函数f(x)满足：①在[a,??)上连续;②在(a,??)内可导; ③limf(x)?f(a),则至少存在一点??(a,??),使f?(?)?0， x??? 证明 令t? 1 ,将x?[a,??)变换成t?(0,1], x?a?1 t?0 ?(t)???,设f(?(t))?g(t),从而g(t)在(0,1]上 记x??a?1??(t),则有?(1)?a,lim? 可导,且有 t?0? 1 t limg(t)?limf(?(t))?limf(x)?f(a)?f(?(1))?g(1)? t?0 x?? 定义g(t)在[0,1]上,其中g(0)?g(1),由罗尔定理, 存在??(0,1),使得g(?)?0， ?(?)??,则f?(?)??(?)?0.又??(?)?? 1 ? 2 ?0,所以f?(?)?0,??(a,??)。
注 类似可以证明若f(x)在(??,??)上可导,且limf(x)?limf(x),则至少存在一点 x??? x??? ??(??,??),使f?(?)?0 2.3 推广三 f(x)?limf(x)?A,若函数f(x)满足： 对lim①在区间[a,??)上连续；②在区间[a,??）上?? x?a x?b可导；③lim?M,则至少存在一点??(??,??),使得f?(?)? x??? M?f(a) 2 (??1?a) 证明:令 11 ?t,即x??a?1??(t)当x?[a,??)时,0?t?1,?(1)?a, x?a?1t t?0 t?0 t?0 lim?(t)???,f(x)?f(?(t))?g(t),limg(t)?lim?(t)?limf(x)?M补充定义 t?0 g(0)?limg(t)?M，则g(t)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，根据拉格朗日中值定理，存在 t?0 一点??(0,1)，使g(?)? g(1)?g(0) ，即g?(?)?f(a)?M记???(?),g?(?)?f?(?)??(?)而 1?0 ??(?)?? 1 ?2 ??(??1?a)2， 2 故至少存在一点??(a,??)使得?(??1?a)f?(?)?f(a)?M。
3.微分中值定理的应用 3.1导数极限定理 例1设函数f(x)满足： （1）在x?a的某?邻域(a??,a??)内连续, （2）limf?(x)?K, x?a 则f(x)在x?a处可导,且f?(a)?K， 证 明：先对f(x)在[x,a]?(a??,a]上应用拉格朗日中值定理,有 f(x)?f(a)?f?(?)(x?a),[x,a]?(a??,a], 从而有 f??(a)?lim? x?a x?a f(x)?f(a)f?(?)(x?a) ?lim??lim?f?(?) x?a??ax?ax?a 由 limf?(x)?K f?(?)?K, 故f??(a)?lim? x?a ?(a)?K, 同理可证f? 同理f?(a)?K 此结论说明了,若有限导数f?(x)在某区间存在,则在区间没一点连续,它或是连续,或是第二间断点 3.2 讨论方程根的存在性例2 设f(x)在[0,1]上可导,且对任何x?(0,1)都有f?(x)?1,又0?f(x)?1试证在(0,1)内方程f(x)?x?0有唯一实根 1]上利用零点定理易证 证明（存在性）令F(x)?f(x)?x在[0， （唯一性）反证法：假设有两个实根x1,x2使得f(x1)?x1,f(x2)?x2不妨设x1?x2,在 [x1,x2]?(0,1)上对f(x)利用拉格朗日中值定理, 有 f?(?)?f(x2)?f(x1)?x2?x1?1,??(x1,x2), x2?x1 x2?x1 这与f?(x)?1矛盾,故结论得证。
3.3 证明不等式 例3 设0?a?b,证明lnb?lna?证 设f(x)?lnx,则f?(x)? 2a(b?a) a2?b2 1 对f(x)?lnx在x?[a,b]上利用拉格朗日中值定,有 x lnb?lna? 2 2 b?a ? ,??[a,b], 由a?b?2ab,知 12a?2,而a???b,从而有 2ba?b 1 ? ? 2a(b?a)12a lnb?lna??2,即 222 a?bba?b 3.4 函数的单调性 例4 证明：若函数f(x)在[0,a)可导,f?(x)单调增加,且f(0)?0,则函数调增加 证明 对任意x1,x2?(0,a),且x1?x2,则f(x)在[0,x1]与[x1,x2]均满足拉格朗日中值定理条件,于是分别存在,c1?(0,x1),c2?(x1,x2)使 f(x) 在(0,a)也单x f?(c1)?f?(c2)? f(x1)?f(0) , x1?0f(x2)?f(x1) , x2?x1 由于f?(x)单调增加,且f(0)?0,所以f(x1)f(x2)?f(x1) , ? x1x2?x1 从而 f(x1)f(x2) , ? x1x2 即函数 f(x) 在(0,a)也单调增加。
x 4 小结 通过对微分中值定理的研究与学习，并在所学的知识上进行一系列的推广与应用使我已经弄懂了微分中值定理的内容做到了想到问题，并提出问题，再到列出问题，再到分析问题，以至于最后的解决问题，真可谓是一步一步循序渐进的过程在写论文时还对数学公式编辑的应用有更深的练习，确实一分耕耘一份收获在对微分中值定理的推广方面肯定还做到的不足，并且应用的很不是到位，这些都是我在做这件事情中存在的问题问题不可怕，怕的是不知道自己有哪些问题，所以这些必将成为我以后做事情的益处，因为我会在这些方面更加的认真、自习以至最后成功篇二：微分中值定理的推广极其应用~~毕业论文(两稿) 本文有两稿 本 科 第一稿毕 业 论文（数学） 13 微分中值定理的推广及应用 The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its Application 学 院 （系）： 数计院 专 业： 数学与应用数学 学 生 姓 名： 学 号： 指 导 教 师（职称）： 完 成 日 期：2021.05 湖南师大 微分中值定理的推广及应用 数理学院 [摘 要] 本文在阐述了微分中值定理的一般证法的基础上,给出了新的证明方法,讨论了三大微分中值定理之间的递进关系等,并对中值定理进行了一定地推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用.[关键词] 微分中值定理；新证法；推广；费马定理 。