本文格式为Word版，下载可任意编辑中学最值问题方法汇总 中学最值问题方法汇总 ●平面几何中的最值问题………………… 01 ●几何的定值与最值……………………… 07 ●最短路线问题…………………………… 14 ●对称问题………………………………… 18 ●巧作―对称点‖妙解最值题…………… 22 ●数学最值题的常用解法………………… 26 ●求最值问题……………………………… 29 ●有理数的一题多解……………………… 34 ●4道经典题……………………………… 37 ●平面几何中的最值问题 在平面几何中，我们往往遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．假设把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达成最经济、最俭约和最高效率．下面介绍几个简例． 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量〔如线段的长度、图形的面积、角的度数〕的最大值或最小值问题，称为最值问题 最值问题的解决方法通常有两种： 〔1〕 应用几何性质： ① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短； ③ 连结直线外一点和直线上各点的全体线段中，垂线段最短； ④ 定圆中的全体弦中，直径最长。
⑵运用代数证法： ① 运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式 例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小 分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’， 1 在△ABP’中AP’+BP’＞AB，假设AP’+BP’＝AB,那么P’必段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误 取点A关于直线L的对称点A’，那么AP’＝ AP， 在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小 1 已知AB是半圆的直径，假设这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？ 分析 本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．假设设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可． 解 作DE⊥AB于E，那么 x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry， 所以 所以求u的最大值，只须求-x+2Rx+2R2最大值即可． -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2， 上式只有当x=R时取等号，这时有 2 所以 2y=R=x． 所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D， 这时，梯形的底角恰为60°和120°． 2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，假设窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出 最大面积，使得窗户透光最好？ 2 分析与解 设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，那么必有 2x+2y+πx=8， 假设窗户的最大面积为S，那么 把①代入②有 即当窗户周长确定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大． 3. 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？ 分析与解 由于P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，鲜明PA+PB渐小，在极限 状况(P与A重合时)等于AB．因此，揣摩P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值． 设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，那么CB是切线． 为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′， 使P′C′=BP′，连C′B，CC′，那么∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°， 所以A，B，C′，C四点— 5 —。