备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题21三角函数的图象和性质

1专题专题 2121 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质【【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】】近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法，其中对函数xAysinRx的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质： （1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与 x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期； x 轴的交点间的距离为其函数的41个周期.1、正弦函数sinyx的性质（1）定义域：xR （2）值域：1,1y  （3）周期：2T （4）对称轴（最值点）：2xkkZ （5）对称中心（零点）：,0kkZ，其中0,0是对称中心，故sinyx也是奇函数（6）单调增区间：2,2,22kkkZ单调减区间：32,2,22kkkZ2、余弦函数cosyx的性质（1）定义域：xR 2（2）值域：1,1y  （3）周期：2T （4）对称轴（最值点）：xkkZ其中0x 是对称轴，故cosyx也是偶函数（5）对称中心（零点）：,02kkZ（6）单调增区间：2,2,kkkZ  ,单调减区间：2,2,kkkZ 3、正切函数tanyx的性质（1）定义域：|,2xx xkkZ（2）值域：yR （3）周期：T （4）对称中心：,02kkZ（5）零点：,0kkZ（6）单调增区间：,,22kkkZ注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的x的值4、sinyx的性质：与正弦函数sinyx相比，其图像可以看做是由sinyx图像变换得到（x轴上方图像不变，下方图像沿x轴向上翻折） ，其性质可根据图像得到：（1）定义域：xR （2）值域：0,1y （3）周期：T 3（4）对称轴：2kxkZ （5）零点：xkkZ（6）单调增区间：,,2kkkZ,单调减区间：,,2kkkZ5、sin0yAxA的性质：此类函数可视为正弦函数sinyx通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。

所涉及的性质及计算方法如下：（1）定义域：xR（2）值域：,yA A （3）周期：2T  （4）对称轴（最值点） ，对称中心（零点） ，单调区间需通过换元计算换元计算所求通常设tx，其中0，则函数变为sinyAt，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出t所满足的条件，然后将t还原为x再解出x的值（或范围）即可注：1、余弦函数也可看做sinyAx的形式，即cossin2yxx，所以其性质可通过计算得到2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为sinyAx，再求其性质【【经典例题经典例题】】例 1.【2017 课标 II，文 3】函数π( )sin(2)3f xx 的最小正周期为（ ）A.4π B.2π C. π D.π 2 【答案】C4例 2.【2017 课标 3，理 6】设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线 x=8 3对称C．f(x+π)的一个零点为 x=6D．f(x)在(2,π)单调递减【答案】D【解析】例 3. 已知函数的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是( )𝑓(𝑥)= 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥 + 𝜑)(𝜔 > 0)5①函数的最小正周期是；𝑓(𝑥)2𝜋②函数在区间上是增函数；𝑓(𝑥)[𝜋 12,𝜋 6]③函数的图象关于直线对称；𝑓(𝑥)𝑥 =𝜋 12④函数的图象可由函数的图象向左平移 个单位长度得到𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)= 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝜋 3A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】根据函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象知，= −(− )= ,∴T==π，ω=2；𝑇 2𝜋 3𝜋 6𝜋 22𝜋 𝜔根据五点法画图知,2×(− )+φ=0,解得 φ= ；𝜋 6𝜋 3∴f(x)=sin(2x+ )；𝜋 3对于①,函数 f(x)的最小正周期是 T=π，①错误；对于②,x∈[, ]时,2x+ ∈[ ,]，𝜋 12𝜋 6𝜋 3𝜋 22𝜋 3f(x)在[, ]上是减函数，②错误；𝜋 12𝜋 6对于③,x=时,2x+ = ，𝜋 12𝜋 3𝜋 2∴函数 f(x)的图象关于直线 x=对称，③正确；𝜋 12对于④,由 f(x)=sin(2x+ )=sin2(x+ )知，𝜋 3𝜋 6函数 f(x)的图象可由函数 g(x)=sin2x 的图象向左平移 个单位长度得到，④错误；𝜋 6综上，正确的命题是③.故选：C.例 4.【2017 天津，文理】设函数( )2sin()f xx，xR，其中0，|| .若5()28f，6()08f，且( )f x的最小正周期大于2，则（A）2 3，12（B）2 3，12 （C）1 3，24 （D）1 3，24【答案】A 例 5.【2017 课标 II，理 14】函数 23sin3cos4f xxx（0,2x）的最大值是 .【答案】1【解析】【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次” ，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。

一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.例 6. 已知函数 f(x)=cos-2sin xcos x.3(2𝑥 -𝜋 3)(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求证:当 x∈时,f(x)≥- .[-𝜋 4,𝜋 4]1 27【答案】（1）；（2）见解析.(2)证明因为- ≤x≤ ,𝜋 4𝜋 4所以- ≤2x+.————-10 分𝜋 6𝜋 3≤5𝜋 6所以 sin≥sin=- .(2𝑥 +𝜋 3)(-𝜋 6)1 2所以当 x∈时,f(x)≥- .________14 分[-𝜋 4,𝜋 4]1 2例 7. 设函数． 23sin coscosf xxxx（ ）求的最小正周期．1 f x（）当时，求函数的最大值和最小值．2π0,2x f x【答案】 （1）的最小正周期；（2）的最大值是，最小值是. f x2ππ2T  f x1 21【解析】试题分析：（1）由二倍角公式将式子化简，再由周期的公式得到结果；（2）∵，∴π0,2x, ，进而得到最值.ππ 5π2,666x π1sin 2,162x 解析： 23sin coscosf xxxx31cos2sin222xx8311sin2cos2222xx∴，π1sin 2,162x ∴，π11sin 21,622x 即， 11,2f x ∴当时， 的最大值是，最小值是．π0,2x f x1 21例 8.【2018 届浙江省部分市学校高三上 9+1 联考】设函数 22sin 2sincos6f xxxx.（1）求 f x的单调递增区间；（2）若角A满足 1fA ， 3a ， ABC的面积为3 2，求bc的值.【答案】(1) ,63kk， kZ；(2) 3bc.【解析】试题分析：（1）函数解析式利用三角恒等变换化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性即可求出 f x的单调递增区间；（2）由 1fA 及 f x的9解析式求出A的值，再利用三角形面积公式及3a ，求出bc，然后根据余弦定理即可求出bc的值.试题解析：（1） 31sin2cos2cos222f xxxx 31sin2cos2sin 2226xxx，令222262kxk， kZ，得63kxk， kZ.又222cos33bcbc，化简得233bcbc，则29bc∴3bc.例 9.【2018 届山东省枣庄市第三中学高三一调模拟】已知向量，sin ,cos,2cos ,2cosaxxbxx函数. 1f xa b（1）求的对称中心； f x（2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的值. f x0,2 x【答案】 （1）；（2）最大值为，最小值为.,028kxkZ21【解析】试题分析：（1）由，令即可得对称中心； 12sin 24f xa bx 2 4xkkZ，10（2）由，得，进而根据正弦函数的图象即可得最值.0,2x32,444x （2）由（1）得， sin2cos22sin 24f xxxx因为，所以，0,2x32,444x 所以时，即， 的最大值为，242x3 8x f x2当时，即时， 的最小值为.244x 0x  f x1点睛：本题考查的知识点比较多，主要考查二倍角公式、两角差的正弦公式及三角函数的最值，属于中档题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最2sinsinyaxbxc值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③sin sinaxbycxd sinxy型，可化为求最值 .本题是利用方法③的思路解答的.sincosyaxbx22sinyabx例 10． 【2017 江苏，16】 已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].xxxab（1）若a a∥b b,求x的值；（2）记( )f x a b,求( )f x的最大值和最小值以及对应的x的值.【答案】 （1）5π 6x （2）0x 时，取得最大值，为 3； 5π 6x 时，取得最小值，为2 3.𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)11【名师点睛】(1)向量平行：1221/ /abx yx y，/ / ,0,ab bab  R  , 1 11BAACOAOBOC   (2)向量垂直：121200aba bx xy y ，(3)向量加减乘： 22 1212(,),|| ,|| ||cos,abxxyyaaa baba b。