三角函数的图象与性质[考试要求] 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间：，k∈Z，递减区间：，k∈Z递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z递增区间，k∈Z奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z对称中心，k∈Z对称中心，k∈Z对称轴x＝kπ＋(k∈Z)对称轴x＝kπ(k∈Z)—周期性2π2ππ提醒：(1)正弦、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y＝tan x无单调递减区间，y＝tan x在整个定义域内不单调．(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．函数具有奇、偶性的充要条件(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( )(2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )(3)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．( )(4)y＝sin|x|与y＝|sin x|都是周期函数．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×二、教材习题衍生1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( )A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2A [T＝＝π，A＝2－1＝1，故选A.]2．函数y＝tan 2x的定义域是( )A.B.C.D.D [由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，∴y＝tan 2x的定义域为.]3．y＝sin的单调递减区间是________．(k∈Z) [由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.]4．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.5 ＋2kπ(k∈Z) [函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝π＋2kπ(k∈Z)．] 考点一 三角函数的定义域 三角函数定义域的求法(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)．(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线．(3)对于函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域可令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z求解．1．函数y＝的定义域为________． [要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为.]2．函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________． [函数有意义，则即解得所以2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为.]3．函数y＝的定义域为________． [方法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.方法二：sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以定义域为.]点评：若定义域中含kπ或2kπ应注明k∈Z. 考点二 三角函数的值域(最值) 求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．[典例1] (1)已知函数f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－，则函数f(x)在区间上的值域是________．(2)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．(1)(－1,2] (2)－4 (3) [(1)f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－＝(1－cos 2x)＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝2sin.∵＜x＜，∴＜2x－＜，∴－＜sin≤1，∴－1＜2sin≤2，即函数f(x)在区间上的值域是(－1,2]．(2)∵f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，令cos x＝t，则t∈[－1,1]．∴f(t)＝－2t2－3t＋1＝－22＋，易知当t＝1时，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.故f(x)的最小值为－4.(3)设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.∴函数的值域为.]点评：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，令t＝ωx＋φ，求出t的范围，再根据y＝sin t的图象求sin t的值域，这是常用的方法．1．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________． [当x∈时，2x－∈，∴sin∈，故3sin∈，∴函数f(x)在区间上的值域为.]2．函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．1 [依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，因为x∈，所以cos x∈[0,1]，因此当cos x＝时，f(x)max＝1.] 考点三 三角函数的单调性 求三角函数的单调区间 三角函数单调区间的求法(1)将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数．(2)根据y＝sin x和y＝cos x的单调区间及A的正负，列不等式求解．[典例2－1] (1)函数f(x)＝3sin的一个单调递减区间是( )A. B．C. D．(2)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是________．(1)B (2) [(1)f(x)＝3sin＝－3sin.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，k＝0时，≤x≤，k＝1时，π≤x≤π，k＝－1时，－≤x≤－，∴是f(x)的一个单调递减区间，故选B.(2)∵y＝sin x＋cos x＝sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，又x∈，∴函数的单调递增区间为.]点评：本例(2) 在整体求得函数y＝sin x＋cos x的增区间后，采用对k赋值的方式求得x∈上的区间． 已知三角函数的单调性求参数 已知单调区间求参数范围的三种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解[典例2－2] (1)(2020·西安模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )A．(0,2] B．C． D．(2)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )A． B． C． D．π(1)D (2)A [(1)方法一(反子集法)：∵x∈，∴ωx＋∈.∵f(x)在上单调递减，∴解得又ω＞0，k∈Z，∴k＝0，此时≤ω≤，故选D.方法二(子集法) ：由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，得＋≤x≤＋，k∈Z，因为f(x)＝sin在上单调递减，所以解得因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，所以≤ω≤，即ω的取值范围为.故选D.(2)f(x)＝cos x－sin x＝cos，由0≤x＋≤π得－≤x≤π.∴是f(x)的一个单调递减区间．由题意知[－a，a]⊆，∴0＜a≤，则a的最大值为，故选A.]1．(2020·湖南省湘东六校联考)函数f(x)＝sin－，则下列表述正确的是( )A．f(x)在上单调递减B．f(x)在上单调递增C．f(x)在上单调递减D．f(x)在上单调递增D [f(x)＝sin－，由2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，当k＝0时，x∈，所以函数f(x)在上单调递增，故选D.]2．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若f(x)在区间上单调递增，则φ的取值范围是( )A． B．C． D．∪C [∵函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)在区间上单调递增，∴函数y＝2sin(2x＋φ)在区间上单调递减，由＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ－≤x≤＋kπ－，k∈Z，∴＋kπ－≤，≤＋kπ－，k∈Z，∴＋kπ≤≤＋kπ，k∈Z，＋2kπ≤φ≤＋2kπ，k∈Z，∵|φ|＜π，∴令k＝0，解得≤φ≤，∴φ的取值范围是.故选C.]3．函数g(x)＝－cos的单调递增区间为________．， [g(x)＝－cos＝－cos，欲求函数g(x)的单调递增区间，只需求函数y＝cos的单调递减区间．由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．因为x∈，所以函数g(x)的单调递增区间为，.]4．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递减，且函数值从1减少。
