单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式整理课件1第一章 多项式概述_1n代数角度 代数运算:加、减、乘、除(带余除法)及性质 最大公因式、互素、不可约、标准分解式、重因式n函数角度 根及其性质，余数定理n二者关联两多项式函数相等充要条件为这两多项式代数相等整理课件概述_2n与数域扩大无关的多项式性质整除、最大公因式、互素、余数定理等n与数域扩大有关的多项式性质不可约、因式分解、根理论等整理课件一元多项式l定义 K :数域, aiK, 0in ; n0, x : 未定元, 形如 称为K上关于x 的一元多项式. aixi : 称为第i 次项, ai : 第i 次项系数. n 次多项式: 当an 0时, 次数记为deg f (x)=n, anxn :首项, an :首项系数. a0 :常数项. 零次多项式(常数多项式): f (x)=a0 0.零多项式: f (x)=0, 此时规定: deg f (x)=整理课件多项式的相等n定义 两个多项式称为相等当且仅当它们的次数相同且各次项的系数相等即若 则f (x)= g(x)当且仅当m = n, ai = bi , 1 in整理课件多项式的运算_加法1设f (x), g (x) Kx, 适当增加几个系数为0的项,可设 定义加法:则 f (x) + g (x)Kx. 整理课件多项式的运算_加法2Kx对加法构成加群, 即满足如下性质 (1) ( f (x) + g(x) ) + h(x) = f (x) + ( g(x) + h(x) ) (2) f (x) + g(x) = g(x) + f (x) (3) 0 + f (x) = f (x) (4) f (x) + (f (x) ) = 0整理课件多项式的运算_数乘1 设定义c与f(x)的数乘为: 则 cf (x)Kx. 整理课件多项式的运算_数乘2Kx对加法与数乘构成K上的线性空间, 即满足(1) (4)且满足如下性质 (5) (6) (7) (8)整理课件多项式的运算_乘法设定义f (x) 与g(x)的乘积: f (x) g(x) = h(x) 其中整理课件Kx对加法,数乘和乘法构成K-代数, 即满足(1) (8) 且满足性质: (9) ( f (x) g(x)h(x) = f (x) (g(x) h(x) (10) f (x) g(x) = g(x) f (x) (11) (f (x)+g(x) h(x) = f (x) h(x)+ g(x) h(x) (12) c ( f (x) g(x) )=( c f (x) ) g(x) = f (x) ( c g(x) (13) 1f (x) = f (x). n注1:因为(9), (10), (13), Kx称为K上存在单位元1的结合交换代数.n注2:因为(1) (4), (9) (11), (13), Kx对加法和乘法构成有单位元的结合交换环.整理课件多项式的次数ldeg f (x)g(x)=deg f (x) + deg g(x)ldeg f (x) = deg cf (x) , 0 cKldeg ( f (x) + g(x) maxdeg f (x) , deg g(x)lf (x), g(x)Kx. f (x)0, g(x)0,则 f (x)g(x)0.l若 f (x) 0, f (x) g(x) = f (x) h(x) ,则 g(x) = h(x)整理课件整除_定义n定义:设 f (x), g(x) Kx. 若存在h(x) Kx. 使得 f (x) = g(x) h(x) ,则称 g(x) 整除f (x), 或 f (x)被g(x)整除, 或g(x)是f (x)的因式.记为g(x) | f (x). 否则记g(x) f (x). l任意的 f (x) Kx , 有 f (x) | 0l对 f (x) 0 , 则 0 f (x) l0 c K , 对任意 f (x) , 有 c | f (x).整理课件整除_性质n性质: f (x), g (x), h(x) Kx, 0 cK , 则 (1) f (x) | g(x), 则 c f (x) | g(x) (2) f (x) | g(x), g(x) | h(x), 则 f (x) | h(x) (3) f (x) | g(x), f (x) | h(x), 则 u(x), v(x) Kx, 有f (x) | u(x)g(x)+ v(x)h(x) (4) f (x) | g(x), g(x) | f(x), 则存在c 0K, 使 f (x)=cg(x).整理课件带余除法 设f (x), g (x) Kx , g (x) 0 ,则存在唯一q(x)、 r(x) Kx , 且deg r(x) deg g(x), 使得 f (x) = g (x)q(x) + r(x) 注:定理结论可叙述为：f (x) = g (x)q(x) + r(x), 这里或者 r(x) = 0，或者 0 deg r(x) deg g(x). q(x)称为g(x) 除 f (x) 的商式 , r(x) 称为 g(x) 除 f (x)的余式.推论: f (x), g (x) Kx , g (x) 0 ,则 g(x) | f(x)当且仅当 g(x) 除 f(x) 的余式为0.整理课件最大公因式_定义n定义:设 f (x), g (x) Kx , 若d(x) Kx使得 (1) d(x) | f (x) 且 d(x) | g(x) (2) 若h(x) | f (x)且 h(x) | g(x) ,则有 h(x) | d(x) 则称 d(x) 是 f (x)与 g (x) 的最大公因式.整理课件最大公因式_唯一性 设 d(x), d1 (x) 是 f (x) 和 g(x)的最大公因式, 据定义有 d(x) | d1 (x)且 d1(x) | d(x) , 故存在cK, 使得d(x) = cd1 (x). 即f (x), g(x)的最大公因式最多差一个非零常数。
规定 f (x), g(x)的最大公因式的首项系数为1，则 f (x), g(x)的最大公因式唯一确定, 记为d(x) = ( f (x), g(x) ) .整理课件最大公因式_存在性n定理设f (x), g (x) Kx , 则存在d(x) Kx ,使得 ( f (x), g(x) ) = d(x) , 且存在u(x), v(x) Kx,使得 d(x) = u(x) f (x) + v(x) g(x). 证明用Euclidean辗转相除法.n注1:证明方法即是计算方法.n注2:设f (x), g (x), d(x) Kx , 且 d(x) 的首项系数为1. 如果存在 u(x), v(x) Kx,使得 (1) d(x) = u(x) f (x) + v(x) g(x) (2) d(x) | f (x) , d(x) | g(x) 则 d(x) = ( f (x) , g(x) ).特别提示 若没有条件(2), 则(1)不能保证结论成立.整理课件最大公因式_多个多项式n定义:对m个多项式 fi(x) Kx , 1 i m ,若存在首项系数为1的 d(x) Kx , 使得(1) d(x) | fi(x) , 1 i m (2) 若 h(x) | fi(x) , 1 i m , 则 h(x) | d(x) 则称 d(x) 是 fi(x) , 1 i m 的最大公因式, 记做d(x) = (f1(x) , f2(x) , , fm(x) ) 命题:设f (x), g (x), h(x) Kx, 则 ( f (x), g (x), h(x) ) = ( ( f (x), g (x) ), h(x) ) = ( f (x), ( g (x), h(x) ) ) 整理课件互素_1n定义:设 f (x), g (x) Kx , 若( f (x) , g(x) ) = 1 , 则称 f (x) 与 g(x) 互素.n定理 设 f (x), g (x) Kx , 则 f (x) , g(x) 互素当且仅当存在 u(x), v(x) 使得 u(x) f (x) + v(x) g(x) = 1.整理课件互素_2n性质:l设 f1(x) | g(x), f2(x) | g(x), 且 (f1(x) , f2(x) ) = 1, 则f1(x) f2(x) | g(x).l设( f (x) , g(x) ) = 1, 且 f (x) | g(x)h(x), 则 f (x) | h(x).l设( f (x), g(x) ) = d(x), f (x) = f1(x) d(x), g(x) = g1(x)d(x), 则 ( f1(x) , g1(x) ) = 1.l设( f1(x) , g(x) ) = 1, ( f2(x) , g(x) ) = 1, 则( f1(x) f2(x) , g(x) ) = 1. 整理课件中国剩余定理_1n命题 设 p1(x), p2(x), pn(x)是数域K上两两互素的多项式,证明对于每个i, 1in,存在多项式fi(x),使得 n中国剩余定理 设p1(x), p2(x), pn(x)是数域K上两两互素的多项式,deg pi(x) = mi, 1 in,则对任意n个多项式f1(x), f2(x), fn(x),存在唯一多项式 f(x),使得deg f(x) m1+m2+mn, 且对任意 i, 1in,有f(x) fi(x)(mod pi(x).整理课件中国剩余定理_2nLanguage插值公式 设a1, a2, , an是数域K上n 个不同的数,则对任意 n 个数b1, b2, , bn, 存在唯一次数小于 n 的多项式 适合条件L(ai)=bi, 1 i n.整理课件不可约多项式_定义n定义 设 p(x)Kx, 且deg p(x)1, 若 p(x)不能表为两个次数较小的多项式之积, 则称 p(x)是不可约多项式, 否则称为可约多项式.n注 多项式的可约不可约与数域K有关.n例如 x22在Qx上是不可约多项式, 但在Rx上是可约多项式.整理课件不可约多项式_性质n性质1 f(x), p(x) Kx, 且p(x)是不可约多项式,则或 p(x)|f(x) 或 ( f(x), g(x) = 1.n性质2 设f(x), g(x), p(x) Kx,且 p(x)是不可约多项式, 若 p(x)| f(x) g(x), 则或 p(x)| f(x) 或 p(x)|g(x).n注1 设 p(x) Kx, 满足以下性质: 对任意 f(x) Kx或 p(x)| f(x) 或 ( f(x),g(x)=1, 则 p(x)是不可约多项式.n注2设 p(x) Kx, 满足以下性质: 对任意 f(x), g(x) Kx, 如果 p(x)| f(x)g(x) 必有 p(x)| f(x) 或 p(x)|g(x), 则 p(x)是不可约多项式.整理课件因式分解基本定理_1n设 f(x) Kx, 且deg f (x)1, 则1) f(x) = p1(x) p2(x) ps(x), 其中 pi(x) 是不可约多项式, 1is;2) 若f(x) = p1(x) p2(x) ps(x) = q1(x) q2(x) qt(x) 其中 pi(x), qj(x)是不可约多项式, 1is, 1jt,则 必有s = t且经过适当调换因子顺序后, qj(x)=ci pi(x), 1is, 其中ci是K中非零常数. n 多项式的标准分解式 其中pi(x)是两两互素首项系数为1的不可约多项式, ei1.整理课件最小公倍式n定义:设 f (x), g (x), c(x) Kx , 且 c(x) 的首项系数为1， c(x) 称为 f (x), g (x) 的最小公倍式 , 如果 1) f (x) | c(x) , 且 g(x) | c(x) 2) 若 f (x) | h(x) , g(x) | h(x) , 则 c(x) | h(x) 记为 c(x) = f。