三、匀变速直线运动的位移与时间的关系●教材解读一、知识要点1．位移与时间的关系O v /m. s-1t/s t v0vv0t 匀变速直线运动的位移与时间关系的公式为：x＝在匀加速直线运动中，以初速度v0方向为正方向，a为正值；在匀减速直线运动中，以初速度v0方向为正方向，a为负值在υ－t图象中，图线与t轴所围的梯形面积大小等于物体在t时间内的位移，如右图所示2．位移与速度的关系匀变速直线运动的位移与速度关系的公式为：，在研究匀变速直线运动时，如果不涉及到时间，用这个公式会使问题变得简单、方便O v /m. s-1t/s t v0vvt/2二、问题讨论1．如何推导匀变速直线运动的平均速度公式？匀变速直线运动的物体，其υ－t图线与t轴所围的梯形面积大小等于物体在t时间内的位移，如图所示由图象可求得，所以物体在0－t时间内的平均速度在推导过程中我们得到了匀变速直线运动的两个重要推论：⑴ 位移与初末速度关系的公式：；⑵ 某段时间的中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度：2．匀变速直线运动的物体在相等时间内的位移变化有何规律？物体做匀变速直线运动，设第一个T时间的初速度为v0、末速度为v1、位移为x1，第二个T时间的末速度为v2、位移为xⅡ，位移之差为△x，则v0v1v2x1xⅡTTx1＝，xⅡ＝O v t 4Tv0v1T 2T 3T aT T v2△x＝xⅡ—x1 ＝—＝又所以，△x＝T2＝定值。
式中△x是物体在相邻相等时间内的位移之差；是加速度，匀加速>0，匀减速<0；T是每个相等的时间间隔可见，做匀变速直线运动的物体在相邻相等时间内的位移之差都相等，该定值等于T2此题也可借助υ－t图象分析：如图所示，后面一个T时间内的位移与前面一个T时间内的位移之差在图象上就等于每个阴影矩形的面积每个阴影矩形的长为T，高为T（就是在T时间内速度的变化），因此每个阴影矩形的面积为T2，即△x＝T23．物体做初速为零的匀加速直线运动，其运动有哪些特殊规律？如果物体从静止开始做匀加速直线运动，初速度v0=0，根据公式、x＝、，可得出如下一些推论：⑴ 由得，则物体在时刻t、2t、3t、…… n t的速度之比v1∶v2∶v3∶……∶vn＝1∶2∶3∶……∶n⑵ 由得则物体通过位移x、2x、3x、…… nx时的速度之比v1∶v2∶v3∶……∶vn＝∶∶∶……∶⑶ 由得，则物体在时间t、2t、3t、…… n t内通过的位移之比x1∶x2∶x3∶……∶x n＝12∶22∶32∶……∶n2⑷ 由得，物体通过位移x、2x、3x、…… nx所需的时间之比t1∶t2∶t3∶……∶t n＝∶∶∶……∶●例题解析例1 汽车启动时从静止开始作匀加速直线运动，在第1s内通过的位移为1.2m，求该汽车在第5秒内通过的位移。
分析和解 要求汽车在第5s内通过的位移，可先求出前5s内通过的位移和前4s内通过的位移，然后相减可得据公式，可列出汽车第1s内通过的位移： ①前4s内通过的位移： ②前5s内通过的位移： ③故第5s内通过的位移为：xⅤ＝ ④将式④与式①相除，可得： ＝9所以 m＝10.8m.回顾与拓展 ⑴ 本题有多种解法，上述解答采用了比例法：先分别对两个过程列出对应的物理方程（①式和④式），然后相除得到比例式用比例法解题时，也可以先由相关公式推出已知量与未知量的关系式，进而写出比例式本题也可以这样求解：据公式，可推得汽车在第ns内通过的位移为由此可得 ，于是有所以，汽车在第5s内通过的位移为：m＝10.8m.⑵ 对于初速度为零的匀加速直线运动，我们运用前面“问题讨论3”中的推论容易得出：汽车在第1、2、…、ns内通过的位移之比为1∶3∶…∶（2n－1）你不妨利用这一关系直接求解本题⑶ 请你求解下面问题：物体由静止开始做匀加速直线运动，当其位移为x时的速度为v，求位移为时的速度v’为多大？例2 一辆汽车自静止开始以恒定加速度沿直线加速到速度为40m/s，然后立即匀减速到停止，在此全过程中通过700m，问汽车运动共经历了多长时间？分析和解 汽车的运动可分为匀加速和匀减速两个过程，两段运动的联系是：加速过程的末速度就是减速过程的初速度；两段位移之和=700m；总时间为两段时间之和。
x1t1t1v0vx2v’匀加速过程的已知是：初速度v0＝0、末速度v＝40m/s；匀减速运动的已知是：初速度v＝40m/s、末速度v’＝0因为不知道加速度a，故可选用包括v0、v、x、t四个量的公式列方程求解: ① ②＝700m ③由①②③解得＝35s回顾与拓展 ⑴ 求解运动学问题要养成根据题意画出物体运动示意图的习惯特别对较复杂的运动，画出草图可使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究O v /m. s-1t/s t 40 ⑵ 分析研究对象的运动过程，要搞清整个运动过程按运动性质的不同可划分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段之间存在什么联系，以便于选择恰当的公式来分析求解⑶ 解决匀变速直线运动的问题，可用公式法，也可用图象求解本题也可以用v-t图象求解如图所示，v-t图线所围面积（三角形面积）表示物体这段时间通过的位移，由三角形面积x＝40=700m，解得t=35s例3 在测定匀变速直线运动的加速度的实验中，用打点计时器记录纸带运动的时间，计时器所用电源的频率为50Hz（打点时间间隔为0.02s），如下图为做匀变速直线运动的小车带动的纸带上记录的一些点，在每相邻的两点中间都有四个点未画出。
按时间顺序取0、1、2、3、4、5六个点，用米尺量出1、2、3、4、5点到0点的距离分别是：（单位：cm）8.77、16.08、21.87、26.16、28.94，由此可得小车的加速度的大小为 m/s2,方向与初速度的方向（填“相同”或“相反”）结果保留小数点后1位）计时器在打计数点3时小车的速度为 m/s分析和解 题中只给出各计数点之间的测量距离，故难以搬用前面实验中的近似方法来粗测各计数点的瞬时速度（否则可能会造成较大的误差）所以也就难以用前面的实验方法求其加速度的大小因各计数点间的时间间隔相同，我们可以运用“问题讨论2”中的推论来分析：做匀变速直线运动的物体在相邻相等时间内的位移之差都相等，且等于T2即有，其中x1为计数点0、1间位移、x2为计数点1、2间位移，其余依次类推由于实验总会存在误差，为减少实验误差，可把x1、x2、……x5分成x1、x2和x4、x5、两组，则有x4－x1=（x4－x3）+（x3－x2）+（x2－x1）=3aT2写成x4－x1=3a1T2，同理x5－x2=3a2T2，故有，从而，求出纸带上各计数点间的间距x1、x2、x4、x5，T＝0.1s。
将之代入上式，解得m/s2，即小车的加速度大小为1.5m/s2小车运动中各相等时间间隔内通过的位移逐渐减小，所以小车做匀减速运动，加速度方向与初速度方向相反回顾与拓展 ⑴ 上述解答运用匀变速直线运动的推论△x＝T2来处理纸带，测定小车的加速度其中计算加速度平均值的方法称为逐差法逐差法利用了较多的实验数据（x1、x2、x4、x5），使偶然误差尽可能抵消，这样算出的值误差较小⑵ 我们还可以运用“问题讨论2”中的推论求在打各计数点时小车的速度根据匀变速运动中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，即，由于各计数点间的时间间隔相同，故打计数点2时小车的瞬时速度v2＝，以此类推可求得3、4点的瞬时速度图⑶ 一个小车M上装有一个滴墨水的容器，每分钟滴出120滴墨水．重物N通过滑轮用绳拉动小车做匀加速运动,小车经过处，在桌面上留下一系列墨滴，如图所示，测出ab=0.11m，bc=0.14m，cd=0.16m．求小车运动的加速度和小车在b、c点处的瞬时速度（保留两位有效数字）●基础训练1．已知长为L的光滑斜面，物体从斜面顶端由静止开始以恒定的加速度下滑，当物体的速度是到达斜面底端速度的一半时，它沿斜面滑下的距离是（ ）A． B. C. D. 2. 做匀减速直线运动的物体经过3s速度为零，已知第3秒内的位移是1m，物体在这3s内的平均速度是 （ ）A、9m/s B、6m/s C、5m/s D、3m/s3.飞机着陆后在跑道上做匀减速直线运动，已知初速度是60m/s，加速度大小是6m/s2，则飞机着陆后12秒内的位移大小是 （ ）A、288m B、300m C、600m D、360m4.一物体做匀变速直线运动，其位移与时间关系是：x =（10—4t2）m，则( )A、物体的初速度是10m/s B、物体的加速度是—4m/sC、物体的加速度是8m/s2 C、物体在2s末的速度为—6m/s5．A、B两质点的v－t图像如图所示，设它们在同一条直线上运动，在t=3s时它们在中途相遇，由图可知：A、A比B先启程 B、A比B后启程C、两质点启程前A在B前面4mD、两质点启程前A在B后面2m6．一物体做匀变速直线运动，初速度为15m／s，方向向东．第5s未的速度为10m／s，方向向西，则第几秒开始物体向西运动 ( )A．第2s末 B. 第3s末 C. 第4s末 D. 第15s末7．列车长为L，铁路桥长也为L，列车沿平直轨道匀加速过桥，车头过桥头时速度为，车头过桥尾时速度为，则车尾通过桥尾时速度为（ ）A、 B、 C、 D、8.一物体由静止开始做匀加速直线运动，在4s内的位移是64m，则在前一半时间内物体的位移是_______m，经过前一半位移所需的时间是________s。
9.一质点从静止开始以1 m/s2的加速度做匀加速运动，经过5 s后做匀速运动，最后2 s的时间使质点匀减速到静止，则质点匀速运动时的速度为 m/s，减速运动时的加速度为 m/s210.某市规定：卡车在市区内行驶速度不得超过40 km/h.一次一辆卡车在市区路面紧急刹车后，经1.5 s停止，量得刹车痕迹s=9 m.，问这车是否违章？ 11.如图所示，表示某物体做直线运动的v—t图像，从图可知OA段、AB段、BC段、CD段的加速度分别是______m/ s2、______m/s2、______m/ s2、______m/ s2，物体在14s内的总位移、总路程分别是________m、______m12.2004年7月25日，中国用长征运载火箭成功的发射了“探测二号”卫星．图7是某监测系统每隔2.5s拍摄的，关于起始加速阶段火箭的一组照片已知火箭的长度为40m，用刻度尺测量照片上的长度关系，结果如图7所示．火箭的加速度a= ，火箭在照片中第2个像所对应时刻的瞬时速度大小v= 。