张量基本知识 1.1 指标记法1.1.1 求和约定、哑指标第一章 张量代数 1.1 基本概念 1. 标标量量：只有大小、没有方向性的物理量，与坐坐标标系系选择无关用字母表示，如温度T、时间t、密度 等标量无下标2. 矢矢量量：有大小，又有方向性的物理量 如矢径 （或黑体）、位移 、力 等矢量可用一个方向来确定 x3x2x1r其中 、 、 为坐标的基矢量（单位向量、基矢），r1、r2、r3为r在坐标轴的投影（分量），都有一个下标 记法：记法：（1）实体记法：（或黑体字母）r（2）分解式记法：同时写出矢量的分量和相应分解分量的基3）分量记法： 将矢量用其全部分量的集合来表示r（（ r1、r2、r3 )（4）矩阵记法： 3,张量张量：有大小，并具有多重方向性的量（可描述更复杂的物理量） 如应力 、应变 有些量不能只利用一个方向来确定如应力：它与两个方向有关在 方向（ 为作用面的法矢），应力矢为 ；而在 方向，应力矢为这说明应力矢本身有方向，而且还与其作用面方向有关，必须用两个方向才能必须用两个方向才能描述应力矢描述应力矢 11 eexxs 31 eexzt21 eexyt 常用的应力单元体也是如此： 每一个应力分量也必须用两个方向才能描述，第一个方向为应力作用面的方向，第一个方向为应力作用的方向。
每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢）表示，称为二阶张量 于是引入二阶基： 故矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量标量由1个分量组成，矢量由3个分量组成，二阶张量由9个分量组成；三阶张量由27个分量组成，n阶张量由3n个分量组成 从数学上说，可引入 阶基， 阶基中有 个基矢与 阶基相关连的量称为 阶张量 时为标量； 时为矢量； 时为二阶张量（简称张量） 1.2 张量表示张量表示 1.2.1.下标记号法下标记号法————张量的最简洁的一种表示方法张量的最简洁的一种表示方法 点的坐标(x,y,z) （矢径）点的位移(u,v,w) 点的速度应力（张量）： 应应力力张张量量可表示为（i=1,2,3; j=1,2,3） 应变张量： 应变张量可表示为（i=1,2,3; j=1,2,3） 微分符号： 约定约定： 英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3. 在该约定下，上述简写表达式后的说明 或 在以后的写法中将被略去 n阶张量可表示为 1.2.2求和约定求和约定 （ Einstein求和约定）矢量点积的实例 设 为两矢量，其分量分别记为 ，则：哑标哑标：在表达式的某项中，若某指标重复出现两在表达式的某项中，若某指标重复出现两次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和。
次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和该重复指标称为该重复指标称为““哑标哑标””或或““伪标伪标”” 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，…，n这样重复的指标称为哑标于是* * 1 1、哑标的符号可以任意改变、哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）（仅表示求和） 是违约的，求和时要保留求和号* *2 2、哑标只能成对出现、哑标只能成对出现, ,否则要加上求和号或特别指出否则要加上求和号或特别指出 * *3 3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和 双重求和展开式（9项） 三重求和（27项）n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3例题： 含偏导数项的下标记号表示法： * *若重复出现的标号不求和，应特别声明若重复出现的标号不求和，应特别声明 1.2.3 自由指标例如指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标一个自由指标每次可取整数1,2, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。
于是，上式表示3个方程的缩写：一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非重复的的指标，称为自由指标对于自由指标可以从最小数取重复的的指标，称为自由指标对于自由指标可以从最小数取到最大数到最大数 *1*1、自由指标仅表示为轮流取值，因此也可以换标，但必须、自由指标仅表示为轮流取值，因此也可以换标，但必须整个表达式换标整个表达式换标 ；； 出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）规定：这里 i 相当于一个自由指标，而 i 只是在数值上等于 i，并不与 i 求和 *2*2若重复出现的标号不求和的表示：若重复出现的标号不求和的表示： 又如，方程用指标法表示，可写成i 不参与求和，只在数值上等于 i *3*3由由 不能得出不能得出 . i 为自由指标，j 为哑标表示如下3个方程： 例题： 表示如下3个方程： i 为自由指标，j 为哑标等价为 i ，j为自由指标，k 为哑标表示9个方程：…… 1.3 Kronecker 符号在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， 可确定一单位矩阵：（kronecher delta） 符号的性质：性质： ① 对称性 ② 可进行换标或运算 笛卡尔坐标系的基向量的点积 若是相互垂直的单位矢量，则，但而，故 注意：是一个数值，即的作用：1）换指标；2）选择求和。
例1：思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示 例2：例3：个数，项的和求特别地，如果 ij 符号的两个指标中有一个指标和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成ij的另一个指标，而 ij 自动消失ij 也称为换标符号 符号的应用应用 ① 矢量与代数运算 两个任意向量点积 ② 微分运算 1.4 置换符号（Permutatisn Symbol） 一、定义：1123123 例如： eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有27个元素 123（不为0的共六项，三项为正1，三项为负1） 可见：也称为三维空间的排列符号表明，标号改变奇次位置时改变正、负号；标号改变偶数次位置表明，标号改变奇次位置时改变正、负号；标号改变偶数次位置时不改变符号时不改变符号排列符号的应用：排列符号的应用： 排列符号的作用可以简化公式书写排列符号的作用可以简化公式书写 1． 三阶行列式 ：（共六项，三项为正，三项为负） 二、 2. 基向量的叉积：右手系 任意基向量的叉积可写为 3．向量叉积的展开式： 而 则 三、常见的恒等式三、常见的恒等式( i )( ii )( iii )( iv )之关系 证明：令即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换，展开化简，将得其余三式。
指标任意排列，经过行列调指标任意排列，经过行列调整总可用右边表示，两个置整总可用右边表示，两个置换符号分别反映行、列调换换符号分别反映行、列调换及指标重复时的正、负及零及指标重复时的正、负及零( i ) 另证：由矢量恒等式 反复运用 式，有 设 另一方面 (a)(b) (a)(b)代入有（矢量恒等则矢量的各分量应相等）由于对任意的 上式均成立： 若将上式中的下标s换为j有 若将上式中的下标 t换为k, 有 二维置换符号其中从三维退化得到有下列恒等式 关键公式： 二维关键公式： 1.5 指标记法的运算1.5.1 代入设(1)(2)把（2） 代入（1）mn or else3个方程，右边为9项之和 1.5 指标记法的运算1.4.2 乘积设则不符合求和约定 1.5 指标记法的运算1.4.3 因式分解考虑第一步用表示有换指标的作用所以即 1.5 指标记法的运算1.5.4 缩并使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并如各向同性材料应力应变关系向同性材料应力应变关系缩并哑标与求和无关，可用任意字母代替为平均应力应变之间的关系 1.5 指标记法的运算1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换求和约定同样适用于微分方程。
不可压缩牛顿流体的连续性方程：其普通记法或 1.5 指标记法的运算1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：写出其普通记法 1.5 指标记法的运算1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换弹性力学平衡方程方程：写出其指标记法 1.5 张量的定义1.5.1 坐标系的变换关系（笛卡儿右手直角坐标系）•坐标的旋转变换坐标的旋转变换oxyA BcD引例:(平面直角坐标系) 新旧基矢量夹角的方向余弦：旧坐标系：单位基矢量：新坐标系：单位基矢量：x3x2x1x3x2x1 1.5.1 坐标系的变换关系 旧新x3x2x1x3x2x1 图解（二维）：在解析式中记： 1.5.1 坐标系的变换关系从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量（对 i 求和，为自由指标）张量的性质性质: : 张量不是对称张量 1)因为 ，而 ，所以 x3x2x1x3x2x1 张量是正交张量 张量的转置记为 第一式两边乘以 第二式两边乘以 ,有于是 即 或 1.5.2 标量（纯量 Scalar）在坐标变换时其值保持不变，即满足如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。
时间是否标量？ 1.5.3 矢量（Vector）设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为即（对 i’ 求和）（对 i 求和）满足以下变换关系的三个量 定义一个矢量 1.5.3 矢量（Vector）哑标换成 k 比较上式两边，得即该变换是正交的 1.5.4 张量（Tensor）对于直角坐标系，有九个量按照关系变换成中的九个量则此九个量定义一个二阶张量将矢量定义加以推广：（增加指标和相应的变换系数） 1.6 张量的分量 设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，a为任一矢量，其分量为ai，于是 对于一个二阶张量T，它可以将a变换成另一个矢量b，即 称为二阶张量T的分量 令 可理解为矢量T·ej在ei上的分量，即 因此，有下面三种等价的表达式： 其中称为在基矢量组{e1, e2, e3}下二阶张量 T 的矩阵注意：矢量 a、b 及张量T本身与坐标系无关，但其分量 ai, bi, Tij 通过基矢量组{e1, e2, e3}与坐标系相关 1.7.1 张量的加法和减法 设T、S均为二阶张量，将它们的和、差用下式表示： 仍为二阶张量 若a为一矢量，则 其分量为： 其矩阵形式为： 1.7.2 张量和标量的乘积 设T为二阶张量， 为一标量，它们的乘积记为 ，则 仍为二阶张量。
因为根据坐标变换，有 可见， 为二阶张量 1.7.3 并矢积、并矢记法、基张量 矢量 a 和矢量 b 的并矢积 ab 定义为按下列规则变换任意矢量的变换： 二阶张量 一阶 零阶 关于是二阶张量的证明： 即证明 满足张量的定义： —— 是一个线性变换 设有任意矢量 ，及标量 ，则由并矢积定义 可见： 满足张量的定义 关于基矢量组 的分量： 有些文献把 写成 矩阵形式： 基矢量 的并矢积： … 于是，二阶张量 可以表示成 ：即这种并矢记法可以推广到任意阶张量，例如三阶张量 ： 一阶基张量 二阶基张量 n 阶基张量 可用上述并矢记法表示基张量： 一阶张量 二阶张量 n 阶张量 于是，有等号右边称为广义标量记法 到此为止，我们已有四种张量记法：不变性（符号，抽象）记法 分量（指标）记法 并矢记法 广义标量记法 。