1第八章第八章 函数函数主要内容主要内容函数的定义与性质函数的定义与性质l函数定义函数定义l函数性质函数性质函数运算函数运算l函数的逆函数的逆l函数的合成函数的合成双射函数与集合的基数双射函数与集合的基数延安大学西安创新学院离散数学28.1 函数的定义与性质函数的定义与性质主要内容主要内容函数定义与相关概念函数定义与相关概念l函数定义函数定义l函数相等函数相等l从从A到到B的函数的函数f:ABlBAl函数的像与完全原像函数的像与完全原像函数的性质函数的性质l单射、满射、双射函数的定义与实例单射、满射、双射函数的定义与实例l构造双射函数构造双射函数某些重要的函数某些重要的函数3函数定义函数定义定义定义8.1设设F 为二元关系为二元关系,若若 xdomF 都存在唯一的都存在唯一的yranF 使使xFy 成立成立,则称则称F 为为函数函数对于函数对于函数F,如果有如果有xFy,则记作则记作y=F(x),并称并称y 为为F 在在x 的的值值.例例F1=,F2=,F1是函数是函数,F2不是函数不是函数定义定义8.2设设F,G 为函数为函数,则则F=G F GG F如果两个函数如果两个函数F 和和G 相等相等,一定满足下面两个条件：一定满足下面两个条件：(1)domF=domG(2) xdomF=domG 都有都有F(x)=G(x)函数函数F(x)=(x2 1)/(x+1),G(x)=x 1不相等不相等,因为因为domF domG.4从从A到到B的函数的函数定义定义8.3设设A,B为集合为集合,如果如果 f 为函数为函数,domf=A,ranf B,则称则称f 为为从从A到到B的函数的函数,记作记作f：AB.例例f：NN,f(x)=2x 是从是从N到到N的函数的函数, g：NN,g(x)=2也是从也是从N到到N的函数的函数.定义定义8.4所有从所有从A到到B的函数的集合记作的函数的集合记作BA,符号化表示为符号化表示为BA =f|f：AB |A|=m,|B|=n,且且m,n0,|BA|=nmA=,则则BA=B=A且且B=,则则BA=A=5实例实例例例1设设A=1,2,3,B=a,b,求求BA.解解BA=f0,f1,f7,其中其中f0=,f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,f7=,6函数的像和完全原像函数的像和完全原像定义定义8.5设函数设函数f：AB,A1 A,B1 B(1)A1在在f 下的像下的像f(A1)=f(x)|xA1,函数的像函数的像f(A)(2)B1在在f 下的完全原像下的完全原像f 1(B1)=x|xAf(x)B1注意：注意：l函数值与像的区别：函数值函数值与像的区别：函数值f(x)B,像像f(A1) Bl一般说来一般说来f 1(f(A1)A1,但是但是A1 f 1(f(A1)例例设设f：NN,且且令令A=0,1,B=2,那么有那么有f(A)=f(0,1)=f(0),f(1)=0,2f 1(B)=f 1(2)=1,47函数的性质函数的性质定义定义8.6设设f：AB,(1)若若ranf=B,则称则称f:AB是是满射满射的的(2)若若 yranf 都存在唯一的都存在唯一的xA 使得使得f(x)=y,则称则称f:AB 是是单射单射的的(3)若若f:AB 既是满射又是单射的既是满射又是单射的,则称则称f:AB是是双射双射的的例例2判断下面函数是否为单射判断下面函数是否为单射,满射满射,双射的双射的,为什么为什么?(1)f:RR,f(x)= x2+2x 1(2)f:Z+R,f(x)=lnx,Z+为正整数集为正整数集(3) f:RZ,f(x)= x (4)f:RR,f(x)=2x+1(5)f:R+R+,f(x)=(x2+1)/x,其中其中R+为正实数集为正实数集.8例题解答例题解答解解(1)f:RR,f(x)= x2+2x 1在在x=1取得极大值取得极大值0.既不是单射也不是满射的既不是单射也不是满射的(2)f:Z+R,f(x)=lnx是单调上升的是单调上升的,是单射的是单射的.但不满射但不满射,ranf=ln1,ln2,.(3)f:RZ,f(x)= x 是满射的是满射的,但不是单射的但不是单射的,例如例如f(1.5)=f(1.2)=1(4)f:RR,f(x)=2x+1是满射、单射、双射的是满射、单射、双射的,因为它是单调函数并且因为它是单调函数并且ranf=R(5)f:R+R+,f(x)=(x2+1)/x有极小值有极小值f(1)=2.该函数既不是单射的也不是满射的该函数既不是单射的也不是满射的9实例实例例例3对于给定的集合对于给定的集合A和和B构造双射函数构造双射函数f:AB(1)A=P(1,2,3),B=0,11,2,3(2)A=0,1,B=1/4,1/2(3)A=Z,B=N(4),B= 1,110解答解答(1)A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3.B=f0,f1,f7,其中其中f0=,f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,f7=,.令令f:AB, f()=f0,f(1)=f1,f(2)=f2,f(3)=f3, f(1,2)=f4,f(1,3)=f5,f(2,3)=f6,f(1,2,3)=f711(2)令令f:0,11/4,1/2,f(x)=(x+1)/4(4)令令 f: :/2,3/2 1,1f(x)=sinx解答解答(3)将将Z中元素以下列顺序排列并与中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：中元素对应：Z：0 11 22 33N：0123456这种对应所表示的函数是：这种对应所表示的函数是：12某些重要函数某些重要函数定义定义8.7(1)设设f:AB,如果存在如果存在cB使得对所有的使得对所有的xA都有都有f(x)=c,则称则称f:AB是是常函数常函数.(2)称称A上的恒等关系上的恒等关系IA为为A上的上的恒等函数恒等函数,对所有的对所有的xA都都有有IA(x)=x.(3)设设,为偏序集，为偏序集，f:AB，如果对任意的，如果对任意的x1,x2A,x1 x2,就有就有f(x1) f(x2),则称则称f 为为单调递增单调递增的；如的；如果对任意的果对任意的x1,x2A,x1 x2,就有就有f(x1) f(x2),则称则称f 为为严严格单调递增格单调递增的的.类似的也可以定义单调递减和严格单调递类似的也可以定义单调递减和严格单调递减的函数减的函数13(4)设设A为集合为集合,对于任意的对于任意的A A,A的的特征函数特征函数 A :A0,1定义为定义为 A(a)=1,aA A(a)=0,aA A(5)设设R是是A上的等价关系上的等价关系,令令g:AA/Rg(a)=a, aA称称g 是从是从A 到商集到商集A/R 的的自然映射自然映射某些重要函数某些重要函数14实例实例例例4(1)偏序集偏序集,R 为包含关系为包含关系,为为一般的小于等于关系一般的小于等于关系,令令f:P(a,b)0,1, f()=f(a)=f(b)=0,f(a,b)=1, f 是单调递增的是单调递增的,但不是严格单调递增的但不是严格单调递增的(3)不同的等价关系确定不同的自然映射不同的等价关系确定不同的自然映射,恒等关系确定的自恒等关系确定的自然映射是双射然映射是双射,其他自然映射一般来说只是满射其他自然映射一般来说只是满射.例如例如 A=1,2,3,R=,IA g: AA/R, g(1)=g(2)=1,2,g(3)=3(2)A的每一个子集的每一个子集A都对应于一个特征函数都对应于一个特征函数,不同的子集对不同的子集对应于不同的特征函数应于不同的特征函数.例如例如A=a,b,c,则有则有 =,， a,b=,158.2函数的复合与反函数函数的复合与反函数 主要内容主要内容l复合函数基本定理复合函数基本定理l函数的复合运算与函数性质函数的复合运算与函数性质l反函数的存在条件反函数的存在条件l反函数的性质反函数的性质16复合函数基本定理复合函数基本定理定理定理8.1设设F,G是函数是函数,则则F G也是函数也是函数,且满足且满足(1)dom(F G)=x|xdomFF(x)domG(2) xdom(F G)有有F G(x)=G(F(x)证证先证明先证明F G是函数是函数.因为因为F,G是关系是关系,所以所以F G也是关系也是关系.若对某个若对某个xdom(F G)有有xF Gy1和和xF Gy2,则则F G F Gt1(F G) t2(F G)t1 t2(t1=t2 G G（F为函数）为函数）y1=y2（G为函数）为函数）所以所以F G 为函数为函数17证明证明任取任取x,xdom(F G) t y(F G) t (xdomF t=F(x)tdomG)xx |xdomFF(x)domG 任取任取x,xdomFF(x)domGFGF Gxdom(F G)F G(x)G(F(x)所以所以(1)和和(2)得证得证18推论推论推论推论1设设F,G,H为函数为函数,则则(F G) H和和F (G H)都是函数都是函数,且且(F G) H=F (G H)证证由上述定理和运算满足结合律得证由上述定理和运算满足结合律得证.推论推论2设设f:AB,g:BC,则则f g:AC,且且 xA都有都有f g(x)=g(f(x)证证由上述定理知由上述定理知f g是函数是函数,且且dom(f g)=x|xdomff(x)domg=x|xAf(x)B=Aran(f g) rang C因此因此f g:AC,且且 xA有有f g(x)=g(f(x)19函数复合与函数性质函数复合与函数性质定理定理8.2设设f:AB,g:BC(1)如果如果f:AB,g:BC是满射的是满射的,则则f g:AC也是满射的也是满射的(2)如果如果f:AB,g:BC是单射的是单射的,则则f g:AC也是单射的也是单射的(3)如果如果f:AB,g:BC是双射的是双射的,则则f g:AC也是双射的也是双射的证证(1)任取任取cC,由由g:BC的满射性的满射性, bB使得使得g(b)=c.对于这个对于这个b,由由f:AB的满射性，的满射性， aA使得使得f(a)=b.由合成定理有由合成定理有 f g(a)=g(f(a)=g(b)=c从而证明了从而证明了f g:AC是满射的是满射的20证明证明(2)假设存在假设存在x1,x2A使得使得f g(x1)=f g(x2)由合成定理有由合成定理有 g(f(x1)=g(f(x2)因为因为g:BC是单射的是单射的,故故f(x1)=f(x2).又由于又由于f:AB是单射的是单射的,所所以以x1=x2.从而证明从而证明f g:AC是单射的是单射的.(3)由由(1)和和(2)得证得证.注意：定理逆命题不为真注意：定理逆命题不为真,即如果即如果f g:AC是单射是单射(或满射、双或满射、双射射)的的,不一定有不一定有f:AB 和和g:BC都是单射都是单射(或满射、双射或满射、双射)的的.定理定理8.3 设设f:AB,则则f = f IB=IA f （证明略）（证明略） 21实例实例考虑集合考虑集合A=a1,a2,a3,B=b1,b2,b3,b4,C=c1,c2,c3.令令f=,g=,f g=,那么那么f:AB和和f g:AC是单射的是单射的,但但g:BC不是单射的不是单射的.考虑集合考虑集合A=a1,a2,a3,B=b1,b2,b3,C=c1,c2.令令f=,g=,f g=,那么那么g:BC 和和f g:AC是满射的是满射的,但但f:AB不是满射的不是满射的.22反函数反函数反函数存在的条件反函数存在的条件(1)任给函数任给函数F,它的逆它的逆F 1不一定是函数不一定是函数,只是一个二元关系只是一个二元关系.(2)任给单射函数任给单射函数f:AB,则则f 1是函数是函数,且是从且是从ranf 到到A的双的双射函数射函数,但不一定是从但不一定是从B到到A的双射函数的双射函数(3)对于双射函数对于双射函数f:AB,f 1:BA是从是从B到到A的双射函数的双射函数.定理定理8.4设设f:AB是双射的是双射的,则则f 1:BA也是双射的也是双射的.证明思路：证明思路：。