无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限;３、不同类型的未定式的不同解法教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换; 4、求极限的方法重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限难点是未定式的极限的求法教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（３0分钟）,在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法(20分钟)最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25分钟)，课堂练习（15分钟）授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了数列的极限、(、）函数的极限、（、)函数的极限这七种趋近方式下面我们用*表示上述七种的某一种趋近方式,即＊定义：当在给定的＊下，以零为极限，则称是*下的无穷小,即.例如， 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆;零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小定义： 当在给定的*下，无限增大，则称是*下的无穷大,即显然，时,都是无穷大量,【注意】不能把无穷大与很大的数混淆;无穷大是极限不存在的情形之一.无穷小与无穷大是相对的,在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如 ， ，所以当时为无穷小，当 时为无穷大.2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小;反之，如果为无穷小,且，则为无穷大.小结:无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3．无穷小与函数极限的关系:定理1 其中是自变量在同一变化过程(或）中的无穷小证:（必要性)设令则有(充分性)设其中是当时的无穷小,则 【意义】(１)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小）;（2)3.无穷小的运算性质定理２ 在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理３ 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：,，推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小．推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小二、无穷小的比较例如,观察各极限：不可比.极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义： 设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且 例1 证：例2 解2．常用等价无穷小：（1）~; （２)～; （3）～； (４）～； （5）~; （6)~(7)~ （８)～ (9）～用等价无穷小可给出函数的近似表达式：例如3．等价无穷小替换定理:证：例3 (１)； （2） 解： (１） 故原极限= 8(2）原极限==例4 错解： =0正解： 故原极限【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换.例5 解： 原式三、极限的简单计算1. 代入法：直接将的代入所求极限的函数中去，若存在,即为其极限，例如;若不存在,我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例如，就代不进去了,但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解２. 分解因式，消去零因子法例如， 分子(分母)有理化法例如， 又如,4． 化无穷大为无穷小法例如，，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量.由此不难得出又如，，(分子分母同除)再如，，(分子分母同除） 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如,，（无穷小量乘以有界量）又如,解：商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系，得再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例３—例56． 利用两个重要极限求极限（例题参见§１.4例3-例5）７． 分段函数、复合函数求极限例如,解: 左右极限存在且相等， 【启发与讨论】思考题1：解: 无界, 不是无穷大．结论：无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大思考题２：若，且，问:能否保证有的结论？试举例说明.解：不能保证. 例 思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗?解：不能例如当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大，故当时和不能比较。
课堂练习】求下列函数的极限(1）；解：原极限=（2）求【分析】 “"型，拆项解：原极限＝==（3） ； 【分析】“抓大头法”,用于型解:原极限==，或原极限(4）；【分析】分子有理化解：原极限=＝=(5）【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用,需先通分，后计算解：＝==（６)【分析】“”型,是不定型,四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子. 解:原极限==6（７）解: 先变形再求极限.【内容小结】一、无穷小（大）的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的．１、主要内容： 两个定义;四个定理;三个推论.２、几点注意:(1） 无穷小( 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆,零是唯一的无穷小的数；(2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积)未必是无穷小3) 无界变量未必是无穷大．二、无穷小的比较：1．反映了同一过程中， 两无穷小趋于零的速度快慢， 但并不是所有的无穷小都可进行比较.高（低）阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法， 注意适用条件.三、极限求法(不同类型的未定式的不同解法）;a．多项式与分式函数代入法求极限；b.消去零因子法求极限；c。
无穷小因子分出法求极限;ｄ利用无穷小运算性质求极限；e利用左右极限求分段函数极限.文中如有不足，请您见谅！ / 。