第 五 章 直线与平面、 平面与平面的相对位置,（编制 李小平）,,本 章 目 录,§5-1 平行问题,§5-2 相交问题,§5-3 垂直问题,§5-4 综合问题解题示例,§5-1 平行问题,一、 直线和平面平行,二、 平面和平面平行,本章介绍它们的投影特性和作图方法直线与平面、平面与平面的相对位置可能是平行、相交或垂直一、 直线和平面平行,定理 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行A,B,有关直线与平面平行的作图问题： 作直线∥已知平面 作平面∥已知直线 判断已知直线、平面是否平行例1 含点I(1,1’)作平面与直线AB(ab,a’b’)平行1’,1,a’,a,b,b’,X,作 法 (1) 过点Ⅰ作直线ⅠⅢ与AB平行(2)含直线ⅠⅢ作一任意平面图 5-1,,例 2 判断直线AB与△ⅠⅡⅢ是否平行图 5-2,,,,,,,,,,,,,,,a’,b’,3’,2’,1’,a,b,3,1,2,x,作 法 (1)在平面任一投影中，作面内直线CF∥AB的同面投影 (2) 求CF的另一投影，并判断直线CF是否∥AB 特殊情况 若直线与某一投影面的垂直面平行，则它们在该投影面上的投影一定平行。
X,直线投影∥平面有积聚性的同面投影,它们在空间必互相平行,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,特殊情况 若直线与平面同时垂直某一投影面，则它们空间一定平行X,直线与平面对某一投影面同时有积聚性,它们在空间必互相平行PH,二、 平面和平面平行,,定理 如果一个平面内的相交两直线与另一个平面内的相交两直线对应平行，那么这两个平面平行P,,,,,Q,A,B,C,D,有关两平面平行的作图问题： 作平面∥已知平面 判断两已知平面是否平行例 含点A1作平面平行定平面 (A2B2×A2C2)c2,X,a1’,a2’,b2’,b2,a1,a2,c2’,,,,,图 5-3,,,,,,,c2,X,a2’,b2’,b2,a2,c2’,,,,,,例 判断两平面是否平行分析：若两面相互平行，则它们有一对相互平行的相交直线讨论 相互平行的两投影面垂直面，它们的一对有积聚性的同面投影必平行若两正垂面相互平行，则它们的正面投影相互平行若两铅垂面相互平行，则它们的水平投影相互平行X,,,,,,,,x,1,2,3,1’,2’,3’,,分析：若两面相互平行，则它们的有积聚性的同面投影相互平行例 含点A1作平面平行平面 △ⅠⅡⅢ 。
a,a’,§5-2 相交问题,一、特殊线、面与一般直线或平面的相交,,二、一般直线与一般平面的相交,三、两一般位置平面的交线,相 交 问 题,直线与平面不平行时即相交，交点是直线与平面的共有点； 两平面不平行时必相交，其交线是两平面的共有线一、特殊位置线、面与一般位置直线或平面的相交,交点、交线为线与面、面与面两者所共有，如果其中有一个处于垂直投影面的特殊位置，则可利用其投影的积聚性直接求出交点或交线的一个投影，另外的投影可根据其上（或在面内）特点按投影关系求出如果平面为投影面平行面或投影面垂直面，则可利用平面投影的积聚性直接定出交点的一个投影1.特殊位置平面与一般位置直线相交,,例 求直线AB与铅垂面EFGH的交点K求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性1） 求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性（不重叠的部分都是可见的） （2）交点是直线可见部分与不可见部分的分界点 （3）判别方法 A.直接观察; B.利用交叉直线的重影点关于直线可见性的判别,,,k,1’(2’),,x,,,,,,,,,,,,c’,e’,d’,a’,b’,c,a,b,e,d,例 求直线AB与铅垂面△CDE的交点K。
分 析 利用铅垂面水平投影的积聚性求交点,图 5-5,例 求AB与P平面的交点分 析 利用PV的积聚性求交点k’,,,,,,a,b,PH,PV,a’,b’,x,px,图 5-6,,,,,1’,,x,,,,,,,,c’,e’,d’,a’,（b’）,c,a,b,e,d,例 求正垂线AB与△CDE的交点K分 析 利用线V面投影的积聚性确定交点的一个投影，根据点在面上求出交点的另一投影1,,2,k’,,,,2’,,,,特殊位置直线与一般位置平面相交,,,两平面不平行时必相交，其交线是两平面的共有线，是平面可见部分与不可见部分的分界线 两平面的交线是直线因此，求作两平面交线的方法是：求出交线上的两个点，在两个平面的公共范围处连出交线两平面相交,2. 特殊位置平面与一般位置平面的交线,当相交两平面之一为特殊位置平面时，可利用它的投影的积聚性直接求出交线上的两个点，然后连成交线d,e’,a’,a,b,b’,X,e,d’,f’,,f,c,c’,,,例 求△DEF(⊥H面)与△ABC的交线KL分 析 利用dfe的积聚性，求两平面交线1’(2’),,（1） 求出交线后，对于两平面同面投影重叠的部分，要判别可见性（不重叠的部分都是可见的）。
（2）交线是可见部分与不可见部分的分界线 （3）判别方法— A.直接观察; B.利用交叉直线的重 影点图 5-7,(a) 全交,(b) 互交,两平面相交的两种情况,全交：一个平面全部穿过另一个平面; 互交：两个平面的边线互相穿过分 析 利用水平面e’f’g’的积聚性求两平面交线e’,c’,g’,f’,1’,e,f,g,1,d’,b’,a’,k’,l’,,l,a,b,c,d,k,,,,,,x,例 求△EFG(∥H面)与平面ABCD的交线，并判断可见性图 5-8,本题中两平面图形只有部分互交求交时要注意除去交线多余的部分当两平面同时垂直某一投影面时，它们的交线也是此投影面的垂直线x,,e’,g’,f’,e,f,g,c’,b’,a’,a,b,c,例 求两面的交线各种位置平面间的交线,,,,,例 3 求矩形平面与两个共边三角形平面的交线分 析 利用水平面投影的积聚性求两平面交线 水平面与两三角形的交线是水平线，并且与相应的底边平行x,c’,s’,1’,a’,b’,c,a,b,s,,1,,,,,2,,,,,,,,,,,,,,,图 5-10,当直线和平面都处于一般位置时，交点的求法是：,含已知直线作辅助平面; 求辅助平面与已知平面的交线; 交线与已知直线的交点即为所求。
为了作图方便，应选择特殊位置平面作为辅助平面二、一般位置直线与一般位置平面的相交,,例1 求直线DE与平面△ABC的交点a,a’,b,b’,c’,c,X,d,d’,e’,e,图 5-12,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,a’,b,b’,c’,c,X,d,d’,e’,e,,k’,,,1(2),,,,,例1 求直线DE与平面△ABC的交点利用两交叉直线的重影点判别直线的可见性图 5-12,解法一空间分析： 含点与一直线作平面，求与另一直线的交点a’,f’,2’,3’,g’,4’,1’,x,2,a,3,4,k,,1,,,例2 含点A作直线AB使与交叉直线ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交图 5-13,解法二空间分析： 含点和两直线分别作面，求两面交线与一直线的交点解法三空间分析： 将一直线变成投影面垂直线，利用积聚性，作直线AB与二交叉直线垂直相交,,,A,K,Ⅲ,Ⅳ,Ⅱ,Ⅰ,,,例2 含点A作直线AB使与交叉直线ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交图 5-14,例 3 求AB与两三角形的交点作 法 作正垂面Q求AB与两三角形的交点a’,b’,f1’,x,a,3’,4’,1’,2’,f2’,k2’,e1’,e2’,f2,k1,k2,e2,b,3,1,2,4,(m) n,,,,,,,,,,图 5-15,,,三、两一般位置平面的交线,常用方法：1 线面交点法 2. 辅助平面法,1. 线面交点法,当相交两平面都用平面图形表示，且同面投影有互相重叠的部分时，可用求直线和平面交点的方法找出交线上的两个点。
例 求△ABC和△DEF的交线求交点）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,a’,f’,f,b,b’,c’,c,X,d,d’,e’,e,,,,,,图 5-16,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,a’,f’,f,b,b’,c’,c,,k,X,d,d’,e’,e,,l,,l’,,,,,,,,,,,1(2),,3’(4’),,例 求△ABC和△DEF的交线判别可见性）,图 5-16,若线段的投影与另一平面图形的投影不重叠，就表明该线段在空间不直接与平面图形相交（需将平面图形扩大后才有交点），则不宜选这类直线来求交点使用线面交点法时注意：,2. 辅助平面法,图 5-17,作图原理 求P、Q平面的交线时，任作平面S1，使与Q相交得交线L1，与P相交得交线L2； L1、L2的交点I为P、Q、S1三面的共有点，即P、Q交线上的一个点 再作平面S2，又可得到交线上的另一个交点Ⅱ 连接I Ⅱ即P、Q的交线b’,例 求△ABC和平面(L1 ∥ L2)的交线c’,a’,x,a,b,c,l2’,l1’,l2,l1,图 5-18,,§5-3 垂直问题,一、 直线和平面垂直,二、 两平面垂直,一、 直线和平面垂直,定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
∵直线L⊥平面P内的两相交直线AB、CD, 则L⊥P面,,,,,,,,,L,B,A,C,D,P,直线与平面垂直的投影特性：直线的水平投影⊥平面内的水平线的水平投影，直线的正面投影⊥平面内的正平线的正面投影c’,C,∵ m’k’ ⊥e’f’, mk ⊥ad, ∴ MK⊥△ABC所确定的平面有关直线与平面垂直的作图问题： 作直线⊥已知平面；作平面⊥已知直线 判断已知直线、平面是否垂直例1 含点E作直线垂直于△ABC，并求垂足a,a’,b,b’,c’,e’,c,e,X,图 5-21,分 析 先求平面的垂线，然后求垂线与平面的交点b) 已知,例 求C点到直线AB的距离分析）,,,,,,a,a’,b,b’,c’,c,X,,解题步骤: 1.过C点作P面⊥直线AB; 2.求AB与P面的交点K; 3.求垂线CK的实长a,a’,b,b’,c’,c,例 求C点到直线AB的距离作图）,X,解题步骤: 1.过C点作P面⊥直线AB; 2.求AB与P面的交点K; 3.求垂线CK的实长例2 已知AB⊥BC，求bca,a’,b,b’,c’,X,,,,A,B,C,分 析 1.过B点作P面⊥直线AB 则BC一定在P面内； 2.在P面内求C点。
图 5-22,,,,二、 两平面垂直,定理 如一直线⊥一平面，则包含这直线的一切平面都⊥该平面 反之，如两平面互相垂直，则从第一平面内的任意一点向第二平面所作的垂线，必定在第一平面内 简述 如一平面内有一直线垂直于另一平面，则此两平面互相垂直两平面垂直的条件,,,有关两平面垂直的作。