新高考二轮复习·数学(新课程版)第2讲 空间中的平行与垂直「考情研析」 1.从具体内容上：①以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题；②以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查． 2.从高考特点上，难度中等，常以一道选填题或在解答题的第一问考查．核心知识回顾1.直线与平面平行的判定和性质(1)判定①判定定理：a∥b，b⊂α，a⊄α⇒a∥α．②面面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β．(2)性质：l∥α，l⊂β，α∩β＝m⇒l∥m．2．直线和平面垂直的判定和性质(1)判定①判定定理：a⊥b，a⊥c，b，c⊂α，b∩c＝O⇒a⊥α．②线面垂直的其他判定方法：a．a∥b，a⊥α⇒b⊥α．b．l⊥α，α∥β⇒l⊥β．c．α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β．(2)性质①l⊥α，a⊂α⇒l⊥a．②l⊥α，m⊥α⇒l∥m．3．两个平面平行的判定和性质(1)判定①判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α．②面面平行的其他判定方法：a．l⊥α，l⊥β⇒α∥β．b．α∥γ，α∥β⇒β∥γ．(2)性质：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b．4．两个平面垂直的判定和性质(1)判定：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β．(2)性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β．热点考向探究考向1 空间线面位置关系的判定例1 (1)(多选)(2020·山东省烟台市模拟)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则( )A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nB．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β答案 BC解析 由m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，知：对于A，若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故错误；对于B，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故正确；对于C，若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β，故正确；对于D，若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，故错误．故选BC.(2) (多选)(2020·山东省实验中学高考预测卷)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱CC1上，则下列结论正确的是( )A．直线BM与平面ADD1A1平行B．平面BMD1截正方体所得的截面为三角形C．异面直线AD1与A1C1所成的角为D．MB＋MD1的最小值为答案 ACD解析 对于A，因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，即可判定直线BM与平面ADD1A1平行，故正确；对于B，如图1，平面BMD1截正方体所得的截面为四边形，故错误；对于C，如图2，异面直线AD1与A1C1所成的角为∠D1AC，即可判定异面直线AD1与A1C1所成的角为，故正确；对于D，如图3，将正方体的侧面展开，可得当B，M，D1共线时，MB＋MD1有最小值，最小值为BD1＝＝，故正确．故选ACD. 判断空间线面位置关系常用的方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断.(多选)(2020·山东省聊城市一模)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等答案 BC解析 ∵CC1与AF不垂直，而DD1∥CC1，∴AF与DD1不垂直，故A错误；取B1C1的中点N，连接A1N，GN，可得平面A1GN∥平面AEF，则直线A1G∥平面AEF，故B正确；把截面AEF补形为四边形AEFD1，由四边形AEFD1为等腰梯形可得平面AEF截正方体所得的截面面积S＝，故C正确；假设点C与点G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于点H，而H不是CG中点，则假设不成立，故D错误．故选BC.考向2 空间平行、垂直关系的证明例2 (2020·山东省青岛市高三期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1，面PAD⊥面ABCD，E为AD的中点．(1)求证：PA⊥BD；(2)段AB上是否存在一点G，使得BC∥面PEG？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：取AB的中点F，连接DF.∵DC∥AB且DC＝AB，∴DC∥BF且DC＝BF，∴四边形BCDF为平行四边形，又AB⊥BC，BC＝CD＝1，∴四边形BCDF为正方形．在Rt△AFD中，∵DF＝AF＝1，∴AD＝，在Rt△BCD中，∵BC＝CD＝1，∴BD＝，∵AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2，∴BD⊥AD，∵BD⊂面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，面PAD⊥面ABCD，∴BD⊥面PAD，∵PA⊂面PAD，∴PA⊥BD.(2)段AB上存在一点G，满足AG＝AB，即G为AF的中点时，BC∥面PEG，证明如下：连接EG，∵E为AD的中点，G为AF中点，∴GE∥DF，又DF∥BC，∴GE∥BC，∵GE⊂面PEG，BC⊄面PEG，∴BC∥面PEG.空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．(2020·江苏省泰州中学、宜兴中学、江都中学联考)如图，在四棱锥S－ABCD中，已知SA＝SB，四边形ABCD是平行四边形，且平面SAB⊥平面ABCD，点M，N分别是SC，AB的中点．求证：(1)MN∥平面SAD；(2)SN⊥AC.证明 (1)取SD的中点E，连接EM，EA.∵M是SC的中点，∴EM∥CD，且EM＝CD.∵底面ABCD是平行四边形，N为AB的中点，∴AN∥CD，且AN＝CD，∴EM∥AN，EM＝AN，∴四边形EMNA是平行四边形，∴MN∥AE.∵MN⊄平面SAD，AE⊂平面SAD，∴MN∥平面SAD.(2)∵SA＝SB，N是AB的中点，∴SN⊥AB，∵平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，SN⊂平面SAB，∴SN⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴SN⊥AC.考向3 立体几何中的翻折问题例3 (1)(2020·山东省潍坊市三模)如图1，四边形ABCD是边长为10的菱形，其对角线AC＝12，现将△ABC沿对角线AC折起，连接BD，形成如图2的四面体ABCD，则异面直线AC与BD所成角的大小为________；在图2中，设棱AC的中点为M，BD的中点为N，若四面体ABCD的外接球的球心在四面体的内部，则线段MN长度的取值范围为________．答案 (，8)解析 连接BM，DM，∵四边形ABCD是菱形，M为棱AC的中点，∴AC⊥BM，AC⊥DM，又BM∩DM＝M，则AC⊥平面BMD，∵BD⊂平面BMD，∴AC⊥BD，则异面直线AC与BD所成角的大小为.∵四边形ABCD是边长为10的菱形，其对角线AC＝12，∴MA＝6，MB＝8.设O1是△ABC的外心，则O1在中线BM上，设过点O1的直线l1⊥平面ABC，易知l1⊂平面BMD，设O2是△ACD的外心，则O2在中线DM上，设过点O2的直线l2⊥平面ACD，易知l2⊂平面BMD，由对称性易知l1，l2的交点O在直线MN上，根据外接球的性质，知点O为四面体ABCD的外接球的球心，O1A2＝O1M2＋MA2，O1A＋O1M＝BM＝8，∴(8－O1M)2＝O1M2＋36，解得O1M＝，令∠BMN＝θ，根据题意可知BD⊥CN，BD⊥AN，且CN∩AN＝N，∴BD⊥平面ACN，又MN⊂平面ACN，∴BD⊥MN，∴0<θ<，∴MN＝BM cos θ＝8cos θ<8.∵cos θ＝＝，∴OM·MN＝O1M·BM＝×8＝14，又OM14，∴MN>，∴