常微分方程,在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程微分方程又分为常微分方程和偏微分方程，本章讨论的是前者常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用,由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方法本章先从解决这类实际问题入手，引出微分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊类型的微分方程的求解方法重点,五种标准类型的一阶方程的求解,可降阶的高阶方程的求解,二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解,难点,求解全微分方程,求常系数非齐次线性方程的通解,基本要求,①明确微分方程的几个基本概念,②牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可分离变量的微分方程,③牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，,会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解,④掌握全微分方程的解法,⑤会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程,⑥掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟练地应用特征根法、待定系数法求解二阶常系数线性方程,一、问题的提出,解,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,二、微分方程的定义,微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,分类1: 常微分方程, 偏常微分方程.,微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.,分类2:,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类3: 线性与非线性微分方程.,分类4: 单个微分方程与微分方程组.,三、主要问题-----求方程的解,微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,微分方程的解的分类：,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象: 微分方程的积分曲线.,通解的图象: 积分曲线族.,初始条件: 用来确定任意常数的条件.,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,一阶:,过定点的积分曲线;,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,解,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法: 初等积分法.,求解微分方程,,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),四、小结,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,初值问题;,积分曲线;,思考题,思考题解答,中不含任意常数,,故为微分方程的特解.,练 习 题,练习题答案,一阶方程的一般形式为,本节主要研究能把导数解出来的一阶方程,的解法,这个方程虽然简单，也常常很难求出解的有限表达式,几种特殊类型的一阶微分方程的解法。
所以本节只讨论,特殊类型的一阶方程的求解,一阶方程有时也可以写成如下的对称形式,它既可视为以 x 为自变量以 y 为未知函数的方程,也可以视为以 y 为自变量,以 x 为未知函数的方程,很重要的观点,考虑方程,或写成,两边积分得,但并不是所有的一阶方程都能象上面那样采取两边积分的方法来求它的通解,如,困难就在于方程的右端含有未知函数,积分,求不出来,为了解决这个问题,方程的两边同乘以,使方程变为,这样变量 x , y 已经分离在等式的两端,两边积分得,或,可以验证,是方程的通解,注,y = 0 也是方程的解，但不包含在通解中,称为奇解,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,这类方程的特点是,经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和其微分,解法,分离变量法,为微分方程的解.,求解步骤,分离变量,两边积分,得到隐式通解或通积分,二、典型例题,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,解,通解为,解,由题设条件,衰变规律,解,设鼓风机开动后 时刻 的含量为,在 内,,的通入量,的排出量,6分钟后, 车间内 的百分比降低到,三、小结,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分-------隐式通解.,注,分离变量时，注意检查是否有漏解，特别是写成对称形式的方程（因为要同除须保证分母不等于0）,思考题,求解微分方程,思考题解答,为所求解.,练 习 题,练习题答案,1.定义,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,齐次型方程,一、齐次型方程,例 1 求解微分方程,解,微分方程的解为,例 2 求解微分方程,解,微分方程的解为,例 3 抛物线的光学性质,实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面,解,如图,由夹角正切公式得,得微分方程,分离变量,积分得,平方化简得,抛物线,解,令,则,代入化简,并分离变量,两边积分,换回原变量,或,例4,二、可化为齐次型的方程,1.定义,为齐次型方程.,否则为非齐次型方程,2.解法,（其中h和k是待定的常数）,有唯一一组解.,得通解代回,未必有解, 上述方法不能用.,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程.,可分离变量.,解,代入原方程得,方程变为,分离变量法得,得原方程的通解,利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,三、小结,齐次方程,齐次方程的解法,可化为齐次方程的方程,思考题,方程,是否为齐次方程?,思考题解答,方程两边同时对 求导:,原方程是齐次方程.,练 习 题,练习题答案,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,,上方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,一阶线性微分方程,一、线性方程,一阶线性微分方程的解法,1. 线性齐次方程,(使用分离变量法),齐次方程的通解为,2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,,,非齐次线性方程的通解,相应齐方程的通解,等于,与非齐次方程的一个特解之和,即,非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解,——线性微分方程解的结构，是很优良的性质。
例1,解,解方程,解,相应齐方程,解得,令,例2,代入非齐方程,解得,故非齐次方程的通解为,例3,解方程,解,这是一个二阶线性方程,由于其中不含变量 y,若令,化成一阶线性方程,其通解为,即,再积分,即为原二阶方程的通解,例4 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,解,两边求导得,解此微分方程,所求曲线为,一阶线性微分方程的通解也可写成,方程,令,即化为一阶线性微分方程,注,二、伯努利方程,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,代入上式,求出通解后，将 代入即得,例 5,解,例6 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,注,利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法,如,齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程 、Bernoulli 方程等,都是通过变量代换来求解方程的。
将,变换为,也是经常可以考虑的,三、小结,1.齐次方程,2.线性非齐次方程,3.伯努利方程,思考题,求微分方程 的通解.,思考题解答,练 习 题,练习题答案,1.定义:,若有全微分形式,则,全微分方程 或恰当方程,例如,所以是全微分方程.,全微分方程,一、全微分方程及其解法,2.解法:,全微分方程,应用曲线积分与路径无关.,通解为, 用直接凑全微分的方法.,其中 x0 , y0 是在G中适当选定的点 M0 (x0 , y0 ) 的坐标，起点坐标选择的不同，至多使u( x, y) 相差一个常数,例1,解,是全微分方程,,原方程的通解为,例2,解,是全微分方程,,将左端重新组合,原方程的通解为,二、积分因子法,问题: 如何求方程的积分因子?,定义:,1.公式法:,求解不容易,特殊地:,2.观察法:,凭观察凑微分得到,常见的全微分表达式,可选用的积分因子有,例3,解,则原方程成为,可积组合法,原方程的通解为,(公式法),例4 求微分方程,解,将方程左端重新组合,有,原方程的通解为,例5 求微分方程,解,将方程左端重新组合,有,可积组合法,原方程的通解为,例6,解1,整理得,A 常数变易法:,B 公式法:,解2,整理得,A 用曲线积分法:,B 凑微分法:,C 不定积分法:,原方程的通解为,三、一阶微分方程小结,思考题,方程,是否为全微分方程？,思考题解答,原方程是全微分方程.,练 习 题,练习题答案,本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的方程来求解。
可降阶的高阶微分方程,前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用降阶法求解，一般都没有初等解法，,以二阶方程,为例展开讨论,重点讨论能将二阶导数解出的情况,如果我们设法作变量代换把它从二阶降至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法来求解,一、 型,特点：,右端不含,仅是 x 的函数,解法：,将,作为新的未知函数,降阶,令,有,变量可分离的一阶方程,积分,即,再积分,对 n 阶方程,同理,令,积分得,如此连续积分n 次即得原方程的含有n个任意常数的通解,一般情况,特点：,解法：,z 的(n-k)阶方程,可得通解.,例1,解,例 2,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,二、 型,特点：,右端不含 y,解法：,降阶,令,代入原方程得,若已求得其通解为,回代,得,变量可分离的一阶方程,积分得,例3,解方程,解,令,分离变量得,即,由,由,故,解方程,解,即,例4,三、 型,特点：,右端不含 x,降阶,解法：,令,由复合函数求导法则得,代入原方程得,这是一个关于 y ，p 的一阶方程,若已求得它的通解为,变量可分离的一阶方程,积分得,即得原方程的通解,一般情况,特点：,解法：,求得其解为,原方程通解为,例5,解方程,解,令,若,即,积分得,即,或,若,则,包含在通解中,如一方程既属于不含 x 型,又属于不含 y 型,则一般而言,若两边可消去 p 作为不含 x 型（类型三）来解较简单,若两边不可消去 p 作为不含 y 型（类型二）来解较简单,注,例6,解方程,解,令,例 7,解一,代入原方程得,原方程通解为,解二,从而通解为,解三,原方程变为,两边积分,得,原方程通解为,四、恰当导数方程,特点,解法：,类似于全微分方程可降低一阶,再设法求解这个方程.,例 8,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,五、齐次方程,特点：,,解法：,例 9,解,代入原方程,得,原方程通解为,补充题:,解,代入原方程,得,原方程通解为,例10,六、小结,解法,通过代换将其化成较低阶的方程来求解.,思考题,思考题解答,都是微分方程的解,,是对应齐次方程的解,,常数,所求通解为,练 习 题,练习题答案,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,特点,未知函数及其各阶导数都是一次幂,高阶线性微分方程,本节只讨论二阶线性微分方程,所得概念和结论很容。