结构动力学 第四章 单自由度体系对 简谐和周期荷载的反应 单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容不仅工程中实际存在这种形式的荷载，而且简谐荷载作用下单自由度体系的解提供了了解结构动力特性和用于分析更复杂荷载作用反应的手段和方法 4.1 无阻尼体系的简谐振动运动方程： 其中：p0 —简谐荷载的幅值； ω —简谐荷载的圆频率 初始条件 ： 4.1 无阻尼体系的简谐振动运动方程是带有初值条件的二阶常微分方程，全解=齐次方程的通解+特解通解对应的方程是一个自由振动方程，其解uc为无阻尼自由振动： c - complementary 4.1 无阻尼体系的简谐振动特解—满足运动方程的解，记为up(t) ，是由动荷载p0sinωt直接引起的振动解设特解为： 其中，ω/ωn—频率比，外荷载的激振频率与结构自振频率之比 ； p—particular 4.1 无阻尼体系的简谐振动全解=通解+特解 待定系数A、B由初值条件确定 4.1 无阻尼体系的简谐振动满足初始条件的解 ： 瞬态反应和稳态反应 瞬态反应 稳态反应 4.1 无阻尼体系的简谐振动稳态反应 ： u0—稳态反应的振幅： ust—等效静位移，或静位移： Rd—动力放大系数： 4.1 无阻尼体系的简谐振动无阻尼体系动力放大系数 ①ω=0 ，Rd =1 ②ω=ωn，Rd → ∞ 发生共振 ③ω/ωn≥√2， Rd≤1 4.1 无阻尼体系的简谐振动无阻尼体系共振时动力反应时程 共振时(ω=ωn)： 4.2 有阻尼体系的简谐振动运动方程： 初始条件：利用c=2mωnζ，并将运动方程两边同除m，得到如下形式的运动方程： 4.2 有阻尼体系的简谐振动通解uc对应于有阻尼自由振动反应： 特解up可以设为如下形式 : 4.2 有阻尼体系的简谐振动 运动方程的全解：u(t)=uc+up ： 4.2 有阻尼体系的简谐振动 有初始条件影响的动力反应时程 4.2 有阻尼体系的简谐振动（1）共振反应（ω=ωn） 满足零初始条件 运动解：当ζ=0时 ： 与无阻尼时的结果完全相同 （1）有阻尼体系的共振反应（ω=ωn） 有阻尼体系共振反应时程 4.2 有阻尼体系的简谐振动（2）动力放大系数Rd（dynamic magnification factor） 振动的稳态解： u0 —稳态振动的振幅φ —相角，反映体系振动位移与简谐荷载的相位关系 动力放大系数定义为 ： 4.2 有阻尼体系的简谐振动（3）阻尼体系动力反应与荷载的相位关系 在动力荷载的作用下，有阻尼体系的动力反应（位移）一定要滞后动力荷载一段时间，即存在反应滞后现象。
这个滞后的时间即由相角φ反映，如果滞后时间为t0，则φ= ωt0 （t0=φ/ω）由计算φ的公式可知，滞后的相角与频率比ω/ωn和阻尼大小均有关系 （3）阻尼体系动力反应与荷载的相位关系 右图给出阻尼比ζ=0.2时，相应于不同频率比ω/ωn时的外力和位移曲线及滞后相角φ相角φ实际是反映结构体系位移（反应）相应于动力荷载的反应滞后时间，从图中可以发现，频率比越大，即外荷载作用得越快，动力反应的滞后时间越长 （3）阻尼体系动力反应与荷载的相位关系 （3）阻尼体系动力反应与荷载的相位关系 4.3 振动测量仪器（拾振仪） 测量振动量仪器主要有三种： •加速度计：测量加速度时程（强震仪）•位移计：测量位移时程（地震仪）•速度计：测量速度（目前应用逐步多起来） 4.3 振动测量仪器（拾振仪） （1）加速度计（强震仪） 加速度计测量的是加速度在基底加速度作用下仪器质点的运动方程为：设仪器基底加速度时程：仪器质点所记录的相对位移u(t)为： （1）加速度计（强震仪） 为简单起见，仅讨论u(t)的振幅u0 ：通常采用提高加速度计中弹簧刚度的方法来实现提高ωn的目的因此，加速度计或强震仪中弹簧刚度比较大，是比较刚性的。
4.3 振动测量仪器（拾振仪） （2）位移计（地震仪）位移计是用来测量仪器基底的位移量 仪器基底位移时程：在基底位移作用下仪器质点的运动方程为：仪器质点的所记录的相对位移u(t)为： （1）位移计（地震仪） 通常采用降低位移计中弹簧刚度的方法来实现降低ωn的目的因此，位移计中弹簧刚度比较小，是比较柔性的 4.4 隔振（震） 隔振（震）分两种情况：1）阻止振动的输出例如，大型机器动力机器振动向地基中的传播；地铁车辆振动传播——力的传递和隔震 2）阻止振动的输入例如，结构抗震问题中的隔震设计，在振动的结构或地基上安装的精密仪器设备的隔震问题——基底振动的隔离 4.4 隔振（震） 力的传递和隔震 基底振动的隔离 4.4 隔振（震） 1、力的传递和隔震p0 sinωt—机器的不平衡力ω —机器的转速(角速度)m —机器质量(设为刚性质量块) k、c—隔振元件的总刚度和阻尼fT —从隔振元件传到地基上的力 单质点体系简谐振动问题的解为: 1、力的传递和隔震传到地基上的力为：作用力fT的最大值为：将ust=p0 /k、c=2mωnζ代入上式得：TR—传递率(transmissibility)，是反映隔振效果的量 1、力的传递和隔震力的传递率TR 当频率比：传递率：为达到隔振的目的，可采用降低ωn的办法，①减小隔振元件刚度， 或②增加仪器质量的方法，提高隔振效果。
实际的减震设计方案应在尽量小的刚度和可接受的静位移之间优化选取阻尼对隔振的影响？ 4.4 隔振（震） 2、基底振动的隔离ug(t)—基底（地面）的振动位移时程；ut(t)=u(t)+ug(t)—质点的绝对运动时程；u(t)—相对位移输入基底运动的位移时程为：单质点体系简谐振动问题的解为: 质点的总位移ut(t)为： 2、基底振动的隔离位移的传递率TR为 ：位移的传递率与力的传递率完全相同，说明两种隔振问题是相通和相同的，其隔振设计方法也基本相同 2、基底振动的隔离对建筑结构的隔震问题与以上讨论的单质点体系隔振问题有类似的地方例如都是试图通过降低体系自振频率的方法来提高隔震(振)效率也有不同的地方，建筑结构体系是多自由度体系，其隔震(振)效率的研究更复杂，而且地震动是宽频带的过程，总有与结构自振频率相同的频率成份存在，无法通过避开地震动频率的方法来实现隔震(振)的目地隔震问题研究已成为一门专门的工程抗震研究领域加速度传递率为 ：加速度的传递率与位移的传递率相同 2、基底振动的隔离算例1，工程场地竖向加速度为üg=0.1g，振动频率为f=10Hz，安放一个重m=50kg的敏感仪器，仪器固定在刚度k=14kN/m，阻尼比ζ=10%的橡胶隔振垫上，问：①传递到仪器上的加速度是多少？②如果仪器只能承受0.005g的加速度，给出解决方案。
2、基底振动的隔离解：① 传递到仪器上的加速度是多少？求TR体系自振频率： 频率比：加速度传递率：传递到仪器上的加速度：üg=0.1g，f=10Hz，m=50kg，k=14kN/m，ζ=10% 2、基底振动的隔离解：②如果仪器只能承受0.005g的 加速度，给出解决方案降低体系的自振频率ωn，即增大ω/ωn可以提高隔振效率，由于隔振垫参数不易改变，采用增加附加质量办法降低ωn，先假设附加质量mb=60kg，体系总质量m′=m+mb=110kg 例题1体系新的ω’n和ω/ω’n可为：体系新的阻尼比： 例题1体系新的传递率：传递到仪器上的加速度：因为方案成功 如果要求附加质量后，ü0t=0.005g，则mb应是多少？ 算例2 汽车在多跨连续梁上行驶，桥梁跨度均为L=30m，桥面由于长时徐(蠕)变效应而产生15cm的挠度(桥面的中点)桥面可以用振幅为7.5cm的正弦曲线来近似，汽车可以用一个单质点SDOF体系模拟，如果车重m=1.8t，等效弹簧刚度K=140kN/m，等效阻尼比ζ=40%， 求：① 车以80km/h行驶时，汽车的竖向运动ut(t)的振幅u0t② 发生共振时汽车的行驶速度(使振幅最大时的速度) 算例2 解：① 车以80km/h行驶时，汽车的竖向运动ut(t)的振幅u0t汽车相当于受振幅为ug0=0.075m， 波长为L=30m的简谐运动ug的干扰简谐运动的周期:车辆的固有周期: 算例2 频率比:振动传递率:汽车竖向运动的振幅： 算例2 解：② 发生共振时汽车的行驶速度(使振幅最大时的速度)如果体系的阻尼比ζ很小，当ω=ωn时ut最大，而本问题阻尼比ζ＝0.4很大，因此使u0t取最大的ω不一定等于ωn，此时要采用取极值条件求ω使u0t最大，即使TR取最大。
算例2 使TR取最大值的频率ω，也使TR2取最大值当汽车的行驶速度为135km/h时，车辆的振幅达到最大 4.5 用简谐振动(强迫振动)试验 确定体系的粘性阻尼比 可以用自由振动方法求阻尼比ζ的原因是由于自振衰减的快慢由ζ控制，或说衰减规律可以明显反应出阻尼比ζ的影响而动力放大系数同样受ζ控制，Rd曲线形状可以反映出ζ的影响，其影响主要有两点： (1)峰值大小， (2)曲线的胖瘦利用体系对简谐荷载反应的结果也可以得到体系的阻尼比，有两种主要方法：共振放大法和半功率(带宽)法，其原理均是基于对动力放大系数Rd的分析 1、共振放大法根据动力放大系数Rd : 当发生共振(ω/ωn＝1)时: 1、共振放大法由于从动力放大曲线定u0(ωn)不容易，一般用u0m代替，u0m=max(u0)，则: 用共振放大法确定体系的阻尼比，方法简单但实际工程中测得的动力放大系数曲线一般以u0－ω图给出，用以上公式计算阻尼比时，还需得到零频时的静位移值ust，实际测量静载位移无论从加载设备和记录(拾振)设备都有一定的困难，即实现动力加荷和测量动力信号的设备不能在零频率时工作。
因此工程中往往采用半功率(带宽)法从动力试验中得到阻尼比ζ 4.5 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 2、半功率带宽法 (半功率点法) 半功率点：动力放大系数Rd上振幅值等于1/√2倍最大振幅的点所对应的两个频率点 记：ωa和ωb分别等于半功 率点对应的两个频率 则阻尼比ζ 可由如下公式计算： 半功率带宽法 (半功率点法) 证明： 三种阻尼比的测量方法 共介绍了三种测量结构阻尼的方法：对数衰减率法、共振放大法和半功率带宽法，虽然是针对单自由度体系推导的，但这些方法对多自由度体系同样适用下面对这三种方法给一简要的总结1)对数衰减率法 采用自由振动试验，测一阶振型的阻尼比较容易高阶振型的阻尼比的关键是能激发出按相应振型进行的自由振动2)共振放大法 采用强迫振动试验，由于静（零频）荷载下的位移较难确定，应用上存在一定的技术困难，但通过一定数学上的处理还是可用的，例如，利用接近零频的非零频位移通过插值外推得到零频时的位移值3)半功率带宽法 采用强迫振动试验，不但能用于单自由度也可用于多自由度体系，对多自由度体系要求共振频率稀疏，即多个自振频率应相隔较远，保证在确定相应于某一自振频率的半功率点时不受相邻频率的影响。
4.6 粘性阻尼的能量耗散和等效粘性阻尼 1、粘性阻尼体系的能量耗散SDOF体系在简谐力p(t)=p0sinωt作用下， 在一个振动循环内的能量耗散记为：ED — 阻尼引起的能量耗散，即阻尼力做的功；EI — 外力做的功；ES — 弹性力做的功；EK — 惯性力做的功在简谐荷载p(t)作用下， SDOF的位移为： （1）阻尼引起的能量耗散ED粘性阻尼引起的耗散与振幅u0的平方成正比， 与阻尼比ζ和外荷载的频率ω成正比 （2）外力做的功EI （I—Input) （3）弹性力的功 ES （4）惯性力的功 EK (Kinetic) 可见在简谐振动中的一个循环内，弹性力和惯性力做功均等于零，而由阻尼耗散的能量等于外力做的功 4.6 粘性阻尼的能量耗散和等效粘性阻尼 2、等效粘性阻尼(1) 粘性阻尼是一种理想化的阻尼，具有简单和便于分析计算的优点2) 工程中结构的阻尼源于多方面，其特点和数学描述更为复杂，这时可以将复杂的阻尼在一定的意义上等效成粘性阻尼3) 一般采用基于能量等效的原则4) 阻尼耗散能量的大小可以用阻尼力的滞回曲线反映。
2、等效粘性阻尼（1）阻尼力的滞回曲线阻尼力的滞回曲线：阻尼力与位移之间的关系曲线，即fD—u曲线 粘性阻尼力滞回曲线 2、等效粘性阻尼（1）阻尼力的滞回曲线对粘性阻尼力的滞回曲线整理可以得到：研究滞回曲线的意义：力在一个循环内所做的功等于证明： 滞回曲线所包围的面积 粘性阻尼力的滞回曲线是一椭圆 2、等效粘性阻尼（1）阻尼力的滞回曲线抗力曲线：fD+ fs—u曲线fD+ fs有时称为抗力 抗力滞回曲线包围的面积等于阻尼力做的功 在实际测量时，量测到的量是抗力 2、等效粘性阻尼（2）等效粘性阻尼比确定等效粘性阻尼比的原则：基于能量耗散相等的原理具体实现方法：在一个振动循环内让等效粘性阻尼做的功等于实际阻尼所做的功 （2）等效粘性阻尼比 在一个循环内实际阻尼力作的功： 在一个循环内等效阻尼力作的功： （2）等效粘性阻尼比 4.7 滞变阻尼（复阻尼）理论 粘滞阻尼由于其在建立运功方程和求解时的方便性，而在工程中得到广泛应用但它也存在一个严重的缺陷，即，粘滞阻尼力和能量耗散与激振频率有关。
例如在每一振动循环中耗散的能量为：对一结构体系，阻尼比ζ为常数，固定振幅u0，则在每一振动循环中耗散的能量与激振频率成正比，这与结构试验结果不符，试验结果表明，阻尼力或其耗能与频率基本是无关的为此，人们发展了滞变阻尼理论（hysteretic） 滞变阻尼(hysteretic）：阻尼力大小与位移幅值成正比 而与速度同相三种型式的滞变阻尼定义： ——克拉夫1981 —— Clough(克拉夫) 1993 —— Chopra 1995 其中η为滞变阻尼参数 第一种型式是直接套用滞变阻尼的定义； 第二种是滞变阻尼的复数形式； 第三种是从构造频率无关阻尼的构思出发。
4.7 滞变阻尼（复阻尼）理论 三种型式定义的滞变阻尼在复数域是完全等价， 例如，假设 u(t)=u0eiωt，则 fD 均可写成 iηKu(t) ， 但在实数域则不尽相同 共同点是耗能与频率无关，但具体耗能值不同 第一种： 第三种： 从滞回曲线形状分析，第一种形式滞变阻尼与实际相差太大，不可接受 第二和第三种形式滞变阻尼的耗能相同 滞变阻尼与粘滞阻尼的关系将滞变阻尼滞回耗能关系代入计算等效粘性阻尼比公式 得到： 或:当共振时，滞变阻尼参数与阻尼比关系： 4.7 滞变阻尼（复阻尼）理论 滞变阻尼参数与阻尼比关系式：η＝2ζ是在ω＝ωn时取得的，对ω≠ωn时并不成立有些教科书中没有明确指出这点，有时导致模糊的概念 粘性阻尼与滞变阻尼耗能ED与激振频率ω的关系 4.7 滞变阻尼（复阻尼）理论 用滞变阻尼第二种表达式 fD＝iηKu(t) 时也称为复阻尼，在复阻尼理论中，将阻尼力和弹性恢复力合在一起构成复刚度由 fD＝iηku(t) 和 fs=ku(t)，可定义复刚度为：复数形式的简谐荷载作用下质点的运动方程： 4.7 滞变阻尼（复阻尼）理论 复数形式的稳态解可设成： 4.7 滞变阻尼（复阻尼）理论 复数形式的稳态反应为： u(t)是一个复函数，可写成它的模与单位复数积的形式其中， 当取 时，复阻尼理论的解与粘滞阻尼理论的解完全相同。
滞变阻尼和粘性阻尼的耗能滞变阻尼的耗能接近实际，而粘性阻尼当外力频率较低时，低估了体系的耗能能力；外力频率较高时，又会过高估计耗能能力因此，希望通过阻尼比的选取使粘性阻尼理论能正确反映所有频率时体系的耗能是不可能的，一个较为稳妥的方法是使阻尼比ζ的选取能较为正确地反映感兴趣频段内的耗能能力这可通过设外荷载频率等于感兴趣频率的方法实现实际的做法是取外荷载频率等于结构自振频率，此时结构的反应最大，是阻尼影响最大的点由于结构往复试验时，在不同频率下得到的滞回环面积基本相等，因此可以用共振时的公式来定阻尼比ζ，而不考虑实际加荷频率，这样得到的阻尼比对反映共振时的耗能能力相对准确 4.8 单自由度体系对周期荷载的反应 依靠的基础： 依靠已得到的单自由度体系对简谐荷载反应分析结果在获得简谐荷载作用的结果后，就可以方便地分析单自由度体系对任意周期性荷载的反应，简谐荷载是一种最简单、最具代表性的周期荷载，而任意周期性荷载均可以分解成简谐荷载的代数和具体实施方法： 利用Fourier级数展开法将任意的周期荷载p(t)展开成Fourier级数，把任意周期性荷载表示成一系列简谐荷载的叠加，对每一简谐荷载作用下结构的反应可以容易得到其稳态解，再求和，得到结构在任意周期性荷载作用下的反应。
限制条件： 结构体系是线弹性的可使用叠加原理 4.8 单自由度体系对周期荷载的反应 设任意的周期荷载p(t)，将其展开成付氏级数， Tp—荷载的周期 当用Fourier级数展开法时，隐含假设周期函数是从-∞开始到+∞初始条件(t=-∞)的影响到t=0时已完全消失，仅需计算稳态解,即特解对应于每一简谐荷载项作用，体系的反应为： 任意周期荷载作用下结构总的稳态反应为： 例：不计阻尼求图示体系的稳态位移反应已知例：不计阻尼求图示体系的稳态位移反应已知TP =2Tmk解：解： 利用复数Fourier级数得到复数形式的解 用复数Fourier级数将周期荷载展开， pj=p(iωj)先计算单位复荷载eiωjt作用下体系稳态反应的复幅值，即设：总的稳态反应为:H(iω)—复频反应函数 复频响函数，对多自由度体系则称为传递函数 第四章 单自由度体系对简谐和周期荷载的反应第四章小结：•简谐荷载作用下单自由度体系的反应：无阻尼，有阻尼体系•动力的放大系数Rd是关键点。
•对不同频率简谐荷载的（放大）反应特点•建立了两种粘性阻尼比计算方法：共振放大法和半功率带宽法•测振仪器的设计原理：加速度计和位移计•隔振体系原理：阻断输出和隔断输入•等效粘性阻尼，滞变阻尼•基于简谐振动分析结果和Fourier级数，给出了任意周期荷载作用下单自由度体系动力反应分析方法 •本章的分析均基于简谐反应，又称单频反应（荷载：简谐式的；反应：简谐式的），这些工作构成了结构频域反应分析的基础•结构动力反应分析方法： 时域分析—时间域（时间为自变量） 频域分析—频率域（频率为自变量）•对线弹性结构体系，时域分析和频域分析是等价的，可以相互转换，基础是Fourier变化Fourier级数是Fourier变化的特例，是函数具有周期特性的结果。