. 【高等数学基础】形考作业1 参考答案第 1 章函数第 2 章极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（C）中的两个函数相等A. 2)()(xxf，xxg)(B. 2)(xxf，xxg)(C. 3ln)(xxf，xxgln3)(D. 1)(xxf，11)(2xxxg分析 ：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同A、2( )()f xxx，定义域|0 x x；xxg)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等；B、2( )f xxx，xxg)(对应法则不同，所以函数不相等；C、3( )ln3lnf xxx，定义域为|0 x x，xxgln3)(，定义域为|0 x x所以两个函数相等D、1)(xxf，定义域为R；21( )11xg xxx，定义域为|,1x xR x定义域不同，所以两函数不等故选 C 设函数)(xf的定义域为),(，则函数)()(xfxf的图形关于（ C）对称A. 坐标原点B. x轴C. y轴D. xy分析 ：奇函数，()( )fxf x，关于原点对称; 偶函数，()( )fxf x，关于 y 轴对称yfx与它的反函数1yfx关于yx对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设g xfxfx，则gxfxfxg x所以g xfxfx为偶函数，即图形关于y 轴对称故选 C 下列函数中为奇函数是（B）A. )1ln(2xyB. xxycos. . C. 2xxaayD. )1ln(xy分析： A、22ln(1)ln 1yxxxy x，为偶函数B、coscosyxxxxxy x，为奇函数或者 x 为奇函数， cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C、2xxaayxy x，所以为偶函数D、ln(1)yxx，非奇非偶函数故选 B 下列函数中为基本初等函数是（C）A. 1xyB. xyC. 2xyD. 0,10,1xxy分析：六种基本初等函数（1）yc（常值）常值函数（2）,yx为常数幂函数（3）0,1xyaaa指数函数（4）log0,1ayx aa对数函数（5）sin ,cos ,tan ,cotyx yx yx yx三角函数（6）sin ,1,1 ,cos ,1,1 ,tan ,cotyarcxyarcxyarcx yarcx反三角函数分段函数不是基本初等函数，故D 选项不对对照比较选C 下列极限存计算不正确的是（D）A. 12lim22xxxB. 0)1ln(lim0 xxC. 0sinlimxxxD. 01sinlimxxx. . 分析： A、已知1lim00nxnx,2222222211limlimlim1222101xxxxxxxxxxxB、0limln(1)ln(10)0 xx, 初等函数在期定义域内是连续的C、sin1limlimsin0 xxxxxx, x时，1x是无穷小量，sin x是有界函数，无穷小量有界函数仍是无穷小量D、1sin1limsinlim1xxxxxx，令10,txx，则原式0sinlim1ttt故选 D 当0 x时，变量（ C）是无穷小量A. xxsinB. x1C. xx1sinD. 2)ln( x分析；lim0 xafx，则称fx为xa时的无穷小量A、0sinlim1xxx，重要极限B、01limxx，无穷大量C、01limsin0 xxx，无穷小量x有界函数1sinx仍为无穷小量D、0limln(2)=ln 0+2ln 2xx故选 C 若函数)(xf在点0 x满足（ A），则)(xf在点0 x连续。
A. )()(lim00 xfxfxxB. )(xf在点0 x的某个邻域内有定义C. )()(lim00 xfxfxxD. )(lim)(lim00 xfxfxxxx分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即00limxxfxfx连续的充分必要条件00000limlimlimxxxxxxfxfxfxfxfx故选 A （二）填空题函数)1ln(39)(2xxxxf的定义域是|3x x. . 分析：求定义域一般遵循的原则（1）偶次根号下的量0（2）分母的值不等于0 （3）对数符号下量（真值）为正（4）反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1 （5）正切符号内的量不能取0,1,22kk然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域)1ln(39)(2xxxxf要求2903010 xxx得3331xxxx或求交集313定义域为|3x x已知函数xxxf2)1(，则)(xfx2-x分析：法一，令1tx得1xt则22( )11f ttttt则2fxxx法二，(1)(1)1 11f xx xxx所以( )1f tttxxx)211(lim分析：重要极限1lim 1xxex，等价式10lim 1xxxe推广limxafx则1lim(1)fxxaefxlim0 xafx则1lim(1)f xxafxe1122211lim(1)lim(1)22xxxxexx若函数0,0,)1 ()(1xkxxxxfx，在0 x处连续，则ke 分析：分段函数在分段点0 x处连续000limlimxxxxfxfxfx. . 00100limlim0limlim 1xxxxxfxxkkkfxxe所以ke函数0,sin0,1xxxxy的间断点是0 x分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点初等函数在其定义域范围内都是连续的分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）0000limlim1011limlim sin0 xxxxfxxfxx不等，所以0 x为其间断点若Axfxx)(lim0，则当0 xx时，Axf)(称为0 xx时的无穷小量分析：000lim( )lim( )lim0 xxxxxxf xAf xAAA所以Axf)(为0 xx时的无穷小量（三）计算题设函数0,0,e)(xxxxfx,求：)1 (,)0(,)2(fff解：22f，00f，11fee求函数21lgxyx的定义域解 ：21lgxyx有 意 义 ， 要 求2100 xxx解 得1020 xxx或, 则 定 义 域 为1|02x xx或在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数解：DA R O h E . . B C 设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h，即 OE=h，下底 CD2R 直角三角形AOE 中，利用勾股定理得2222AEOAOERh,则上底2222AERh故2222222hSRRhh RRh求xxx2sin3sinlim0解：000sin3sin33sin3333limlimlimsin2sin2sin22222xxxxxxxxxxxxxxx133122求)1sin(1lim21xxx解：21111(1)(1)11 1limlimlim2sin(1)sin(1)sin(1)11xxxxxxxxxxx求xxx3tanlim0解：000tan3sin31sin311limlimlim3133cos33cos31xxxxxxxxxxx求xxxsin11lim20解：22222200011( 11)( 11)limlimlimsin( 11)sin( 11)sinxxxxxxxxxxxx020lim0sin1 11( 11)xxxxx求xxxx)31(lim解：1143331111(1)(1)1lim()lim()limlim33311(1)(1) 3xxxxxxxxxxxexxxexexxx求4586lim224xxxxx. . 解：2244442682422limlimlim544114 13xxxxxxxxxxxxx设函数1,111,1,)2()(2xxxxxxxf讨论)(xf的连续性，并写出其连续区间解：分别对分段点1,1xx处讨论连续性（1）1111limlim1limlim11 10 xxxxfxxfxx所以11limlimxxfxfx，即fx在1x处不连续（2）221111limlim2121limlim111xxxxfxxfxxf所以11limlim1xxfxfxf即fx在1x处连续由（ 1）（ 2）得fx在除点1x外均连续故fx的连续区间为, 11,。