指数函数的图象和性质 整体感知 对于具体的函数，我们一般按照“背景概念图象和性质应 用”的路径进行研究前面一节我们从具有现实背景的问题中，学习 得到了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质，并灵活应 用根据我们在第三章研究幂函数的经验思考：如何研究一个函数的 性质？研究一个函数的性质主要是研究哪些方面？ 整体感知 研究指数函数的图象和性质，首先要作出函数的图象，其次再根 据图象概括函数的性质，最后还可以由性质进一步分析函数的图象 按照函数研究的一般过程，需要研究指数函数的定义域、值域、单调 性、奇偶性，以及其特有的一些性质 新知探究 问题1首先画出指数函数的图象，我们先从简单的函数y 2x开始请同学们利用计算器完成x，y的对应值表，并用描 点法画出函数y2x的图象 xy -20.25 -1.50.35 -10.5 -0.50.71 01 0.51.41 12 1.52.83 24 新知探究 问题2为了得到指数函数yax(a0，且a1)的性质，我们 还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察用同样的方 法，在同一直角坐标系内画出函数的图象，并与函数y 2x的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数y2x的 图象，画出函数的图象？ 新知探究 因为，点(x，y)与点(x，y)关于y轴对称，所以函数y2x 的图象上任意一点P(x，y)关于y轴的对称点P1(x，y)都在函数 的图象上，反之亦然由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象 关于y轴对称 根据这种对称性，就可以利用一个函数的图 象，画出另一个函数的图象，比如利用函数y 2x的图象，画出的图象如右图所 示 新知探究 问题3选取底数a(a0，且a1)的若干个不同的值，例如a 3，a4， a， a在同一直角坐标系内画出相应的指数 函数的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们 有哪些共性？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写 出指数函数yax(a0，且a1)的定义域、值域、单调性、奇 偶性，等等 新知探究 选取底数a的若干值，例如a3，a4， a， a，利用信息技术 画出图象，如图 新知探究 发现指数函数yax的图 象按底数a的取值，可分 为0a1和a1两种类 型因此指数函数的性 质也可以分0a1和a 1两种情况进行研究， 设计的表格如右表 0a1 图象 定义域R 值域(0，+) 性质 （1）过定点(0，1)，即x=0时，y=1 （2）减函数（2）增函数 （3）非奇非偶函数，即无奇偶性 新知探究 例1比较下列各题中两个值的大小： （1）1.72.5，1.73；（2），；（3）1.70.3，0.93.1 解：（1）1.72.5和1.73可看作函数y1.7x， 当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值 因为底数1.71，所以指数函数y1.7x是增函数 因为2.53，所以1.72.51.73 新知探究 例1比较下列各题中两个值的大小： （1）1.72.5，1.73；（2），；（3）1.70.3，0.93.1 解：（2）同（1）理， 因为00.81，所以指数函数y0.8x是减函数 因为，所以 新知探究 例1比较下列各题中两个值的大小： （1）1.72.5，1.73；（2），；（3）1.70.3，0.93.1 解：（3）由指数函数的特性知1.70.31.701，0.93.10.901， 所以1.70.30.93.1 新知探究 例2如右图，某城市人口呈指数增长 （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； 解：（1）观察图象， 20年约为10万，经过40年约为20万， 即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年， 所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年 （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 发现该城市人口经过 新知探究 例2如右图，某城市人口呈指数增长 （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； 解：（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年， 人口将翻一番 因此，从20万人开始，经过20年， 该城市人口大约会增长到160万人 （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 归纳小结 问题4本节课研究指数函数的图象和性质的方法是什么？ 从哪几方面概括了指数函数的性质？分别是什么？ 本节课选取了大量不同的底数a，在同一直角坐标系中画出相应的指 数函数图象，通过观察，并结合函数的解析式，分析得到指数函数的 图象特点及函数性质从定义域、值域、定点、单调性和奇偶性，概 括了指数函数的性质具体性质略 目标检测 在同一直角坐标系中画出函数和的图象，并说明它们 的关系 1 答案：图象已在前面问题3中给出，此处略去函数和的 图象关于y轴对称 目标检测 比较下列各题中两个值的大小： 2 （1），；（2）0.33.5，0.32.3；（3）1.20.5，0.51.2 答案：（1）（2）0.33.50.32.3（3）1.20.50.51.2 目标检测 体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能 反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图 3 答案：可用指数函数SS0at来刻画体内癌细胞数量S随时间t变化的规律 ，其中初始量S00，增长比例a1，t0图略 敬请各位老师提出宝贵意见！ 再见再见再见再见 。