第第5 5章章 回溯法回溯法回溯法回溯法 有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法 回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法这种方法适用于解一些组合数相当大的问题 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索生成问题状态的基本方法生成问题状态的基本方法 扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在） 宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点 回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(boundingfunction)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。
具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法回溯法的基本思想回溯法的基本思想(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索常用剪枝函数：用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；用限界函数剪去得不到最优解的子树用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n)而显式地存储整个解空间则需要O(2h(n)或O(h(n)!)内存空间递归回溯递归回溯回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法void backtrack (int t) if (tn) output(x); else for (int i=f(n,t);i0) if (f(n,t)=g(n,t) for (int i=f(n,t);in) output(x); else for (int i=0;in) output(x); else for (int i=t;i=n;i+) swap(xt, xi); if (legal(t) backtrack(t+1); swap(xt, xi); 0-10-1背包问题背包问题给定n种物品和一背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?0-1背包问题是一个特殊的整数规划问题01背包问题：n=3，w=20，30,10，p=100，120，60且C=50.三个对象的背包问题的解空间10101010101010ABGIFHELDC回溯法解决01背包问题 1.解向量：一维数组 2.约束：取值范围，重量限制 3.解空间：子集树 4.代码实现 5.改进0-10-1背包问题背包问题解空间：子集树可行性约束函数：上界函数：private static double bound(int i) / 计算上界 double cleft = c - cw; / 剩余容量 double bound = cp; / 以物品单位重量价值递减序装入物品 while (i = n & wi = cleft) cleft -= wi; bound += pi; i+; / 装满背包 if (i n) / 到达叶结点 更新最优解bestx,bestw;return; r -= wi; if (cw + wi bestw) xi = 0; / 搜索右子树 backtrack(i + 1); r += wi; 批处理作业调度批处理作业调度给定n个作业的集合J1,J2,Jn。
每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理作业Ji需要机器j的处理时间为tji对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小这3个作业的6种可能的调度方案是1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1；它们所相应的完成时间和分别是19，18，20，21，19，19易见，最佳调度方案是1,3,2，其完成时间和为18批处理作业调度批处理作业调度解空间：排列树private static void backtrack(int i) if (i n) for (int j = 1; j = n; j+) bestxj = xj; bestf = f; else for (int j = i; j f1)?f2i-1:f1)+mxj2; f+=f2i; if (f half)|(t*(t-1)/2-counthalf) return; if (tn) sum+; else for (int i=0;i2;i+) p1t=i; count+=i; for (int j=2;j=t;j+) pjt-j+1=pj-1t-j+1pj-1t-j+2; count+=pjt-j+1; backtrack(t+1); for (int j=2;j=t;j+) count-=pjt-j+1; count-=i; + + - + - + + - - - - +- + + + - - + + - - + - - - +复杂度分析计算可行性约束需要O(n)时间，在最坏情况下有 O(2n)个结点需要计算可行性约束，故解符号三角形问题的回溯算法所需的计算时间为 O(n2n)。
n n后问题后问题在nn格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子n后问题等价于在nn格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上1 2 3 4 5 6 7 812345678解向量：(x1, x2, , xn)显约束：xi=1,2, ,n隐约束： 1)不同列：xixj 2)不处于同一正、反对角线：|i-j|xi-xj|n n后问题后问题 private static boolean place (int k) for (int j=1;jn) sum+; else for (int i=1;i=n;i+) xt=i; if (place(t) backtrack(t+1); 22【问题】填字游戏 问题描述：在33个方格的方阵中要填入数字1到N（N10）内的某9个数字，每个方格填一个整数，使得所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数试求出所有满足这个要求的各种数字填法12349815145请按任意键继续.12349141585请按任意键继续.12341589145请按任意键继续.12341514985请按任意键继续. . .1 2 36 5 87 12 11请按任意键继续. . .1 2 36 5 1411 8 9请按任意键继续. . .1 2 36 5 1411 8 15请按任意键继续. . .24练习：走台阶问题【题目叙述】你眼前一共有n级台阶（n为正整数），现在你要走完这n级台阶，已知你只能一步走一级或一步走两级，请你算算一共有多少种走法，并把这些走法都给出。
输入输出样例】输入：3输出：1111221 找数 【题目叙述】键盘输入n个正整数（互不相等），找出其中和等于m的数的组合 【输入输出样例】输入：5（m的值）12345 输出：14 23 525液晶数字问题 【题目叙述】如下图所示：0.9这10个数字可以由下列7个发光二极管组成0-9十个数字排成一排，每个数字只可以用一次排列要求：相邻数字后一个是由前一个数字添上几笔或是减去几笔得到的，不允许同时加减例如：3和8，8和3可以相邻，3和5不能相邻等问：有多少符合要求的排列？给出所有排列方法26最大团问题最大团问题给定无向图G=(V，E)如果UV，且对任意u，vU有(u，v)E，则称U是G的完全子图G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中G的最大团是指G中所含顶点数最多的团如果UV且对任意u，vU有(u，v)E，则称U是G的空子图G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集对于任一无向图G=(V，E)其补图G=(V1，E1)定义为：V1=V，且(u，v)E1当且仅当(u，v)EU是G的最大团当且仅当U是G的最大独立集。
1245312453最大团问题（MaximumCliqueProblem,MCP） 是图论中一个经典的组合优化问题，也是一类NP完全问题，在国际上已有广泛的研究，而国内对MCP问题的研究则还处于起步阶段，因此，研究最大团问题具有较高的理论价值和现实意义 MCP问题是现实世界中一类真实问题，在市场分析、方案选择、信号传输、计算机视觉、故障诊断等领域具有非常广泛的应用 确定性算法:回溯法、分支限界法等， 启发式算法:如顺序贪婪启发式算法、遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法、神经网络算法等29程序思路首先设最大团为一个空团，往其中加入一个顶点，然后依次考虑每个顶点，查看该顶点加入团之后仍然构成一个团，如果可以，考虑将该顶点加入团或者舍弃两种情况，如果不行，直接舍弃，然后递归判断下一顶点对于无连接或者直接舍弃两种情况，在递归前，可采用剪枝策略来避免无效搜索30判断顶点是否可入团为了判断当前顶点加入团之后是否仍是一个团，只需要考虑该顶点和团中顶点是否都有连接代码如下：for(j=1;jbestn)xi=0;/设置标志backtrack(i+1);/递归判断下一顶点32递归结束条件当搜索到一个叶结点时，即可停止搜索，此时更新最优解和最优值，程序代码如下：if(in)for(j=1;j n) / 到达叶结点 for (int j = 1; j = n; j+) bestxj = xj; bestn = cn; return; / 检查顶点 i 与当前团的连接 boolean ok = true; for (int j = 1; j bestn) / 进入右子树 xi = 0; backtrack(i + 1); 复杂度分析最大团问题的回溯算法backtrack所需的计算时间显然为O(n2n)。
12453进一步改进算法的建议进一步改进算法的建议选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的发挥作用例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序这在某种意义上相当于给回溯法加入了启发性定义Si=vi,vi+1,.,vn，依次求出Sn,Sn-1,.,S1的解从而得到一个更精确的上界函数，若cn+Sin) sum+; else for (int i=1;i=m;i+) xt=i; if (ok(t) backtrack(t+1); private static boolean ok(int k) / 检查颜色可用性 for (int j=1;j=n;j+) if (akj & (xj=xk) return false; return true; 复杂度分析图m可着色问题的解空间树中内结点个数是对于每一个内结点，在最坏情况下，用ok检查当前扩展结点的每一个儿子所相应的颜色可用性需耗时O(mn)因此，回溯法总的时间耗费是旅行售货员问题旅行售货员问题 旅行商问题，即TSP问题（TravellingSalesmanProblem）又译为旅行推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之一假设有一个旅。