第三章第三章 坐标变换与二次曲线的分类坐标变换与二次曲线的分类 本章要解决的两个问题： 一、给定图形，如何选择坐标系 使其方程最简单？ 二、在不同坐标系中，图形的方 程之间有什么关系？ 1 引入引入 在三维空间中，任意三个不共面的向量都可取 作空间的一组坐标向量空间中任一向量在某一组 坐标向量下的坐标是唯一确定的，但是在不同坐标 系中的坐标一般是不同的因此在处理一些问题时 ，如何选择适当的坐标系使得所讨论的向量的坐标 比较简单是一个实际的问题 1 1 仿射坐标变换的一般理论仿射坐标变换的一般理论 为此我们首先要知道同一向量在不同坐标系中 的坐标之间有什么关系，即随着坐标系的改变，向 量的坐标是如何变化的 2 1.1 1.1 过渡矩阵、向量和点的坐标变换公式过渡矩阵、向量和点的坐标变换公式 则借用矩阵记号和形式上的矩阵乘法将上式写为： 1 1、、设 为空间中的一组向量，若 其中 是实数, 一、代数准备：向量的形式写法 3 则利用形式写法可记为： 2 2、、推广推广: :设 和 为两组向量， 若 4 1)1) 注：注：在形式写法下有下列运算规律: 5 2) 2) 矩阵 ，则 3) 3) 矩阵 矩阵 ，则，则 6 在空间中取定两个仿射标架 和 ，若 ① 即 二、基变换 ② 则称 ① 或 ② 为从 到 的基变换公式。
7 称矩阵 为从坐标系 到坐标系 的过渡矩阵 注：注：过渡矩阵是以 在 中的坐标 为各个列向量的三阶方阵 从而基变换公式可简写为: 8 三、向量和点的坐标变换公式 设向量 在 和 中的坐 标分别为 和 ，则 9 对比 这就是向量的坐标变换公式 可知 下面讨论点的坐标变换公式： 设点 在 和 中的坐标 分别为 和 ，并设点 在 中的 坐标为 . 10 两个标架之间的关系: 11 对比 可知 这就是点的坐标变换公式 12 两个坐标变换公式的异同点 不同点：向量的坐标变换公式是齐次的， 点的坐标变换公式是非齐次的 相同点：都是用 中的坐标去求 中的坐标； 都是一次线性关系式 思考：点的坐标变换公式什么时候表现为齐次的？ 13 1.2 1.2 图形的坐标变换公式图形的坐标变换公式 设曲面 在坐标系 中的一般方程为 , 则它在坐标系 中的一般方程为: 对于曲线,将其视为两张曲面的交线,从而曲线的坐标 变换公式可以将两张曲面的坐标变换公式联立得到. 例3.1 14 1.3 1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 不共面过渡矩阵 是可逆矩阵 命题3.1 设有三个仿射坐标系 ,若从 的 过渡矩阵为C,从 的过渡矩阵为D,则从 的 过渡矩阵为CD. 推论 若从 的过渡矩阵为 ,则从 的过渡 矩阵为 . 注：注：以上所有的概念、定义和结论对于平面上的坐 标变换都有类似的结果，而且更加简单。
例3.2、3.3 15 1.4 1.4 代数曲面和代数曲线代数曲面和代数曲线 一个结论：若空间中的一张二次曲面和一张平面相交， 则交集为二次曲线，或者直线，或者一个点 注注 1 1 ：：次数的概念不是纯几何的，它与方程有关 如果 是一个关于 的多项式，则称方程 的图像为代数曲面，并把多项式的次数 称为这个代数曲面的次数 注注 2 2 ：：代数曲面及其次数与坐标系的选取无关 在平面上，相应地有代数曲线及其次数的概念 16 1.5 1.5 直角坐标变换的过渡矩阵、正交矩阵直角坐标变换的过渡矩阵、正交矩阵 设 和 是空间中的两 个直角坐标系， 到 的过渡矩阵为 则简单计算表明: 命题3.2 直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵. 命题 正交矩阵的行列式为+1或-1. 命题 正交矩阵将直角坐标系变为直角坐标系. 命题 行列式为正的正交矩阵保持定向; 行列式为负的正交矩阵改变定向.17 正交矩阵的一些性质 矩阵 是正交矩阵 矩阵 的每行元素的平方和等于1,且不同两 行对应元素乘积之和等于0. 矩阵 的每列元素的平方和等于1,且不同两 列对应元素乘积之和等于0. 矩阵 是正交矩阵 18 二阶正交矩阵的特殊形式 二阶正交矩阵只有以下两种形式: 移轴变换 转轴变换 19 2 2 二次曲线的类型二次曲线的类型 目标：寻找一个新的右手直角坐标系，使得 在其中 的方程成为标准方程，从而看出其几何形状。
先讨论在平面右手直角坐标系中，二次方程： 所代表的二次曲线 的几何形状 方法：转轴（消去交叉项）+ 移轴（进一步化简） 注：注：若 ,用移轴的方法就可化为标准方程,因此 处理 是关键所在.下面讨论 的情况 20 1 1、、首先,我们希望新的坐标系还是直角坐标系, 而且最好还是右手系 因此这个变换必定是正交变换,而且行列式为+1. 问题:怎么想到是转轴而不是别的变换? 2 2、、其次,平面上的正交矩阵只有两种类型,其中行列 式为正的就是转轴变换. 21 用它的二次项系数构造对称矩阵: 于是 设所要找的转轴变换为: 2.1 2.1 用转轴消去交叉项用转轴消去交叉项 记 , 22 则二次项部分的变换如下: 因此,要使新坐标系中的方程没有交叉项,只要取 满足 即 23 作移轴变换 2.2 2.2 用移轴进一步简化方程用移轴进一步简化方程 设二次曲线 在某个右手直角坐标系中的方程为: 其中 和 不全为0. 1)1) 若 和 都不为0,则配方得: 则方程化为 : 24 进一步可化简为以下5种形式之一: 椭圆 空集 一点 双曲线 一对相交直线 25 2)2) 若 和 中有一个为0,不妨设 为0, 不为0. 则方程可化为: 若 ,作移轴变换 : 进一步化为 : 抛物线 方程化为: 26 若 ,作移轴变换: 进一步化为 : d>0: 一对平行直线 方程化为: d=0: 一条直线 d<0: 空集 27 小结小结 1)1) 由于坐标变换不改变代数曲线的次数，所以仿射 坐标系下的二次曲线在直角坐标系下仍然还是二次 曲线。
2)2) 所有的二次曲线只有以下七种（空集除外）： 椭圆、双曲线、抛物线、一对相交直线、 一对平行直线、一条直线、一个点 28 3 3 用方程的系数判别二次曲线用方程的系数判别二次曲线 的类型，不变量的类型，不变量 上一节引入的方法的局限性： 问题：如何判别在仿射坐标系下给出的二次方程 所表示的二次曲线的类型? 1)1) 转轴和移轴只适用于直角坐标系; 2) 2) 计算量比较大. 新的方法：不变量法 用方程的系数去构造不依赖于坐标系的不变量，进 而直接判别二次曲线的类型 注：注：这些不变量的构造仰仗于代数语言的引入,因为 它们本质上是对称矩阵在合同变换下的不变量. 29 记 , 用它的系数构造两个对称矩阵: 3.1 3.1 二元二次多项式的矩阵二元二次多项式的矩阵 可见 和 是互相决定的. 则 30 可见 和 是互相决定的. 即 记 是 的二次项部分, 分别把 和 称为 和 的矩阵. 31 设平面二次曲线的方程为 ,作坐标变换： 其中 是过渡矩阵(可逆).上面的变换称为可逆线性 变量替换. 记 则 32 设曲线在新坐标系中的方程为: . 则 它的二次项部分为: 注意到 和 都是对称矩阵,根据前面的定义 ,所以它们分别是 和 的矩阵. 设常数 ,则 和它的二次项部分 的矩阵分别为 和 . 33 设二元二次多项式 的矩阵为: 它们依次被称为二元二次多项式 的第一、 第二、第三不变量. 3.2 3.2 二元二次多项式的不变量二元二次多项式的不变量 构造 的不变量如下: 34 命题3.3 设 经过可逆线性变量替换变为 , 以 记 的不变量,则 (1) 和 同号, 和 同号; (2) 如果 是正交矩阵,则 推论 在直角坐标变换下 保持不变,这就是它们 被称为不变量的原因. 但是在仿射坐标变换下,它们并不是不变的. 命题3.4 设二元二次多项式 的 ,则 , 并且作可逆线性变量替换后所得的 的 与 同号. 命题 如果用一个非零常数 乘以 ,则 当 时,三个不变量都不改变符号. 当 时, 不变号, 变号,但 不变号. 35 3.3 3.3 用不变量判别二次曲线的类型用不变量判别二次曲线的类型 1.1.标准方程的不变量的正负性标准方程的不变量的正负性 一对平行直线, 或一条直线, 或空集 00+ 抛物线 －0+ 一对相交直线0 － 不定 双曲线≠0 － 不定 空集+++ 一点0++ 椭圆 －++ 图形图形标准方程标准方程 36 2.2.用不变量判别二次曲线的类型用不变量判别二次曲线的类型 设二次曲线 在某个坐标系中的方程为 , 记 的三个不变量为 . 例3.4 37 4 4 圆锥曲线的仿射特征圆锥曲线的仿射特征 设二元二次多项式 的矩阵为: 记 则 以下总假定在某个仿射坐标系中二次曲线 的方程 为 . 38 4.1 4.1 直线与二次曲线的相交情况直线与二次曲线的相交情况 设直线 的参数方程为 则 和 的交点对应的参数 满足 展开得到一个关于 的方程: 据此可判别交点的情形及个数(见教材). 39 4.2 4.2 中心中心 定义3.1 如果点 满足 则称 为曲线 的中心. 中心的坐标是方程组 的解. 有唯一解中心型曲线(椭圆、双曲线) 非中心型曲线 无解 I3≠0 没有中心(抛物线) 中心构成一条直线 (退化的抛物型曲线 ) I3=0 有无穷解 40 4.3 4.3 渐近方向渐近方向 定义3.2 一个非零向量 如果使得 , 则称 所代表的直线方向是 的渐近方向. 命题3.6 椭圆型曲线没有渐近方向, 双曲型曲线有两个渐近方向, 抛物型曲线有一个渐近方向. 几何意义 双曲线的渐近方向是两条渐近线的方向; 一对相交直线的渐近方向是它们自身的方向; 抛物线的渐近方向是它的对称轴的方向; 一对平行直线或一条直线的渐近方向就是自身的方向. 41 4.4 4.4 抛物线的开口朝向抛物线的开口朝向 结论 如果 ,则抛物线的开口朝向是 ,否则就是 . 命题3.7 若 ,则 是抛物线的开口朝向的 充要条件为: 命题3.7 若 ,则 是抛物线的开口朝向的 充要条件为: 抛物线 结论 如果 ,则抛物线的开口朝向是 ,否则就是 . I2=0a11和a22不全为0 42 注注 2 2 ：：如果 代表双曲型曲线的渐近方向,则 。