126 北區國中「數學史融入數學教學」工作坊-作品 11 賈憲三角及其應用 臺北市瑠公國中莊國彰教師 一一、、前言前言 國中教學單元裡第三冊裡的 「乘法公式」，其中的係數與賈憲三角有密切 的關係本文想透過數學史的介紹，讓學生瞭解賈憲如何做出賈憲三角，並且 了解它可以解決哪些數學問題；相信將可以帶給學習者更多的欣賞與感動 二、賈憲三角賈憲三角 宋代數學家楊輝於公元 1261 年所著的《詳解九章算法》一書中，記載了 一幅「開方作法本源圖」，人們把它稱為「楊輝三角」，是一個用數字排列成的 三角陣西方把這個三角形稱為 「巴斯卡三角形」，但法國數學家巴斯卡造出它 已經是十七世紀的事了據楊輝說「開方作法本源圖」：「出《釋鎖算書》，賈 憲用此術」 ，可知這三角形不是楊輝的發明甚至可以認定賈憲是這三角形的發 明人因為倘若賈憲之前已有人使用，楊輝 就不會說「出《釋鎖算書》，賈憲用此術」的 說詞 「釋鎖」 形象地將開方比喻為打開一把 鎖；因此，釋鎖法就是借助於算表進行開方 的方法這個算表就是賈憲三角，這就是為 什麼賈憲將其稱為「開方作法本源」 賈憲是十一世紀初北宋的一位數學 家，約在西元 1023~1050 間創造賈憲三角， 比楊輝早兩個多世紀，因此應把這個三角形 稱為 「賈憲三角」 。
元初朱世杰把賈憲三角由 七層推廣到九層﹝八次冪﹞如下圖所示，為 高階等差級數求和問題和高次招差法的發 展，提供了有力的數學工具，賈憲三角對宋 元數學的發展實有肇始之功 127 關於賈憲的生平，我們知道得很少可惜，賈憲所著的書都已失傳，人們只可 通過楊輝的中，記錄了賈憲創造的四種開方方 法，其中「增乘開方法」處理問題只限於求解 X2=A, X3=B,X4=C 之類的二項方 程，在研究此等新法之時，發現了兩數和的任意次方展開後的系數規律，創造 了一張表，稱為「開方作法本源」，包括了從 0 次到 6 次的二項展開式的全部系 數，這圖有人稱為「楊輝三角」，事實上應當稱「賈憲三角」，如圖(ㄧ)所示 這個圖下面有五句話： 「左袤乃積數，右袤乃偶算，中藏者皆廉，以廉乘 商方，命實而除之」前三句說明了賈憲三角的結構： 「左袤乃積數」指左邊由上而下的那一行「一 一 一 一 一 一 一」是二 項展開式中常數項係數； 「右袤乃偶算」 指右邊由上而下的 「一 一 一 一 一 一 一」是展開式中最高次項係數；「中藏者皆廉」指中間那些數是對應各次項的係 數；「以廉乘商方，命實而除之」指開方或解方程時用所得的商去乘各次項係 數，再從實中減去。
最外左右斜線上的數字，分別是展開式中積和隅算( n = 0， 1，2，3，……）的係數，中間的 2；3，3；4，6，4；……分別是展開式的各 圖(一) 128 廉後兩句說明了各係數在釋鎖法中的應用 賈憲三角實際上是二項式 a+b 乘方後展開式的係數表，如下圖所示： 上述的表格不是說賈憲三角是從 a+b 的各次乘方的展開式中，抽出了係 數後排列出來的；若是如此，就倒果為因了！據史書記載，賈憲的造表方法叫 做 「增乘法」 ；這是一種十分簡便而又合理的方法 「增乘」 是隨乘隨加的意思， 例如造一張具有七行的賈憲三角，按增乘法，先列出一行 6 個 1， 即111111 然後，自右而左逐一增入，得654321 其中的 2(=1+1)，3(=1+1+1)，4(=1+1+1+1)，5(=1+1+1+1+1)，6(=1+1+1+1+1+1) 以下，再依次自右而左逐一增入，但每次減少一位而止，即：1510631 其中的 3(=1+2)，6(=1+2+3)，10(=1+2+3+4)，15(=1+2+3+4+5) 以此類推可得201041 1551 61 最後將這六行數整個旋轉 450，並在末行兩邊各添加 1，便可得賈憲三 角，如下圖所示： 1111111111111 1 6543216543211111 15106311510631121121 20104113312010411331 155114641155114641 61151010611510105151 1 161520156615201561 1 1 11 121 1331 14 641 15 1151 1612161 129 三三、、賈憲三角的應用賈憲三角的應用 賈憲三角形是中國數學的偉大貢獻之ㄧ，最早用於開方術。
元代的朱世 傑對賈憲三角形應用又ㄧ次推廣，成為垛積的理論根據；李善蘭又對這一三角 形做出各種推廣和應用並寫成、《垛積比類》、《方圓闡幽》等著作賈憲三角 形堪稱中國數學一大源泉，在他的基礎上，產生了方程、級數、組合乃至微積 分等中算的碩果 中國、印度和阿拉伯，早就用(a+b)2和(a+b)3來求平方根和立方根的近似 值請參考底下例子： (一) 正平方根 其原理如下：設 N 0，求出 N 之正平方根的近似值 解：設 s 0，並且滿足 N=s2+d=(s+x)2=s2+2sx+x2 則d=2sx+x2，因為x 極小，所以 x2趨近於 0； d=2sx+x2 2sx x s d 2 s d sxsN 2 例如：求 11 之正平方根的近似值 解：因為 11=32+2 令11=(3+x)2； 則x 311………( 1 ) (3+x)2=32+2 3 x+x2 32+2 3 x 則32+2 32+2 3 x 得.333. 0 3 1 32 2 x………( 2 ) 由(1)(2)可知，所以333. 311 … 當然，如果我們可以找到更逼近於 11 的平方數，例如：3.22，也就是 11＝3.22+0.76；那麼，求 11 的正平方根將更接近正確的値。
130 (二) 立方根 其原理如下：設 N 0，求出 N 之立方根的近似值 解：設 s 0，並且滿足 N=s3+d=(s+x)3=s3+3s2x+3sx2+x3 則s3+d=s3+3s2x+3sx2+x3； 因為x 極小，所以 x2趨近於 0，且 x3趨近於 0； 所以d 3s2x 得 2 3s d x 故 2 3 3s d sxsN 例如：求 13 之立方根的近似值 解：因為 13=23+5 令13=(2+x)3； 則x213 3 ………( 1 ) (2+x)3=23+3 22 x+3 2 x2+x3 則23+5=23+3 22 x+3 2 x2+x3 因為x 極小，所以 x2趨近於 0，且 x3趨近於 0； 所以23+5=23+3 22 x+3 2 x2+x3 23+3 22 x 得5 3 22 x 得.41666. 0 12 5 23 5 2 x 故.41666 . 2 213 3 x 131 四四、、問題問題 (一) 下圖是賈憲造三角形的方式 (六階三角)，請模仿他的作法做出七階 三角？ 1111111 65432111 1510631121 2010411331 155114641 6115101051 1615201561 (二) 已知 23=4.72+0.91，仿照本文的作法，請利用 (a+b)2公式，求 23 的 正平方根的近似值？ (三) 已知 65=43+1，仿照本文的作法，請利用 (a+b)3公式，求 65 的立方 根的近似值？ 參考文獻 E.T. Bell (1998).《大數學家》，台北市：九章出版社 王懷權 (1997).《數學的故鄉》， 台北縣新店市：學英文化事業股份有限公司 梁宗巨 (1995).《數學歷史典故》，台北市：九章出版社 洪萬生 (1993).《談天三友》，台北市：明文書局 陳茂松 (1985).《數學史與數學家》， 高雄市：復文圖書出版社 不著撰人(1988).《數學誕生的故事》，台北市：九章出版社 蔡聰明 (2000).《數學的發展趣談》，台北市：三民書局 傅海倫 (2003).（從賈憲三角看數學史在數學教育中的作用和價值） 《數學傳播》 27 卷 1 期。