2010年秋季四川大学邓传现§4.5 齐次方程组有非零解第四章 向量与线性方程组的条件及解的结构2 2010年秋季四川大学邓传现齐次线性方程组有非零解的充要条件关于齐次线性方程组：一般形式或其矩阵形式： 其中我们有如下结论：或其向量形式 其中3 2010年秋季四川大学邓传现定理 以下命题等价（即互为充要条件）① 齐次线性方程组 有非零解；② 向量组 线性相关；③④推论 方程组 仅有零解齐次线性方程组有非零解的充要条件4 2010年秋季四川大学邓传现解向量的数乘仍是解解向量的和差仍是解解向量的线性组合仍是解① 若 为 的解， 为任意数，则也为 的解.② 如果 为 的解，则 仍为的解.③ 如果 为 的解， 为任意两数，则 也为 的解 .的解.解向量的线性组合仍是解均为任意数，则 也为④ 若 为 的解，齐次线性方程组解的性质5 2010年秋季四川大学邓传现解答故原齐次线性方程组的一般解为例题 解齐次线性方程组令则其中 为任意常数 .6 2010年秋季四川大学邓传现易见 是两个线性无关的解，且原方程组的任意解都可由 线性表出，在此，称 为原齐次线性方程组的一个基础解系 .定义 称向量组 为齐次线性方程组的一个基础解系，如果② 向量组 线性无关；① 向量组 中的每个向量均为 的解；③ 方程组 每个解均可由 线性表出 .齐次线性方程组的基础解系7 2010年秋季四川大学邓传现若 是 的一个基础解系，则① 的任意线性组合都是 的解；② 的任意解均可表为基础解系的线性组合 .这表明 的全部解即解集为即 的通解求出 的基础解系，即可得 的全部解 .实际上， 的基础解系就是它的解向量组的极大无关组，所以， 的基础解系不唯一 .齐次线性方程组的基础解系8 2010年秋季四川大学邓传现定理 设 若 则齐次线性方程组 存在含有 个向量的基础解系 .证明 设 经一系列初等行变换化为阶梯型矩阵 ，则且 的前 行不为零 . 不失一般性，设第 行的非零首元为 ，从而有将自由未知量 一组值齐次线性方程组的基础解系的存在及求法9 2010年秋季四川大学邓传现代入并去去掉 的等式，移项可得显然其系数行列式不为零 ， 由 Cramer 法则知 有唯一解 ，从而 为 的一个解 .10 2010年秋季四川大学邓传现同理，将 分别取 代入 得齐次线性方程组 的相应解分别为11 2010年秋季四川大学邓传现说明如下三点：①，② 显然成立，现说明 ③ .下面说明 为 的基础解系，则需① 均为 的解；② 是线性无关的；③ 的任意解可由 线性表示事实上，设 是 的任意解，则12 2010年秋季四川大学邓传现也是 或 的解，代入 得因系数行列式不为零， 则 必全为零，从而13 2010年秋季四川大学邓传现这表明 的任意解可由 线性表示；于是，①②③均得以说明，所以， 为方程组 的基础解系，且所含向量个数为14 2010年秋季四川大学邓传现推论 设齐次线性方程组 的系数矩阵为 矩阵，若，则① 的每个基础解系都含有 个解向量；② 的任意 个解向量线性相关；③ 的任意 个线性无关的解向量构成的向量组均是齐次线性组 的基础解系 .证明 设 是 的一个基础解系 . ① 设 是 的另一基础解系，则向量组 与 等价且都线性无关，故它们所含的向量个数必相等，因此15 2010年秋季四川大学邓传现的一个基础解系 .由 ② 知向量组② 因 的任意 个解向量均可由含个向量的向量组 线性表示，故线性相关；③ 若 都是 的解且线性无关 . 设 是 的任意一解，线性相关，故 可由向量组线性表示，即 也是齐次线性方程组16 2010年秋季四川大学邓传现例题 求齐次线性方程组的一个基础解系 .解答 对系数矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵得显然17 2010年秋季四川大学邓传现解同解方程组令 ，解得原方程组的一解为 ；18 2010年秋季四川大学邓传现令 解得原方程组的一解为则 为齐次方程组的一个基础解系，故通解为为任意常数19 2010年秋季四川大学邓传现这样做可避免分数分量的出现！此时，通解为提醒 上例中求 时处也可取 则得其中 为任意常数 .20 2010年秋季四川大学邓传现例题 求的一个基础解系及通解 .解答 对系数矩阵作初等行变换化简可得则 故基础解系中含个向量， 分别取 代入 得21 2010年秋季四川大学邓传现方程组的一个基础解系为从而，原方程组的通解为有重要意义，且还可用来解决一些关于矩阵秩的问题 .为任意常数 . 以上定理揭示了矩阵 的秩与 的基础解系所含向量个数之间的关系，这种关系不仅对 的求解22 2010年秋季四川大学邓传现解系所含向量的个数 , 从而问题可转为讨论齐例题 设矩阵 满足 , 证明：① 的列向量是 的解向量；② 若，则；③④ 若 ，则 的列向量组线性相关 .分析 因 是齐次线性方程组 的基础次线性方程组 的解的相关问题 . 证明则① 将 列分块，得23 2010年秋季四川大学邓传现从而③ 分两种情况说明 .是的解即 的列向量均为 的解，得证；② 若 ，则 仅有零解，由 ① 知a. 当 时，由 ② 知 ，从而有24 2010年秋季四川大学邓传现b. 当 时，则 有非零解，从而存在基础解系因都是 的解，故 可由向量组 线性表示，故综合以上两种情况，总有 .④ 若，则 ，由 ③ 有00iiAβ β≠ =即 列向量组的秩小于向量个数，故线性相关 .25 2010年秋季四川大学邓传现1 齐次方程组 仅有零解的充要条件是（ ）B. 系数矩阵 的列向量组线性无关A. 系数矩阵 的行向量组线性无关C. 系数矩阵 的列向量组线性相关D. 系数矩阵 的列向量组线性相关2 齐次方程组 有非零解的充要条件是（ ）A. 系数矩阵 的任意两个列向量线性相关D. 矩阵 任一列向量是其余列的线性组合B. 系数矩阵 的任意两个列向量线性无关C. 矩阵 必有一列是其余列的线性组合26 2010年秋季四川大学邓传现为 ，矩阵 且 ，试求 的值 .3 设齐次线性方程组 的系数矩阵课堂练习。