函数的极值和最值及其应用摘要数学应用是数学教学的一个重要的任务本文将通过函数极值和函数最值的相关理论、区别、联系及极值最值的求解方法，系统的阐述函数极值最值，这一重要而且基础的函数性质，并让大家意识到部分极值最值问题是与实际问题有着密不可分的关系然后运用给出的函数极值和最值知识，解决生活实际中的应用问题文中涉及的实际应用有：1.极值理论在海事安全、保险业、金融风险管理等领域的应用 2.最值在商业最大利润、税收额最大、最大期望、最优计划安排等问题中的应用在极值和最值的理论学习后，如何运用所学知识解决实际问题应得到我们的重视从而认识到极值最值在数学中的重要性及数学在生活中的必不可少性！关键词：极值；最值；应用 目录1.引言 ------------------------------------------------------- 12.函数极值的相关理论 ---------------------------------------- 1 2.1函数极值的定义----------------------------------------- 1 2.2极值的充分条件----------------------------------------- 2 2.3函数极值的求解方法------------------------------------- 33.函数最值的相关理论------------------------------------------ 6 3.1函数最值的定义----------------------------------------- 6 3.2函数最值的求解方法-------------------------------------- 74.函数极值和函数最值的区别和联系----------------------------- 95.极值的应用-------------------------------------------------- 116.最值的应用-------------------------------------------------- 137.结论------------------------------------------------------- 18 参考文献---------------------------------------------------- 19 致谢-------------------------------------------------------- 201.引言作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值和最值在数学与其它科学技术领域，诸如数学建模、税收金额、优化问题、概率统计等学科都有广泛的应用。
不仅如此，函数极值理论在航海、保险、价格策划、航空和航天等众多领域中也是最富表现性和灵活性，并起着不可替代的数学工具的作用许多实际问题最终都归结为函数极值或最值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建模的形式，表示为函数形式而在求解具体问题时往往需要应用到极值和最值的求解，来为生产生活做保证！由此可见，研究函数极值和最值，是学习数学与其它学科的理论基础，是生活生产中的必备工具它为我们对于数学的进一步研究起到很大帮助；同时，它对于其它相关学科的理解、学习与应用也起着十分重要的作用，更对其他学科领域的展开有很大的促进作用函数的极值和最值不仅是函重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要的应用,对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值和最值的求解下面，就让我们系统的归纳和展示，函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用！2.函数极值的相关理论2.1函数极值的定义 设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，则是函数的一个极大值如果附近所有的点，都有，则是函数的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
费马定理：可导的极值点一定是稳定点极值点一定是稳定点或不可导点数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得若函数在点处可导，且为的极值点，则.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是.2.2极值的充分条件定理1（极值的第一充分条件）设在点连续，在某邻域内可导.(1）若当时，当时， 则在点取得极小值.（2）若当时，当时， 则在点取得极大值.定理2（极值的第二充分条件）设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且.（1）若，则在取得极大值.（2）若，则在取得极小值.定理3（极值的第三充分条件）设在的某个邻域内,存在直到阶导函数，在处阶可导，且,则.（1）当为偶数时，在取得极值，且当时取极大值，时取极小值;（2）当为奇数时，在处不取极值.2.3函数极值的求解方法函数极值的求解方法有很多，根据定义我们可以用导数法进行求解，但当函数较为复杂, 导数与驻点及不可导点不好求或函数较为复杂时，我们可以采用以下方法进行求解：2.3.1降元法求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解 例1：已知，求函数的极值 解：由题设得，代人得 即函数的定义域为： 当时， 当时，2.3.2转化法在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。
下面二例的解法作为参考 例2：求函数的极小值. 解：设 令 则： 例3：求函数的极值 解：原函数化为： ，其中 解得： 2.3.3换元法换元法是把问题进行转化的一种常用方法例4：已知，求的极值. 解： 令 则 （其中） 例5：求函数的极值分析：本例可通过辅助元把所给函数化为二次函数： ，即把上述极值问题转化为抛物线在范围内求最高点和最低点的问题此处不予以细致解答2.3.4判别式法若所给函数式（可加约束条件）如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别式法求函数的极值。
例6：已知满足，求的最小值. 解：由得代人约束条件并以为主元整理得： 解得: （1） 当且仅当时（1）式取等号 由的对称性知当时， .2.3.5不等式法例7：已知满足，求函数 的极值 解：由已知式配方得： （1） （2） 得 解得： 其实，函数极值的解题方法不少,如三角法、参数法,极坐标法、区间法等都有一定的技巧性.解题时应认真分析,审查题目的特征、结构、挖掘隐含条件,抓住特征,发挥联想,运用灵活多变的替代、转化,有时还需要反其常规,逆向思维,以退为进选择合理的解题方法,逐步提高解题技能,才能做到准确简捷地解题.本文就此不做具体展示3.函数最值的相关理论3.1函数最值的定义3.1.1函数最值 设函数在区间上有定义，如果存在一点，使得不小于其他所有的，亦即 ，则称是在上的最大值，又可记为 ；同样使得不大于其他所有的，亦即 ，则称是在上的最小值，又可记为 .注意：函数在上未必一定有最大（小）值。
例如函数在区间上无最大值但有最小值，最小值为0；又如函数在区间上有最大值为0，但无最小值；而函数在内既无最大值又无最小值3.1.2函数最值与上（下）确界的关系设函数在上有定义，则它的所有函数值组成一个数集，这个数集有它的上确界和下确界，即，例如同样的函数在的上确界为1，下确界为0.容易知道，函数在上的最大（小）值一定是它在区间上的上（下）确界，但反过来，上（下）确界未必是最大（小）值，这是因为函数可能不存在最大（小）值例如函数在内有上确界1，但无最大值3.2函数最值的求解方法3.2.1导数法闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的极值，而极值又来源于的根处的函数值所以建议求可导函数在闭区间[a，b]上的最值可分以下两步步骤进行：1.求函数的导数 2.求函数在[a，b]内令的的值（称之为“驻点” ）3.判断驻点左右两侧的正负，以此判断函数曲线的走向（为上升，为下降），左边上升、右边下降的驻点处的函数值为极大值，反之为极小值4.如果函数驻点较多，分段讨论，并可以列表、画图表达5.求最大值，将所有极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较，取最大的，则为最大值最小值亦然。
例： 求函数在闭区间[-2，2]上的最大值和最小值 解：先求导数得：， 令即， 解得 计算得： 比较得3.2.2几何法例如：已知，求函数的最小值 解：本题的几何意义是在直线上求一点，使得到点的距离之和为最小如图： 设：点坐标为，直线的方程为由几何光学原理知当点光源从射出后，经镜面反射到点这时就是所求的最小值设点关于光线的对称点为，于是 ，由 解得 其实，对于函数最值的求解，我们可以依据极值的求解通过最值的定义与最值和极值的关系来求解最值而对于实际生活中出现的求解函数最值的问题，我们通常使用定义法和极值最值关系来求得我们需要的答案对此，下面最值的应用一节中我们会具体给出4.函数极值和函数最值的区别和联系4.1区别 极大值与极大值点：如果存在。