13 结构的影响线与梁的内力包络图,本章内容 本章将介绍影响线的概念，用静力法作简支梁的影响线，以及简支梁的最不利荷载位置梁的结构设计还要考虑在恒载和活载共同作用下内力的最大值和最小值变化规律，故本章又将介绍简支梁的内力包络图和连续梁的内力包络图13.1 影响线的概念 13.2 用静力法作简支梁的影响线 13.3 简支梁的最不利荷载位置 13.4 简支梁的内力包络图 13.5 连续梁的内力包络图,13 结构的影响线与梁的内力包络图,第一节 影响线的概念,恒载：作用点位置固定不变的静荷载，在工程上又称恒载但工程上的某些结构除承受恒载外，有时还要承受作用点位置不断变化的移动荷载的作用，例如在桥梁上有行驶的火车或汽车或人群时，又如在工厂车间的吊车横梁上有工件被起吊而要移位时，等等；而另有些结构有时还要承受随作用点位置间断变化的可动荷载的作用，例如人群、风、雪，等等移动荷载和可动荷载在工程上又称活载结构受移动荷载作用时，其支座的约束力的各截面的内力都将随荷载的位置不同而变化在结构设计的计算中，必须求出移动荷载作用下结构支座约束力和各截面内力变化的最大值，并以此作为结构设计的依据而必须首先确定的结构出现某一量值（约束力、内力、位移等）的最大值时的移动荷载所处的位置，即称为结构的最不利荷载位置。
这里我们来研究竖向单位集中荷载Fp=1在结构上移动时，对某一指定量值所产生的影响第一节 影响线的概念,如图13-1a所示简支梁，当单位集中荷载FP=1在梁上移动到某一位置如点A、1、2、3、B时，利用平衡条件可以求出支座A的约束力FAy这一量值的大小思考：应以怎样的一个平衡方程求出约束力FAy的大小？而单位荷载移动到以上各点时，约束力FAy的值又分别是多少？回答：此时列平衡方程∑MB=0，即可以求得支座约束力FAy的大小，它的数值分别为 1，,,,,、0第一节 影响线的概念,今以横坐标表示单位荷载Fp=1移动的位置x，以纵坐标表示约束力FAy的数值然后，在水平基线上画出各约束力的竖标，将其顶点连接起来，即得到图13-1b所示的图形这一图形表示了单位荷载FP=1在简支梁上移动时支座约束力FAy的变化规律，故将其称为支座约束力FAy的影响线第一节 影响线的概念,由此给出影响线的定义，即当一个指向不变的单位集中荷载Fp=1在结构上移动时，用以表示结构某一指定量值S随单位荷载移动位置x变化规律的曲线图形，即称为该量值的影响线可见，在影响线的图形画出以后，就可用它来确定已知移动荷载作用下结构的最不利荷载位置。
因为在此给出的移动单位荷载Fp=1无量纲，所以影响线的纵坐标的量纲等于指定量值S的量纲除以力的量纲第一节 影响线的概念,第二节 用静力法作简支梁的影响线,用静力法作简支梁某一指定量值的影响线，首先是把单位集中荷载FP=1放在结构上的任意一位置，选择直角坐标系，以横坐标x表示单位荷载移动的位置；然后用静力平衡条件求出该量值与荷载FP=1移动位置x之间的关系而求出的用以表示这种关系的方程称即为影响线方程；最后，根据影响线方程就可作简支梁的影响线支座约束力影响线,现在讨论简支梁（图13-2a）支座约束力FAy的影响线坐标原点设在左支座A处，以轴x向右指向为正将荷载FP=1置于距支座A为x之处，设支座约束力方向以向上为正，列平衡方程，即,第二节 用静力法作简支梁的影响线,∑MB=0，FAyl-FP（l-x）=0,由此可得,,（0≤x≤l）,第二节 用静力法作简支梁的影响线,这就是简支梁支座约束力FAy的影响线方程约束力FAy是x的一次函数，当x=0时，得FAy=1；当x=l时，得FAy=0由此在左支座A处取等于1的竖标，将其顶点和右支座B处为零的竖标相连接，即可画出支座约束力FAy的影响线（图13-2b）。
同理，列平衡方程∑MA=0，也可得简支梁支座约束力FBy的影响线方程据此方程画出FBy的影响线，即如图13-2c所示第二节 用静力法作简支梁的影响线,二、弯矩影响线,这里欲画出简支梁指定截面C的弯矩影响线，可将单位集中荷载移动的位置x分成两种情况予以考虑：,当荷载FP=1在梁的AC段上移动时，如图13-3a所示，并设0≤x≤a今取截面C右边的梁段为分离体，规定使梁下侧的纤维受拉时的弯矩为正由平衡方程∑MC=0，即可得,,（0≤x≤a）,第二节 用静力法作简支梁的影响线,可见，弯矩MC的影响线在截面C以左的部分为一直线当x=0时，得MC=0；当x=a时，得MC=ab／l将截面C处竖标顶点和左支座A处为零的竖标相连接，即得出单位荷载在AC段上移动时的影响线，也就是图13-3c所示的对应截面C以左的部分直线第二节 用静力法作简支梁的影响线,当荷载FP=1在梁的CB段上移动时，如图13-3b所示，并设a≤x≤l今取截面C左边的梁段为分离体，弯矩正负规定同前由平衡方程∑MC=0，即可得,,（a≤x≤l）,第二节 用静力法作简支梁的影响线,可见，弯矩MC的影响线在截面C以右的部分也为一直线当x=a时，得MC=ab／l；当x=l时，得MC=0。
将截面C处竖标顶点和右支座B处为零的竖标相连接，即得出单位荷载在CB段上移动时的影响线，也就是图13-3c所示的对应截面C以右的部分直线第二节 用静力法作简支梁的影响线,至此，所得出的指定截面C的弯矩影响线由两段直线所组成，而这两段直线的交点即对应于指定截面C通常称截面C以左的直线为左直线，截面C以右的直线称为右直线从以上的弯矩MC的影响线方程可以看出，左直线可通过支座约束力FBy的影响线竖标放大b 倍得到，而右直线则可通过支座约束力FAy的影响线竖标放大a倍得到这说明利用支座约束力FAy和FBy的影响线也可来绘制弯矩MC的影响线，其具体作法是：,第二节 用静力法作简支梁的影响线,将左支座约束力FAy的影响线竖标乘以指定截面C到左支座A的距离a，而保留截面C以右之CB段所对应的部分影响线；将右支座约束力FBy影响线竖标乘以指定截面C到右支座B的距离b，而保留截面C以左之AC段所对应的部分影响线指定截面C处对应的竖标为ab/l，由于前面已假定了移动单位荷截FP=1无量纲，所以弯矩影响的量纲为长度单位第二节 用静力法作简支梁的影响线,三、剪力影响线,这里欲画出简支梁指定截面C的剪力影响线，仍可将单位集中荷载移动的位置x分成两种情况予以考虑。
当荷载FP=1在梁的AC段上移动时，如图13-3a所示，并设0≤x≤a今取截面C右边的梁段为分离体，规定使所取梁段有顺时针转动趋势时的剪力为正由平衡方程∑Fy=0，即可得,,（0≤x≤a）,第二节 用静力法作简支梁的影响线,可见，剪力FQC的影响线在截面C以左的部分与支座约束力FBy的影响线竖标数值相同，但其正负符号相反因此，可以先把FBy的影响线翻过来画在基线下面，而保留截面C以左之AC段所对应的部分影响线，亦即如图13-3d所示的截面C以左的左直线指定截面C处左侧对应的竖标按比例关系求得为-a/l第二节 用静力法作简支梁的影响线,当荷载FP=1在梁的CB段上移动时，如图13-3b所示，并设a≤x≤l今取截面C左边的梁段为分离体，剪力正负规定同前由平衡方程∑Fy=0，即可得,,（a≤x≤l）,第二节 用静力法作简支梁的影响线,可见，剪力FQC的影响线在截面C以右的部分与支座约束力FAy的影响线竖标数值和正负符号均相同因此，可以先把FAy的影响线画出，而保留截面C以右之CB段所对应的部分影响线，亦即如图13-3d所示的截面C以右的右直线指定截面C处右侧对应的竖标按比例关系求得为b/l第二节 用静力法作简支梁的影响线,以上所画的FQC的影响线分成了两段互相平行的AC和CB两段直线，并且在对应的截面C处形成台阶。
当荷载FP=1作用在梁的AC段上任意一处时，截面C上有负剪力；当荷载FP=1作用在梁的CB段上任意一处时，截面C上有正剪力当荷载FP=1由截面C处左侧移到C处右侧时，截面C上的剪力将从-a/l一跃为+b/l，出现一个突变，其突变值显然等于1第二节 用静力法作简支梁的影响线,例13-1 试画出图13-4a所示外伸梁的FAy、FBy、MK、FQK、ME、FQE的影响线第二节 用静力法作简支梁的影响线,解：（1）支座约束力FAy、FBy的影响线取左支座A为坐标原点，坐标x以向右为正当荷载FP=1作用于梁上距原点为x的任意一点时，列平衡方程可求得支座约束力为,,,（－l1≤x≤l+ l2）,（－l1≤x≤l+ l2）,第二节 用静力法作简支梁的影响线,这两个支座约束力的影响线方程与简支梁的影响线方程相同，只是荷载FP=1的移动范围会有所扩大在此外伸梁的AB段以内，其影响线与简支梁的完全相同，约束力FAy的影响线对应于支座A处的竖标为1，对应于支座B处的竖标为0；约束力FBy的影响线对应于支座B处的竖标为1，对应于支座A处的竖标为0第二节 用静力法作简支梁的影响线,由方程的连续性可知，若将简支梁的影响线向对应于梁的两端外伸的部分延长，则可得外伸梁AB以外的影响线。
整个影响线如图13-4b、c所示按比例关系可求得FAy的影响线在两端点C和D对应的竖标分别为1+l1/l和-l2/l；FBy的影响线在两端点C和D对应的竖标分别为-l1/l和1+l2/l第二节 用静力法作简支梁的影响线,（2）弯矩MK的影响线当荷载FP=1在截面K以左的梁段上移动时，弯矩MK的影响线方程为,MK=FByb,（－l1≤x≤a）,当荷载FP=1在截面K以右的梁段上移动时，弯矩MK的影响线方程为,MK=FAya,（a≤x≤l+ l2）,第二节 用静力法作简支梁的影响线,由以上方程首先画出外伸梁AB段以内的影响线，然后再将其向对应于梁的两端外伸的部分延长，即可得整个外伸梁的影响线（图13-4d）按比例关系可求得MK的影响线在两端点C和D对应的竖标分别为-bl1/l和-al2/l第二节 用静力法作简支梁的影响线,（3）剪力FQK的影响线当荷载FP=1在截面C以左的梁段上移动时，剪力FQK的影响线方程为,FQK=－FBy,（－l1≤x≤a）,当荷载FP=1在截面C以右的梁段上移动时，剪力FQK的影响线方程为,FQK=FAy,（a≤x≤l＋l2）,第二节 用静力法作简支梁的影响线,由以上方程首先画出外伸梁AB段以内的影响线，然后再将其对应于梁的两端外伸的部分延长，即可得整个外伸梁的影响线（图13-4e）。
按比例关系可求得FQK的影响线在两端点C和D对应的竖标分别为l1/l和-l2/l第二节 用静力法作简支梁的影响线,（4）梁的外伸段上截面E的弯矩ME的影响线和剪力FQE的影响线已知如图13-4a所示的单位荷载FP=1在外伸部分上移动为简便计算，这时宜取截面E为坐标原点，令x1向左为正，并以x1表示单位荷载FP=1所在位置到原点E的坐标值今取截面E以左的梁段为分离体当荷载FP=1在截面E以右的梁段上移动时，有,ME=0，FQE=0,第二节 用静力法作简支梁的影响线,当荷载FP=1在截面E以左的梁段上移动时，有,ME=－x1， FQE=－1,由此即可画出ME的影响线和FQE的影响线如图13-4f、g所示第二节 用静力法作简支梁的影响线,第二节 用静力法作简支梁的影响线,由以上的例题可以看出，对外伸梁来说，在画任意一约束力或者中间简支梁段内任意一横截面的内力影响线时，只要先作出无伸臂简支梁的影响线，然后将其影响线向伸臂部分延长即可在画伸臂段上任意截面某内力的影响线时，只须在该截面以外的伸臂部分作出影响线，而在该截面以内的其他部分上，其影响线竖标均等于零第二节 用静力法作简支梁的影响线,第三节 简支梁的最不利荷载位置,在工程结构的设计中，时常要求出量值的最大值Smax和最小值Smin作为设计的依据。
对此，就面临着两个必须先解决的问题，即当实际移动荷载在结构上的位置为已知时，第一是如何利用量值的影响线来求出该量值S的数值；第二是如何利用量值的影响。