2000-2013年考研数学三历年真题

12000 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题2二、选择题3456789102001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题11二、选择题12131415161718192002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题20二、选择题212223242526272003 年考研数学（三）真题一、 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）设 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是,0,1cos)(xxf若若 _____.（2）已知曲线 与 x 轴相切，则 可以通过 a 表示为 ________.bay23 2b2b（3）设 a>0， 而 D 表示全平面，则，gxf其 他若 ,10,)(=_______.DdygfI)(（4）设 n 维向量 ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵0,),0(aaT， ，TEAB1其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=______.（5）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 ，则 Y 与 Z 的相关系数4.0XZ为________.（6）设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， 为来自总体 X 的简单随机n,,21样本，则当 时， 依概率收敛于______.nniiY1二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 存在，则函数)0(f xfg)((A) 在 x=0 处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x=0.(C) 在 x=0 处右极限不存在. (D) 有可去间断点 x=0. [ ]（2）设可微函数 f(x,y)在点 取得极小值，则下列结论正确的是),(0yx(A) 在 处的导数等于零. （B） 在 处的导数大于零.),(0yxf0),(0yxf0(C) 在 处的导数小于零 . (D) 在 处的导数不存在.[ ]（3）设 ， ， ，则下列命题正确的是2nnap2naq,1(A) 若 条件收敛，则 与 都收敛.1n1np1nq28(B) 若 绝对收敛，则 与 都收敛.1na1np1nq(C) 若 条件收敛，则 与 敛散性都不定.1n1n1n(D) 若 绝对收敛，则 与 敛散性都不定. [ ]1na1np1nq（4）设三阶矩阵 ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有abA(A) a=b 或 a+2b=0. (B) a=b 或 a+2b 0.(C) a b 且 a+2b=0. (D) a b 且 a+2b 0. [ ]（5）设 均为 n 维向量，下列结论不正确的是s,,21(A) 若对于任意一组不全为零的数 ，都有 ，sk,21 021sk则 线性无关.s,,21(B) 若 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 ，都有s sk,21.021skk(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.s,,(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]s21（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： ={掷第一次出现正面} ， ={掷第二1A2A次出现正面}， ={正、反面各出现一次}， ={正面出现两次} ，则事件3A4(A) 相互独立. (B) 相互独立. 21, 432,(C) 两两独立. (D) 两两独立. [ ]3 A三、 （本题满分 8 分）设).1,2[,)1(sin1)( xxxf试补充定义 f(1)使得 f(x)在 上连续.],2[29四 、 （本题满分 8 分）设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，又122vfu,求)](21,[),(2yxfyxg.2ygx五、 （本题满分 8 分）计算二重积分.)sin(2)(2dxyeIDyx其中积分区域 D= }.,{30六、 （本题满分 9 分）求幂级数 的和函数 f(x)及其极值.12)1()(nnx七、 （本题满分 9 分）设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x)在 内满足以下条件：),(， ，且 f(0)=0, )(xgf )xf .2)(xegxf(1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出 F(x)的表达式.八、 （本题满分 8 分）设函数 f(x)在[0，3]上连续，在（ 0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 ，使)3,0(.)(f31九、 （本题满分 13 分）已知齐次线性方程组,0)(,)(,0)(321321 nnxbaxaxbxaxa  其中 试讨论 和 b 满足何种关系时，.01nian,(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系 .十、 （本题满分 13 分）设二次型，)0(2),( 31321321 bxxaAXxfT中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12.(1) 求 a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.32十一、 （本题满分 13 分）设随机变量 X 的概率密度为;],81[,03)(2其 他若 xxfF(x)是 X 的分布函数. 求随机变量 Y=F(X)的分布函数.十二、 （本题满分 13 分）设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为，7.0321~而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u).332004 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 若 ，则 ______， ______.0sinlmco5xbeaab(2) 函数 由关系式 确定，其中函数 可微，且,fuv,fxgyxgygy，则 ______.0gy2(3) 设 则 _____.21,,2,,xef1fxd(4) 二次型 的秩为______.222123131,fxx(5) 设随机变量 服从参数为 的指数分布，则 ______.XPXD(6) 设总体 服从正态分布 ，总体 服从正态分布 ，21,NY2,N和 分别是来自总体 和 的简单随机样本，则112,,nX 2,nY______.12212ni ji jXE二、选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 函数 在下列哪个区间内有界.2sin1xf（A） （B） （C） （D）1,00,1,2,3(8) 设 在 内有定义，且 ， 则fx,limxfa1,0,fxgx34（A） 必是 的第一类间断点 （B） 必是 的第二类间断点0xgx0xgx（C） 必是 的连续点 （D ） 在点 处的连续性与 的值a有关.(9) 设 ，则1fx（A） 是 的极值点，但 不是曲线 的拐点0f0,yfx（B） 不是 的极值点，但 是曲线 的拐点xx（C） 是 的极值点，且 是曲线 的拐点f,yfx（D） 不是 的极值点， 也不是曲线 的拐点0xx0(10) 设有以下命题：① 若 收敛，则 收敛21nu1nu② 若 收敛，则 收敛1n10n③ 若 ，则 发散limnu1nu④ 若 收敛，则 ， 都收敛1nv1na1nv则以上命题中正确的是（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④(11) 设 在 上连续，且 ，则下列结论中错误的是fx,ab0,fafb（A）至少存在一点 ，使得0,x（B）至少存在一点 ，使得x0ff（C）至少存在一点 ，使得0,abx（D）至少存在一点 ，使得x0f(12) 设 n 阶矩阵 与 等价，则必有AB35（A）当 时， （B）当 时，0aa0AaBa（C）当 时， （D）当 时，B(13) 设 n 阶矩阵 的伴随矩阵 ，若 是非齐次线性方程组 的A*01234,Axb互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 的基础解系Ax（A）不存在 （B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量 （D）含有三个线性无关的解向量(14) 设随机变量 服从正态分布 ，对给定的 ，数 满足X0,1N0,1nu，若 ，则 等于PXuPx（A） （B） （C） （D ）212u12u1u三、解答题：本题共 9 小题，满分 94 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 8 分）求 .2201coslimsnxx（16） （本题满分 8 分）求 ，其中 是由圆 和 所围成的平2DxydD24xy21xy面区域（如图）. （17） （本题满分 8 分）设 在 上连续，且满足,fxg,ab36， ，xxaaftdgt,abbb证明： .baaxfx（18） （本题满分 9 分）设某商品的需求函数为 ，其中价格 ， 为需求量.105QP0,2Q（Ⅰ）求需求量对价格的弹性 ；dE（Ⅱ）推导 （其中 为收益），并用弹性 说明价格在何范围内变dRPRdE化时，降低价格反而使收益增加.（19） （本题满分 9 分）设级数 的和函数为 .求：468224xxx Sx（Ⅰ） 所满足的一阶微分方程；S（Ⅱ） 的表达式.x37（20） （本题满分 13 分）设 ， . 123,0,1,,1,2,TTTaba1,3T试讨论当 为何值时，ab（Ⅰ） 不能由 线性表示；123,（Ⅱ） 可由 唯一地线性表示，并求出表示式；（Ⅲ） 可由 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式 .123,（21） （本题满分 13 分）设 n 阶矩阵 .1bA（Ⅰ）求 的特征值和特征向量；（Ⅱ）求可逆矩阵 ，使得 为对角矩阵.P1A38（22） （本题满分 13 分）设 为两个随机事件，且 ，令 ,A。