2.2 传递函数,一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参数，而与外部施加的信号无关因而，对于一个控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析2.2.1 传递函数的定义和性质,传递函数 是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或元件输入、输出关系的函数它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数变化对系统响应的影响零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，记为G(s)，即：,意义：,一、定义,线性定常系统微分方程式的一般表达式可写为,二、传递函数的求法,零初始条件下,输入量r(t)的拉普拉斯变换为R(s)=L[r(t)]、输出量y(t)的拉普拉斯变换为Y(s)=L[y(t)]对上式两边同时进行拉普拉斯变换,可得,,,,,,,,则有,令,可得出输出量的拉氏变换,当传递函数和输入已知时，通过拉氏反变换可求出时域表达式 y(t)三、传递函数的性质,传递函数只适用于零初始条件下的线性定常系统它与线性常系数微分方程一一对应且与系统的动态特性一一对应传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。
物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统[例]求电枢控制式直流电动机的传递函数方程两边求拉氏变换为：,令 ，得转速对电枢电压的传递函数：,令 ，得转速对负载力矩的传递函数：,最后利用叠加原理得转速表示为：,[解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：,1）实际系统传递函数中，分母多项式的阶数 总是大于分子多项式的阶数 ，即 四、传递函数的一般表达式,1、定义的形式,2）分母的阶数： 阶系统,说明：,3）分子分母都是 的有理多项式2、零极点形式,上式中 Kg ──零极点形式传递函数的根轨迹增益 ； -zi ──分子多项式M(s)=0的根，称为零点； -pj ──分母多项式N(s)的根，称为极点。
N(s)=0是控制系统的特征方程式－zi、－pj可为实数、虚数、或复数若为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭复数3、典型环节的形式（时间常数形式）,上式中 τi──分子各因子的时间常数 ； Tj──分母各因子的时间常数 ； K ──时间常数形式传递函数的增益； 通常称为传递系数例2.2.1】求【例2.1.1】推出的机械平动系统微分方程 的传递函数,解：在零初始条件下，对上式两端分别求拉氏变换,五、举例,【例2.2.2】求图示电路的传递函数 解：电路总阻抗为,则,,2.2.2 典型环节及其传递函数,一个系统可看成由一些环节组成的，可能是电气的，机械的，液压的，气动的等等尽管这些系统的物理本质差别很大，但是描述他们的动态性能的传递函数可能是相同的如果我们从数学的表达式出发，一般可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典型环节的传递函数来，以便于分析及研究复杂的系统 控制系统中常用的典型环节有，比例环节、惯性环节、 微分环节、 积分环节和振荡环节等以下介绍这些环节的传递函数及其推导一、比例环节,微分方程：,传递函数：,方框图：,特点：输出量与输入量成正比，并且同步变化，不失真也不延时。
举例：这种类型的环节很多，机械系统中略去弹性的杠杆、作为测量元件的测速发电机(输入为角速度，输出为电压时)以及电子放大器等，在一定条件下都可以认为是比例环节例2.2.3】如图a所示的电压分压器即为一典型比例环节，当输入量r(t)为阶跃变化信号时，输出量y(t)的变化如图b所示二、 惯性环节,一阶微分方程：,传递函数：,方框图：,特点：惯性环节的特点是其输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟其中时间常数越大，环节的惯性越大，则延迟的时间也越长在单位阶跃输入信号的作用下，惯性环节的输出信号是指数函数当时间t=(3~4)T时，输出量才接近其稳态值例2.2.4】一阶惯性环节的输入信号为单位阶跃信号，其拉普拉斯变换 ，求输出量 解：,三、 积分环节,微分方程：,传递函数：,方框图：,特点：输出正比于输入对时间的积分例2.2.5】如图所示积分调节器电路，在单位阶跃输入信号作用下，求输出量 解：输入为阶跃信号时，,输出量随时间成正比地无限增加,四、 振荡环节,微分方程：,传递函数：,方框图：,,振荡环节阶跃响应,特点： 1、含有两种形式的储能元件，并能将储存的能量相互转换。
如动能与位能、电能与磁能间转换 2、能量转换过程中使输出产生振荡例2.2.6】弹簧—质量—阻尼系统,由【例2.1.1】可得出其微分方程为,它的传递函数为,,五、 微分环节,微分方程：,(1) 理想微分环节,传递函数：,纯微分环节,纯微分电路,特点：输出反映了输入的变化率，即输入变化的激烈程度,式中， 为微分时间常数,(2)实际微分环节,微分方程：,传递函数：,当τ1时，才近似为纯微分环节实际微分电路,(3)其它微分环节,一阶微分环节,微分方程：,传递函数：,其中，,二阶微分环节,微分方程：,传递函数：,这些微分环节的传递函数没有极点，只有零点纯微分环节的零点为零，一阶微分环节和二阶微分环节的零点分别为实数和一对共轭复数微分方程：,传递函数：,六、 延迟环节,方框图：,将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数：,当延迟时间很小时，可近似为惯性环节：,特点： 1、输出和输入相同仅延迟时间τ；不失真 2、与其他环节同时存在人体、计算机系统、液压机械传动、气动传动 原因：延时效应信号输入环节后，由于环节传递信号的速度有限输出响应要延迟一段时间τ才能产生说明: （1）对应同一元件（或系统），可以取不同的量作为输出量和输入量，所得到的传递函数是不同的。
（2）对于复杂的控制系统，在建立系统或被控对象的数学模型时，将其与典型环节的数学模型对比，即可知其由什么样的典型环节组成由于典型环节的动态性能和响应是已知的，因而给分析、研究系统性能提供很大的方便 （3）典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。