第第5章章实二次型实二次型本章重点：二次型的矩阵表示和二次型的秩；合同矩阵和合同变换；实二次型化为标准形的方法（正交变换法；同型行、列初等变换法和配方法）；惯性定理和实二次型的规范形；以及正定二次型和正定矩阵的概念和判别方法5.1 二次型的定义和矩阵表示二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵合同矩阵 其中系数是数域F 中的数，叫做数域F上的n 元 二次型（简称二次型）实数域上的二次型 简称实二次型定义定义5.1 n元变量x1,x2,xn的二次齐次多项式5.1.1 二次型的定义和矩阵表示二次型的定义和矩阵表示如果令aji = aij (1i0(i=1, p, p+1, ,p+q; p+qn )，则正平方项的个数 p 和负平方项的个数 q 是由A 唯一确定的证证 由秩(A)=秩(CT A C)= p+q, 知 p+q=r 由A唯一确定.下面证明p由A唯一确定设实二次型 f=xTAx 作线性变换 x=By 和x=Cz (1) (B,C都可逆)分别使之化为标准形, f= b1y12+ bp yp2 bp+1 yP+12- br yr2. (2) f =c1 z12+ ct zt2 ct+1 zt+12 cr zr2. (3)(bi, ci0, i=1, ,r).下证: p=t用反证法：假设 pt，由x=By 和x=Cz 得：f= b1y12+ +bt yt2+bt+1yt+12+ + bpyp2 bp+1yP+12 br yr2 = c1z12+ ct zt2 ct+1 zt+12 cp zp2 cp+1 zp+12 cr zr2(5)为了从(4)式中找到矛盾， 令 z1=z2=zt=0, yp+1=yn=0，代入(5)得到 y1, y2,yn 的方程组：(6)齐次线性方程组(6)有 n个未知量，但方程个数 =t+(n p)=n (p t)0 (7) 将(6)的非零解代入(5)式得到 z1,zt,zn 的一组值（其中 z1=z2=zt=0），将它们再代入(4)式，又得 f= ct+1 zt+12 cp zp2 cr zr20,(8) (7),(8)二式显然是矛盾的，故假设的pk不能成立，必有p t. 齐次线性方程组(6)有n个未知量，但方程个数0(i=1, ,p+q). 取可逆阵C2则则 CTA C= diag(1, ,1, 1, ,1, 0,0)推推论论2 实对称矩阵正惯性指数p就是矩阵正特征值的个数，负惯性指数q就是矩阵负特征值的个数。
推论推论3 全体n阶实对称矩阵按其合同规范形分类（不考虑+1，1, 0 的排列次序）可以划分为为(n+1)(n +2)/2 类注意：一个实对称矩阵A的相合规范形是唯一的.因为秩r=0时，有1类； r =1时，有2类； r =2时，有3类; ， r=n时，有 n+1类.共有 1+2+3+ +（(n+1)类.推论推论1 两个n阶实对称矩阵A和B相合的充分必要条件是它们有相同的规范形,或它们的正、负惯性指数分别相等，或它们的 正惯性指数与秩分别相等；5.4 5.4 正正(负)定二次型和正定二次型和正(负)定矩阵定矩阵 在多元微积分中我们知道二元函数在点（0，0）是否有极大(小)值，就是看它在（0，0）的邻域内是否恒正(负)一般n元二次型是否恒正(负)的问题，就是二次型的正(负)定问题 定义定义5.5 如果n元实二次型 f(x1,x2,xn)=xTAx，x= (x1,x2,xn )0 (xRn)，恒有 xTAx 0 （0 (i=1,2, n). 充分性是显然的，可用反证法证明必要性：设存在 di0，取 xi=1, xj=0 (ji)，便有f (0,0,1,0,0)= di0. 这与二次型正定相矛盾。
n元实正定二次型的规范型是=规范型的矩阵是单位矩阵I.由此得到：由此得到：若A合同于对角矩阵 CT A C= diag(d1, d2,dn ) ，则由 di 0 （i=1,2, ,n）即可判别A为正定矩阵证 y00，有 x0=Cy00，否则 x0=0，y0=C1x0 =0 ， 于是由 f=xTAx 的正定性，即得 f =y0T(CTAC)y0=x0TAx00.故(CTAC) 是正定矩阵，y0T(CTAC) y0 是正定二次型.(2) 二次型经过可逆的线性变换 x=Cy ，化为 yT(CTAC) y，其正定性不变 定理定理5.4 对于n阶实对称矩阵A，下列命题等价： (1) xT A x 是正定二次型（或A 是正定矩阵）； (2) A 的正惯性指数为n ，即A I； (3) 存在可逆矩阵P，使得 A =PTP； (4) A 的n个特征值1, 2,n 都大于零 证 (1)(2) 即对正定二次型xTAx 作坐标变换所化成的相合规范形必为 xTAx =y12+y22+yn2. 即 p=n 且 A I.I. 证证 (2)(3) 存在可逆阵C使得CTAC=I，得A=(C T)1 C 1, 令P= C 1，则 P T=(C T)1, 于是, A= P T P 。
(3)(4) 设Ax =x (x 0)得 (PT P) x = x ,从而有xT PTPx = xTx . 即 (Px , Px )= (x , x ).由P 是可逆矩阵和 x 0, 得 Px 0，特征值 (4)(1) 对于n元实二次型 xTAx ，存在正交变换x =Q y, 使得xTAx =1y12+ 2y22+ nyn2. 由1,n 都大于零，即得 xTAx 是正定二次型 (3) 存在可逆矩阵P，使得A = PT P ； (4) A的n个特征值1, 2,n都大于零 例例5.8 证明：若A是正定矩阵，则A1也是正定矩阵 证证 正定矩阵是满秩的实对称矩阵，所以， A可逆，且(A1)T=(AT) 1= A1，即A1 也是实对称矩阵证A1正定: 法法：用定义对二次型 xT A1x 作坐标变换 x = A y ，得 xT A1x = yT AT A1 Ay = yT A y由 yT A y正定，可知 xTA1x 也正定，故A1是正定矩阵 法法：由A I, 即存在可逆阵C使得CT A C=I, 两边求逆,得 (C1) A1(C1)T=I , 即 DT A1D=I (其中D= (C1)T可逆) , 故 A1 I，因此A1是正定的。
法法：由A正定, 存在可逆阵P, 使得A = PT P,于是A1= P1(P1)T= ST S (其中S=(P1)T可逆）,因此A1 也正定 法法：设Ax =x (x 0)得A1 x = 1 x (x 0)由于A的n个特征值都大于零，所以A1的n个特征值1也都大于零故A 1正定例例5.9 判断三元二次型,显然f (x1, x2, x3)0，等号成立当且仅当解法解法：用配方法得的特征多项式 I A=( 1)( 1)2 1/2， 特征值是否是正定二次型解法解法：二次型的对应矩阵都大于零，所以二次型正定从而判定 f(x1, x2, x3) 是正定的解法解法3 利用同型行、列初等变换化A为对角形 得到A的正惯性指数为3，所以二次型正定 定理定理5.5 若n元二次型 xTAx 正定，则(1) A的主对角元aii 0 (i=1,2,n)；(2) A 的行列 detA 0 证证 (1) 因 xTAx 正定，取第i个分量xi=1,其余分量=0的向量， xi=(0,0,1,0,0 ) ，则有 xiTAxi =aiixi2=aii0 (i =1,n) (2) 因A正定，存在可逆矩阵P，使得A= PT P ，从而 A=PTP =P 20, 或根据正定矩阵A的特征值都大于零，得A=12n0。
根据定理，A, B, C都不是正定的A= 0； B中 b220 ;C0 (k=1,n)必要性得证对一切 xk 0成立故x1,xk 的k 元二次型由于C12 A= An-1 b 0, An-10，即得 b0取于是，假设充分性对n 1元二次型成立；对n元二次型将A分块为其中 =(a1n,a2n,an-1,n)T.根据定理5.4，只需证明 A I.#充分性充分性 对n作数学归纳法当n =1时，a110, xTAx = a11x120 (x10 ). 故充分性成立根据归纳假设, An-1 正定，故存在 n1阶可逆矩阵 G，使得再取 用定理5.6 判别例5.9中A的正定性，其中所以A是正定的故 A I，A正定 定理定理5.7 设A为n阶实对称矩阵，则下列命题 等价： (1) xT A x 是负定二次型（或A是负定矩阵）； (2) A的负惯性指数为n，即A I； (3) 存在可逆矩阵P，使得A= PTP； (4) A的n个特征值1, 2,n都小于零 (5) A的奇数阶顺序主子式都小于零；偶数阶顺序 主子式都大于零证证 因为A负定 A正定 例例5.10 设A是n阶实对称正定矩阵，则存在正定矩阵B，使A=B2. 证证 因为A正定，存在正交阵Q（ QT Q =I），使得QTAQ=diag(1,2,n) (i0, i=1,2,n).所以， A = Q(diag(1,2,n) QT。
则则 A = B2 B的特征值都大于0，所以B正定 B通常记作定义定义5.6 如果 x =(x1,xn)T0，恒有二次型 xTAx 0 （0 ）, 且存在一个 x0 0，使得x0TAx0=0， 则称 xTAx 为半正定（半负定）二次型，A为半正定(半负定)矩阵 正定、半正定、负定、半负定二次型统称为有定二次型不是有定的二次型，就称为不定二次型 二次型作坐标变换, 正(负)定性, 半正(负)定性及不定性都不变. (3) 存在非满秩矩阵P，使得A= PTP；(4) A的n个特征值1, 2,n都大于等于零，且 至少有一个等于零;(5) A的各阶主子式0，且至少有一个主子式等于零定理定理5.8 设A为n阶实对称矩阵，则下列命题等价： (1) xTA x 是半正定二次型（或A是半正定矩阵）； (2) A的正惯性指数=r(A)=r0, 20, 1 2 时为椭圆，1= 2时为圆； (2) 120或2=0, 10 时为两条平行直线; (4) 1 0, 2 0 时，任何( x1, y1)T 都不满足方程，所以方程没有图形在3空间中，要判别一般二次方程的曲面类型，需要作正交变换 x=Qy，（坐标系的旋转）将二次多项式部分化为平方项之和，若方程中还含有一次项，也要做相应的变换，然后再做坐标平移变换，将其化为标准方程。
正交变换是保持向量长度和向量之间夹角不变的变换 作正交变换x=Q y, 其中x= ，y = ，化为依特征值 1，2，3的符号，曲面可以分类如下：例例5.13 在3空间中，下列方程表示什么曲面？解(1) 若 1，2，3 全为正数，则上式是椭球面方程（1=2=3 时 是半径为 的球面方程）；（2） 若 1，2，3中 10, 20, 30, 20，30, 20时，方程可表示为图形为母线平行于z轴的椭圆柱面（1= 2时为圆柱面）; 当10，20, 20,30, 方程可表示为例例5.14 已知方程中的二次型的正、负惯性指数为p=2, q=1. 试问在3中，它表示什么曲面？其图形为椭圆锥面（若1=2(即a=b)时为圆锥面）. 例例 5.15 方程 x y + y z+ z x=0 表示什么曲面？解解 作正交变换 x=Q y, 其中 x= ，y = ，将方程左边的二次型化为标准形，得到容易看出方程是顶点在原点,以Ox1为对称轴的圆锥面的方程 *例例5.16 已知二次曲面经x= P y （其中y =(，)T， PT= P1)化为可以经过正交变换 化为椭圆柱面方程求a, b的值和矩阵P解解 二次曲面xTAx=4，其中x=(x, y, z)T, xTAx=(Py)TA P y yT y=。
A ，其中 = diag (0, 1, 4), trA=1+a+1= tr =0+1+4 , detA= (b1)2= det =0, 得a=3, b=1. 相似矩阵有相同特征值，相同的迹和相同的行列式正交变换x= P y 将二次曲面方程化为椭圆柱面的标。