第十九讲计数综合提高上 一、 枚举法 . 1、简单枚举 . 2、分类枚举 . 3、特殊的枚举：标数法、树形图. 二、 加法原理一一分类 如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法 数相加就得到所有的方法数. 加法原理的类与类之间会满足下列要求： (1) 只能选择其中的某一类，而不能几类同时选； (2) 类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求. 三、 乘法原理一一分步 如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方 法数相乘就得到所有的方法数. 乘法原理的步与步之间满足下列要求： (1) 每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论； (2) 步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步，，直到最后 . 四、 排列：从 m 个不同的元素中取出门个(n m), 并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从 m 个不同元素中取出n 个的排列数，记作A，它的计算方法如下： 从 m 开始 递减地连乘n 个数 _ Am m (m 1) (m n 1) 五、 组合：从 m 个不同元素中取出门个( n m ) 作为一组 ( 不计顺序 ) ，可选择的方法数叫做从 m 个 不同元素中取出n 个不同的组合数，记作cm，它的计算方法如下： Am m m 1 L L m n 1 尺n__m__T!__ 23 六、一些好用的计数技巧和方法： 1. 捆绑法：对于要求必须站在一起的人，可以采用事先捆绑的方法来处理. 2. 插空法：对于不能相邻的情况，先把其他人先排好，再把不能相邻的人插入其他人之间的 空隙中 . 3. 有重复数字的数字排列问题，可以用“数字挑位置”的方法解决. 4. 数字 0 不能作为多位数的首位，在计数时需要特别注意. 5. 对挑出的对象有特殊要求的计数问题，一般来说要优先考虑有特殊要求的对象或位 置，尽可能地让余下的对象或位置的确定变得简单. 6. 当满足要求的情况很多时，可以尝试用排除法计算不满足要求的情况，再从所有可 能的情况中排除不满足要求的，也能得到问题的答案. 例 1 .某人射击 8 枪，命中 4 枪，命中的 4 枪中恰好有 3 枪连在一起的情况有多少种？ 分析首先仔细思考一下命中的4 枪之间是否有顺序区别？然后确定其中3 枪连在起的位 置选择有多少种情况？ 练习 1、在由 1 和 2 组成的六位数中（例如112111 、111111 等），恰好有3 个 1 连在一 起的六位数有多少个？ 例 2. 一种电子表在6 时 24 分 30 秒的显示为 6:24:30 , 那么从 6 时到 7 时这段时间里，此表的 5 个数 字都不相同的时刻一共有多少个？ 分析分钟的十位和秒钟的十位可能性比较少，所以，应优先确定. 练习 2、现在我们规定一种记日期的方式，把“2012 年 05 月 12 日写作“ 120512 ”, 即只需写出后面六位数，那么在2013 年有多少天按这种计数方式写出的六位数六个数 字互不相同？ 例 3纳达尔和费德勒进行网球比赛，谁先得6 分就赢得此局，最后费德勒在第一局6:4 获 注意：几个常用公式: cm m ； cm i ； cm m n c m ；cm cm cm L cm 2 m 胜，已知在过程中费德勒从未落后过，那么比赛过程一共有多少种不同的可能？ 分析大家还记得最短路线问题中曾经学习过的标数法吗？ 练习 3、皇马和巴萨两队进行足球比赛，最后皇马5:3 获胜，已知在过程中皇马从未落 后过，那么进球过程一共有多少种不同的可能？ 例 4小王左口袋里有10 张黑卡片，分别写着1 到 10，右口袋里有10 张红卡片，也分别写着 1 到 10他从两个口袋里各取出一张卡片，然后计算两张卡片上数的乘积，如果乘积恰好是6 的倍数，那么共有多少种不同的取法？ 分析两个数的乘积是6 的倍数这两个数需要符合什么要求？ 练习 4、小高有12 个黑球，分别写着1 到 12，还有10 个红球，分别写着1 到 10他 从两 个种球里各取出一个，然后计算两球上数的乘积，如果乘积恰好是10 的倍数，那么共有多少种 不同的取法？ （注：此题中6 不能倒过来当9 用， 9 也不能倒过来当6 用） 例 5. NBA 总决赛在洛杉矶湖人和波士顿凯尔特人队之间进行，比赛采用 7 局 4 胜制，比赛 分为主场和客场，第 1，第 2，第 6，第 7 场均在洛杉矶进行，第 35 场在波士顿进行最 终湖人队在自己的主场获得总冠军，那么比赛中的胜负结果有多少种可能？ 分析由7 局 4 胜制及主场获胜两个要求你可得出什么？通过分析寻找一下解决这道题目的 突破口 . 例 6. 各位数字均不大于5，且能被99 整除的六位数共有多少个？ 分析99 的整除特性是什么，在这道题目中任何应用？ 年龄“外号”知多少 总角：指童年 . 语出诗经，如诗?卫风?氓“总角之宴” . 垂 髫：指童年 . 古时童子未冠，头发下垂，因而以”垂髫”代指童年. 束发：指青少年 . 一般指15 岁左右，这时应该学会各种技艺. 及笄：指女子15 岁. 语出礼记？内则 女子 . .. 十有五年而笄”. “笄”，谓结发而用笄贯之，表示已到出嫁的年岁. 待年：指女子成年待嫁，又称“待字”. 弱冠：指男子20 岁. 语出礼记 ?曲礼上“二十曰弱，冠” . 古代男子 成年. 而立：指30 岁. 语出论语 ?为政“三十而立” . 以后称三十岁为“而立 不惑：指40 岁. 语出论语 ?为政“四十而不惑” . 以后用“不惑”作 艾： 指 50 岁. 语出礼记 ?曲礼上“五十曰艾” . 老年头发苍白如艾. 20 岁行冠礼，表示已经 之年. 40 岁的代称 . 花甲：指60 岁. 作业 1. 8 个同学排成一排照相，其中4 个人要站在一起，共有多少种站法？ 2. 甲、乙队之间进行篮球比赛，比赛采用7 局 4 胜制，等比到第6 场就分出了胜负，甲赢 得了比赛，那么有多少种可能？ 3. 甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，4 个人看也不看就随便各拿了1 本， 那么至 少有一人拿错有多少种可能？ 4. 小明左口袋里有8 张红卡片，上面写着1 到 8，右口袋里有8 张黑卡片，上面也写着1 到 8， 如果从两个口袋里各取出一张卡片，然后计算得到卡片上两数的乘积，那么能被 6 整除的乘积共有多少个？（6 不能倒过来当9 用） 5. 各位数字均不大于4，且能被99 整除的六位数共有多少个？ 第十九讲计数综合提高上 例 7.答案： 20 详解：分情况讨论，如果第1 到 3 枪命中，第 4 枪有 4 种方法；第 2 到 4 枪命中，最后一枪有 3 种可能； 3 到 5 命中，有 3 种； 4 到 6 命中，有 3 种； 5 到 7 命中， 3 种；6 到 8 命中， 4 种. 共 20 种情况 . 例&答案： 1260 详解：从右边数第二位和第四位上的数字可取0 到 5，第一位和第三位上的数字可取0 到 5 或 7 到 9 . 乘法原理可知答案为1260 . 例 9.答案： 42 详解：画一个6 4 的表格，则答案就是在虚线以下部分， 从 A 到 B 例 10 . 答案： 35 详解：分五类讨论，（1）黑卡和红卡都是6 的倍数，此时有1 种取法；（ 2）黑卡是 6 的倍数而 红卡不是6 的倍数，此时有9 种取法；（ 3）红卡是 6 的倍数而黑卡不是6 的倍 数，此时有 9 种 取法；（ 4）黑卡上的数字是3 或 9, 红卡上的数字是2、4、8 或 10, 此 时有 8 种取法；（ 5）红卡上的数字是3 或 9, 黑卡上的数字是2、4、8 或 10, 此时有 8 种取法 . 所 以共有35 种取法 . 例 11 . 答案： 30 详解：湖人在主场获得胜利，则最少打了6 场，即可分两种情况讨论：（1）打了6 场， 则湖 人在前 5 场中输了2 场，5 选 2, 有 10 种可能；（ 2）打了7 场，则湖人在前6 场中 输了 3 ,B / r Z / 1 / 的方法数，注意最右面一列不标数，因为有人达到 标数，得到答案为42. A 6 分比赛即结束 , 场，6 选 3, 有 20 种可能 . 所以共有30 种可能 . 例 12 . 答案： 575 解法：设六位数为abcdef ，由其可被 99 整除且各位数字不大于5，可知 Ob cd ef 99 , 则 a ce 9 且 bdf 9 , 9 5 40 5 31522441432333 ，所以a、c、e 有 23 种可 能（只有a 不能是0), b、d、f 有 25 种可能，所以共有23 25 575 个符合要求的六位 数. 练习 1、答案： 12 简答：前 3 位是 1, 有 4 种；2 到 4 位是 1，有 2 种；3 到 5 位是 1，有 2 种；4 到 6 位 是 1，有 4 种?所以共12 种. 练习 2、答案： 30 简答：千位（表示月份的十位）只能是0，十位只能是3，其它两个数字共30 种情况 . 练习 3、答案： 28 简答：题目可转化为如右图由A 到 B 点共有多少种最短的走法，且 必须沿着虚线右下方的边走. 由标数法可知共有28 种可能 . 练习 4、答案： 30 简答：黑球数为10 时，任意红球均可，红球为10 时，任意黑球均可，除去红10 黑 10 重复的情况，共有21 种取法，另一类情况是一个球提供质因数2, 另一个球提供质因 数 5，共有 4+5=9 种取法，所以，本题共有21+9=30 种不同取法 . 作业 1. 答案： 2880 简答：把要站在一起的4 个人捆绑在一起，由乘法原理可知共有A A4 2880 种站法 . 2. 答案： 10 简答：甲在第6 场取得胜利，则甲赢了第6 场且在前 5 场中赢了3 场，即五选三的问题，共有 10 种可能 . 3. 答案： 23 简答：共有 4!种情况，减去全拿对的1 种情况，则符合要求的情况有23 种. 4. 答案： 21 简答：按照例4、练 4 的方法详解即可 . 5. 答案： 100 简答：设六位数为abcdef ，由其可被99 整除且各位数字不大于4, 可知 ab cd ef 99 , 则 a c e 9 且 b d f 9 , 9 4 4 1 4 3 2 3 3 3 ，所以 a、c、e 有 10 种可能， b、d、f 也有 10 种可能，所以共有 10 10 100 个符 合要求的六位数 . 。
