第14章 非线性电路,14.1 非线性电路元件 （R ,L ,C 的基本特性),14.2 分析非线性电阻电路的图解法（图解法）,14.3 分段线性化方法 （近似法）,14.4 小信号分析法 （近似法）,14.5 牛顿拉夫逊法 （数值法）,14.7 求解自治电路的分段线性法,14.6 非线性动态电路状态方程的列写,14.1 非线性电路元件,一、非线性电阻元件,线性电阻元件的伏安特性满足欧姆定律电阻值大小与u、i 无关（R为常数），其伏安特性为一过原点的直线线性电阻的u、i 关系与方向无关 线形电阻元件,非线性电阻元件的伏安特性不满足欧姆定律，而遵循某种特定的非线性函数关系其阻值大小与u、i 有关，伏安特性不是过原点的直线非线性电阻元件的图形符号与伏安函数关系:, 非线性电阻元件,压控电阻的伏安特性呈“N”型隧道二极管( 单极晶体管 )具有此伏安特性对每一电压值有唯一的电流与 之对应，对任一电流值则可能有多个电压与之对应(不唯一)电阻两端电流是其电压的单值函数2 压控电阻：,“S”型和“N”型电阻的伏安特性均有一段下倾段，在此段内电流随电压增大而减小u、i 关系具有方向性PN结二极管具有此特性。
u、i 一一对应，既是压控又是流控伏安特性单调增长或单调下降3 单调型电阻：,其伏安特性可用下式表示：,其中： Is ------- 反向饱和电流 ( 常数 ), 非线性电阻的静态电阻 Rs 和动态电阻 Rd,静态电阻:,动态电阻:,对“S”型、“N”型非线性电阻，下倾段 Rd 为负， 因此，动态电阻在这些阶段具有“负电阻”性质1) P点位置不同时，Rs 与 Rd 均变化说明：, 非线性电容元件的库伏特性遵循某种特定的非 线性函数关系其库伏特性不是过原点的直线非线性电容元件的图形符号与库伏函数关系:,二、非线性电容元件,非线性电容的静态电容 Cs 和动态电容 Cd,静态电容:,动态电容:,非线性电感元件的韦安特性遵循某种特定的非 线性函数关系其韦安特性不是过原点的直线非线性电感元件的图形符号与韦安函数关系:,三、非线性电感元件,非线性电感的静态电感 Ls 和动态电感 Ld,静态电感:,动态电感:, 非线性电感的韦安特性曲线,非线性电感亦有单调型，但大多数实际非线性电感元件都包含由铁磁材料所做成的铁心，由于铁磁材料存在磁滞现象，因此对应的韦安特性曲线都具有如图所示的回线形式这种电感既不是链控型也不是流控型非线性电感。
14.2 分析非线性电阻电路的图解法,一、简单串并联非线性电阻电路的图解法, 非线性电阻的串联,,,,在每一个 i 下，图解法求 u ，将一系列 u、i 值连成曲线即得串联等效电阻 (仍为非线性)两个流控非线性电阻串联的等效电阻仍为流控非线性电阻 非线性电阻的并联,,如果串并联电路由压控型非线性电阻和流控型非线性电阻构成，则等效非线性电阻的伏安特性既可能是电压的多值函数也可能是电流的多值函数在每一个 u 下，图解法求 i，将一系列 i、u值连成曲线即得其特性曲线 (仍为非线性)二、非线性电阻电路静态工作点的图解法,, ab 以左部分为线性电路，其,其特性为经过点A、B的一条直线关系为, ab 右边为非线性电阻， 其伏安特性为,曲线如图所示两曲线交点坐标,即为所求解答14.3 分段线性化方法,特点：将非线性电路元件的特性曲线进行分段线性化处理后，将非线性电路的求解过程分成若干个线性区段来进行对每一个线性区段，确定出对应的等效电路后， 就可应用线性电路的分析方法求解，从而求得非线 性电路的近似解如图所示N形曲线是隧道二极管的伏安特性曲线， 该曲线可用图中三段直线近似替代各段直线的斜率为电 路工作在该直线段内时的 动态电导，,分别记为:,在每个直线段内，隧道二极管的伏安特性可用一个 相应的线性电路来等效。
在OA段工作时隧道二极管相应的线性电路,因此可以用上面所示的线性电导来等效当,时有：, 在AB段工作时隧道二极管相应的线性电路,当,时，有：,其中,为已知量相当于一个独立电流源，故在该段可用下图所示 一个线性电导和一个电流源的并联电路来等效在BC段工作时隧道二极管相应的线性电路,当,时，有:,其中,同样为已知量，相当于一个独立电流源，,故在该段可用上图所示线性电导和电流源的 并联电路来等效14.4 小信号分析法,小信号分析法是分析非线性电路的一个重要方法，即“工作点处线性化”，主要应用于那些既有偏置直流电源作用，又有外加时变小信号作用的非线性电路，如电子电路中的放大器要求：求解u和i,为非线性电阻,为线性电阻,为直流电压电源(建立静态工作点),为交流小信号电源,由于电路中有非线性元件，不能使用叠加定理，因此采用工作点处线性化的近似计算小信号分析KVL 方程：, 首先考虑无小信号作用的情况 ，,此时，KVL方程为：,其中，u、i 为 U0 作用产生.,令,非线性电阻的伏安特性 i = f(u) 如上图作图法可求出其静态工作点Q ：,因此可将u和i近似表示为:, 当考虑有小信号电压作用,时，,即,因,所以待求解u和i必定处于静态工作点,附近。
式中，,是由于小信号,作用所引起的偏差在任何时候相对于,都很小此时，非线性电阻特性 i = f(u) 可写为:,将上式右边按泰勒级数展开 (略去一次项以上的高次项 ),由前面,上式可简化为：,又,为非线性电阻在静态工作点处的动态电导,上式可写为：,故在静态工作点处，u1(t)与i1(t) 近似为线性关系，非线性电阻近似为线性电阻上述近似的条件是u1(t)与i1(t) 均很小，即扰动不能偏离工作点太远此电路称为非线性电阻在工作点(U0, I0) 处的小信号等效电路由此可得其等效电路：,上述分析方法 称为小信号分析方法由该电路可求得 :,例1：,计算工作点和工作点处由小信号电源所产生的电压、电流代入参数得：u+f(u)=20+0.9sint,解:,由KCL可得：,已知：,(1) 先求静态工作点 Q,令,由上式得：,对应的工作点的电压：,由非线性电阻的伏安 特性得：,(2) 求出工作点处的小信号等效电路,小信号等效电路如右图：,工作点处动态电导：,从而可求出工作点处由小信号所产生的电流 和电压分别为：,14.5 牛顿拉夫逊法（非线性电路的数值解法 ）,对一般的非线性电路，可根据基尔霍夫定律和元件特性列出相应的电路方程，对这些非线性电路方程，很难求出其解析解，一般情况下可采用数值解法。
设一般非线性代数方程组可表示为：,的n维向量形式，,式中,为n维待求解向量如果,是方程组的解，则,显然应满足:,用牛顿拉夫逊法求解非线性代数方程的过程可分为如下几步：,(1) 先选取一组合理的初始值,如果恰巧,则,是方程的解，否则就做下一步；,(2) 取,作为修正值,,应足够小将,在,附近展开成泰勒级数并取其线性部分，可得 :,式中，,其中,为对应的Jacobi矩阵令,若Jacobi矩阵可逆，则可得,由此便可确定出第一次修正值, 若,是方程的解；,则, 若,第k+1次迭代的修正值为：,则用上述方法继续迭代，,该式成立的充分必要条件是Jacobi矩阵,如果,可逆是方程的解，否则继续迭代则,实际上只要,足够小，亦即:,就可认为迭代收敛式中,为按照计算精度要求预先取定的一个很小 的正数 例2.,解：对节点1列出节点电压方程 :,,,由此得 :,取 ，则迭代过程可如下表所示:,迭代四次后：,按牛顿拉夫逊法的迭代公式，得 :,14.6 非线性动态电路状态方程的列写,非线性动态电路: 含有储能元件的非线性电路中，由于储能元件的电压电流关系是微分或者积分关系，所以对应的电路方程是微分方程或者积分方程，这类电路称为非线性动态电路。
非线性动态电路目前常采用状态变量法进行分析在列写非线性动态电路状态方程时，一般来说： 压控型电容元件选电压 为状态变量， 荷控型电容元件选电荷 为状态变量， 流控型电感元件选电流 为状态变量， 链控型电感元件选磁链 为状态变量含有非线性储能元件和非线性电阻元件的电路状态方程的列写比较复杂，有时甚至无法列出状态方程.,例3:,试对下面三种情况列写电路的状态方程：,为压控电阻， C 为压控电容，,为压控电阻， C 为荷控电容，,(c) 为流控电阻， C 为压控电容，,为压控电阻， C 为压控电容，,对节点1列写KCL方程，可得:,其中：,于是得：,该式即为所求状态方程为压控电阻， C 为荷控电容，,此时由于 不是 的单值函数，所以 亦不是 的单值函数 ，因此不能取 为状态变量， 但可取 为状态变量列写状态方程由KCL方程和压控非线性电阻的特性方程可得 状态方程为 :,由于 不是 的单值函数，而也不是 的单值函数，所以既不能取 为状态变量，也不能取 为状态变量，不然在KCL方程中将出现无法消除的非状态变量，从而该情况下无法列出状态方程。
c) 为流控电阻， C 为压控电容，,例4: 试对下面三种情况列写电路的状态方程：,(c) 为压控电阻， 为流控电感，,(b) 为流控电阻， 为链控电感，,为流控电阻， 为流控电感，,为非线性电阻， 为非线性电感， 为线性电阻,为流控电阻， 为流控电感，,于是可得以,为状态变量的状态方程为：,对回路列KVL方程，有：,代入各元件的特性方程，得：,(b) 为流控电阻， 为链控电感，,此时由于 不是 的单值函数，所以 亦不是 的单值函数，因此 不能取 为状态变量，但可取 为状态变量列写状态方程由KVL方程和元件的特性方程可得状态方程为:,(c) 为压控电阻， 为流控电感，,由非线性电阻特性方程知,不是,的单值函数，,所以不能取,为状态变量；,而由非线性电感特性方程知：,又不是,的单值函数，,因此也不能取,为,状态变量所以此时不论取,还是,在KVL方程中都存在一个无法消除的非状态变量， 从而该情况下无法列出状态方程作状态变量，,总结：,（1）非线性动态电路状态方程的一般形式为：,（2）非线性动态电路状态方程的特殊形式之自治 方程为：, 方程特点：,在方程中时间变量,除了在,中以隐含形式出现外，不以任何显含形式出现., 电路特点：,电路中所有元件皆为非时变元件，电路处于零状 态或以直流电源激励时.,14.7求解自治电路的分段线性法,对自治电路，可将非线性元件的特性方程分段线性化处理后，再进行分段线性分析。
一阶非线性自治电路的四种形式：,:有源非线性电阻性网络,:有源线性或非线性电阻性网络，所含电源皆应为直流电源,14.7.1 非线性电阻和线性电感构成的一阶非 线性自治电路,电路图,非线性电阻的伏安特性,要求：采用分段线性法求该电路的零状态响应,,,非线性电阻的伏安特性曲线,各段对应的等效电路,先将非线性电阻的伏安特性曲线用如图所示的折线 逼近，该折线的分段表达式为 ：,图中所示电路描述的是一个直流电压源通过非线性电阻对处于零状态情况下的电感充磁的过程，换路瞬间电感电流不突变,换路后电感电流将从零开始随充磁时间的增加而增长，最终达到稳态值各段时间内该电路的等效电路:,（ 1 ）t1以前,（2）t1以后,,利用求解一阶线性电路的三要素法，可得各段时间 内电感电流的表达式如下：,的响应波形图,14.7.2 线性电阻和非线性电容构成的一阶非线性自治电路,,,要求：采用分段线性法分析该电路的零状态响应,电路图,非线性电容的库伏特性,将非线性电容的库伏特性曲线用如图所示的折线逼近，该折线的分段表达式为：,或,各线性段对应 的等效电路,图中所示电路描述的是一个直流电压源通过线性电阻对处于零状态情况下的电容充电的过程，换路瞬间电容电压不突变 。
换路后电容电压将从零。