7.4 常系数线性微分方程（二）,三、欧拉（Euler）方程,二阶常系数非齐次线性方程:,(1)的通解,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,一、 型,(1) 非齐次,(2) 齐次,设非齐方程（1）的特解为：,,,特别地,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例1,解,特征方程,例2,代入方程, 得,特征根,利用欧拉公式,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,解,例3,原方程的特解,原方程通解为,解,例4,通解,解,例5,原方程通解:,解,对应齐方通解,用常数变易法求非齐方程通解,原方程通解为,例6,小结:,(待定系数法),解,例10,则由牛顿第二定律得,解此方程得,代入上式得,思考题1,写出微分方程,的待定特解的形式.,思考题1解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,练 习 题 1,练习题1 答案,解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.,三、欧拉方程,特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同,作变量变换,将自变量换为,上述结果可以写为,一般地，,例,求欧拉方程,的通解,解,作变量变换,原方程化为,即,或,(1),方程(1)所对应的齐次方程为,其特征方程,特征方程的根为,所以齐次方程的通解为,设特解为,代入原方程，得,所给欧拉方程的通解为,例2（04年研究生入学考试题）,,的通解为,欧拉方程,,【解】 令,则,代入原方程，整理得,,通解为,小结,欧拉方程解法思路,变系数的线性微分方程,常系数的线性微分方程,,变量代换,注意：欧拉方程的形式,练 习 题 2,练习题2 答案,。