考点43 双曲线(讲解)【思维导图】【常见考法】考点一 双曲线的定义及运用1．已知，则动点的轨迹是 答案】一条射线【解析】因为，故动点的轨迹是一条射线，其方程为：，2．已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则 答案】24【解析】由题意可得，，，因为，所以点P在双曲线C的下支上，则，故．故选：B.3．双曲线上一点P到一个焦点的距离是10，那么点P到另一个焦点的距离是__________.【答案】2或18【解析】双曲线中, ,设点P到另一个焦点的距离为,则,解得:或,故答案为: 2或18.考点二 焦点三角形1．已知双曲线x23−y2=1的左.右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=25，则ΔPF1F2的面积为 答案】1【解析】由双曲线的定义可得PF1−|PF2|=23，又|PF1|+|PF2|=25，两式联立得：PF1=5+3，PF2=5−3，又F1F2=4，所以PF12+PF22=F1F22，即ΔPF1F2为直角三角形，所以SΔPF1F2=12PF1PF2=1.2．已知有相同焦点、的椭圆和双曲线，点P是它们的一个交点，则面积的大小是 。
答案】1【解析】如图所示，不妨设两曲线的交点位于双曲线的右支上，设，．由双曲线和椭圆的定义可得，解得，在中，，∵，∴，∴，∴．∴面积为，3．分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点．若为等边三角形，则的面积为 答案】【解析】因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120，得c2=7a2，双曲线中：c2=a2+b2，b2=24∴a2=4∴△BF1F2的面积为==24=8．4．已知是双曲线上的点、是其左、右焦点，且，若的面积为，则等于 答案】1【解析】由得，由勾股定理得，由双曲线的定义得，，所以，则的面积为，，解得.5．已知双曲线的左、右集点分别为，若双曲线上点使，则的面积是 答案】16【解析】由双曲线方程可知，，所以，设双曲线的左右焦点分别为,，由双曲线定义可得，，，，.6．设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为 。
答案】1【解析】设，，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，，，，，，的面积为.考点三 离心率1．已知双曲线C：（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，的C的离心率为 答案】2【解析】双曲线的一条渐近线方程为，即，被圆所截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离为，，解得，2．已知、是双曲线的两个焦点，以为直径的圆与双曲线的一个交点是，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 答案】5【解析】如下图所示，设点为第一象限的点，设点、分别为双曲线的左、右焦点，设，由双曲线的定义可得，则，由已知条件可得、、成等差数列，且公差为，，易知为直角三角形，且为直角，由勾股定理得，即，解得，，即，因此，该双曲线的离心率为.3．设双曲线的左、右焦点分别为、，与圆相切的直线交双曲线于点（在第一象限），且，则双曲线的离心率为 答案】【解析】设PF1与圆相切于点M,如图，因为，所以为等腰三角形，N为的中点，所以，又因为在直角中，，所以 ①，又 ②， ③，由①②③可得，即为，即，解得，4．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线于P，Q两点，且，，则双曲线的离心率为________.【答案】【解析】如图，可设为双曲线右支上一点，由，在直角三角形中，，由双曲线的定义可得：，由，即有，即为，，解得，，由勾股定理可得：，可得.故答案为：.5．已知双曲线的左右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于.若，则双曲线的离心率为_________.【答案】【解析】,，又，则.，，，即解得，即.故答案为: .考点四 渐近线1．已知双曲线的焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为 。
答案】【解析】由双曲线的几何性质可知，，所以，所以该双曲线的渐近线方程为.2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于、两点，若，，则的渐近线方程为 答案】【解析】设，由已知条件及双曲线的定义得，，因为，所以在直角三角形中，由勾股定理得，解得．又在直角三角形中，由勾股定理得，所以，又，所以，所以双曲线的渐近线方程为，3．设、是双曲线：的两个焦点，是上一点，若，是△的最小内角，且，则双曲线的渐近线方程是 答案】【解析】设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|+|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30，∴| PF2|2＝| PF1||2+|F1F2|2﹣2| PF1||•|F1F2|cos30，∴（2a）2＝（4a）2+（2c）2﹣24a2c，同时除以a2，化简e2﹣2e+3＝0，解得e，∴c，∴b，∴双曲线C：1的渐近线方程为y，即0．考点五 标准方程1．已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为 答案】【解析】当双曲线的焦点在x轴，设双曲线的方程为：.根据题意可得：，解得，所以.当双曲线的焦点在y轴，设双曲线的方程为：.根据题意可得：，方程无解.综上的方程为.2．已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为 。
答案】【解析】设，则由渐近线方程为，，又，所以两式相减，得，而，所以，所以，所以，，故双曲线的方程为.3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过原点的直线与交于，两点.若，，则的方程为 答案】【解析】由过原点的直线与交于，两点，则，在双曲线的两支，且，连结，，则四边形为平行四边形，所以，，.在中，由余弦定理得，，即，化简得，.又由双曲线的定义，，即.所以，故.从而，故双曲线的方程为.考点六 直线与双曲线的位置关系1．若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有 条【答案】3【解析】当直线斜率存在时，设直线L：y=k（x-3），代入双曲线方程化简得（4-9k2）x2+54k2x-81k2-36=0要使L与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等，∴4-9k2=0，或△=0（不成立），解得k=当直线斜率不存在时，直线为x=3，此时与双曲线也只有一个公共点，故这样的直线有3条，2．直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是 答案】【解析】由双曲线与直线联立可 ，因为直线 与双曲线交于不同的两点，所以 可得 ，斜率的取值范围是3．斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 。
答案】【解析】因为斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，所以所以所以双曲线离心率的取值范围是4．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是 答案】【解析】把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知即解得＜k＜－1.考点七 弦长问题1．已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为 答案】【解析】双曲线，则，所以右焦点，根据题意易得过的直线斜率存在，设为，联立，化简得，所以，因为中点横坐标为4，所以，解得，所以，则，则．故选：D．2．过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线，其中分别为直线与双曲线的交点，则的长为________．【答案】3【解析】因为双曲线方程为，所以左焦点，因为直线的倾斜角为，所以直线斜率为，直线的方程为，代入可得所以，故答案为3.3．过点作直线与双曲线交于，为弦的中点.(1)求所在直线的方程； (2)求的长.【答案】(1) (2)【解析】设，两式相减得，.所以直线的方程为即.（2）联立直线和双曲线的方程消去y得.所以|AB|=. 15 / 15。