2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上.1. 平面与平面的夹角为.2. 函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为. 3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当时， .4. 区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标系下化为三次积分为.5. 设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧，是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：.6. 将函数展开成余弦级数为.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7. 若有连续的二阶偏导数，且 (常数)，则（ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .8. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域，则下列结论正确的是（ ）.(A)； (B) ；(C) ； (D) . 9. 已知空间三角形三顶点，则的面积为（ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .10. 曲面积分在数值上等于( ).(A) 流速场穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为的曲面片Σ的质量；(C) 向量场穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场沿Σ边界所做的功. 11．若级数在 处是收敛的，则此级数在 处 ( )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定. 12.级数的敛散性为 ( )(A) 当时，绝对收敛； （B）当时，条件收敛；(C) 当时，绝对收敛； （D）当时，发散. 三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13. （本题满分6分）设确定，求全微分.解：两边同取微分 ， 整理得 .14. （本题满分8分）求曲线 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程. 解：两边同时关于求导，解得，所以切向量为：， 切线方程为： ；法平面方程为：，即.15.（本题满分8分）求幂级数的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为，，，设，则 即 ，.16.（本题满分6分）计算，其中为曲面被柱面所截下的有限部分.解：（关于平面对称，被积函数是的奇函数）.17.（本题满分8分）计算积分，其中为曲线上从点到沿逆时针方向的一段有向弧.解：，积分与路径无关，选折线+为积分路径，其中，18.（本题满分8分）计算，是由曲面与平面围成的有界闭区域的表面外侧.解：由高斯公式，（利用柱面坐标变换则）19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为，则切平面的法向量为，切平面方程为，即 ，则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 ，令 解方程组，得，，，故切点坐标为.20. (本题满分6分)设均在上连续，试证明柯西不等式：证：设则 （关于对称）.2008—2009学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量满足关系式，则（ ）. （A）必有; （B）必有;（C）当时，必有; （D）必有 （为常数）.2. 直线与平面的关系是（ ）.（A）平行，但直线不在平面上; （B）直线在平面上；（C）垂直相交; （D）相交但不垂直.3. 二元函数在点（0，0）处（ ）(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 4. 已知为某二元函数的全微分，则（ ）.（A）; （B）; （C）; （D）.5. 设是连续函数，平面区域，则（ ）. （A）; （B）;（C）; （D）.6. 设为常数，则级数（ ）.（A）发散 ; （B）绝对收敛; （C）条件收敛; （D）收敛性与的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1. 设函数，向量，点，则2. 若函数在点处取得极值，则常数3. 为圆的一周，则4. 设，级数的收敛半径为5. 设，则6. 设是以为周期的周期函数，它在区间上的定义为，则的以为周期的傅里叶级数在处收敛于三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.1.（本小题6分）设是可微函数，，求.解题过程是：令，则，，2. （本小题6分）计算二重积分，其中.解题过程是：关于轴对称，被积函数关于是奇函数，，故3. （本小题6分） 设曲面是由方程所确定，求该曲面在点处的切平面方程及全微分.解题过程是：令，，，，则所求切平面的法向量为：，切平面方程为：，，4. （本小题6分） 计算三重积分，其中是由柱面及，所围成的空间区域.解题过程是：利用柱面坐标变换，5. （本小题6分）求，其中为曲面，方向取下侧.解题过程是：补与所围立体为由高斯公式，得，6. （本小题7分） 求幂级数的收敛域及和函数.解题过程是：因为，故收敛区间为；时，极限，级数均是发散的；于是收敛域为，7. （本小题7分）例1 计算，为立体的边界.解题过程是： 设，其中为锥面，为部分，在面的投影为.，，四．证明题（8分）.设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记，（1）证明曲线积分与路径无关;（2）当时，求的值.证明: (1)记，，成立，积分与路径无关. （2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点起至点，再至终点，则2009—2010学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题（）1. 若向量两两互相垂直，且，则2．设函数，求3. 设函数为连续函数, 改变下列二次积分的积分顺序：4. 计算5. 幂级数的收敛域为：6. 设函数 的傅里叶级数为：，则其系数 二、选择题（）1．直线与平面的位置关系是( )(A) 直线在平面内； (B) 垂直； (C) 平行； (D) 相交但不垂直.2.设函数, 则（ ）(A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值；(C) 在点有极大值； (D) 无极值.3. 设是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，的方向为逆时针方向，则（ ）(A) ； (B)； (C) ； (D) .4. 设为常数，则级数 （ ）(A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性与值有关.三、计算题 (7+7+7+7+6+8=42分)1. 设 讨论在原点处是否连续，并求出两个偏导数和. (7分)解：令，随的取值不同，其极限值不同，不存在，故在原点不连续；，.2. 计算其中是由上半球面和锥面所围成的立体 . (7分)解：作球面坐标变换： 则， 3. 求锥面被柱面所割下部分的曲面面积 .（7分）解：锥面：，，4. 计算曲面积分，其中是由，，围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）解：设为所围立体，由Gauss公式， 作柱面坐标变换： 则 ， 5.讨论级数的敛散性. （6分）解： 收敛 .6. 把级数的和函数展成的幂级数.（8分）解：设级数的和函数为，则，即四、 设曲线是逆时针方向圆周是连续的正函数，证明：. （8分）证明：设由Green公式，（而关于对称）即 .2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期末考试A卷参考答案一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1． . 2．设,则= . 3．设函数以为周期，为的的傅里叶级数的和函数，则 . 4．设曲线为圆周,则曲线积分= . 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1. 设直线为平面为,则 （ C ） . (A) 平行于平面 (B) 在平面上 (C) 垂直于平面 (D) 与相交，但不垂直 2．设有空间区域，则等于 （ B ）.(A) (B) (C) (D) 3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）. (A) (B) (C) (D) 4. 设是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）（A） 若收敛，则也收敛 （B）若收敛，则也收敛（C）若收敛，则部分和有界 （D）若收敛，则 三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数具有二阶连续偏导数，，求.解： 2．求函数在曲线上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线在点(1,2)处的切向量， 函数在点（1,2）沿方向的方向导数为 3．计算其中.解 = 4. 设立体由锥面及半球面围成.已知上任一点处的密度与该点到平面的距离成正比（比例系数为），试求立体的质量.解：由题意知密度函数 法1： 质量= . 法2： . 法3：5．计算曲线积分，其中是曲线沿逆时针方向一周.解： .6. 计算第二类曲面积分，其中为球面的外侧．解：利用高斯公式， 7．求幂级数的和函数 . 解:幂级数的收敛半径，收敛域为 时， = 时，， 四．证明题（本题4分）证明下列不等式成立：，其中.证明：因为积分区域关于直线对称， = 五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为坐标面，其底部所占的区域为小山的高度函数为（1）设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此。
