曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,牟彼乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,,(单侧曲面的典型),一、有向曲面及曲面元素的投影,10.5 对坐标的曲面积分,其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为前侧 < 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 < 0 为左侧, 0 为上侧 < 0 为下侧,外侧 内侧, 设 为有向曲面,,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,,表示 :,曲面元,在 xoy 面上的投影记为,的面积为,则规定,,类似可规定,二、概念的引入,实例: 流向曲面一侧的流量.,,,,2. 近似: 通过Si流向指定侧的流量的近似值为:,(i=1, 2, , n),3. 求和: 通过 流向指定侧的流量:,4.取极限: 令0, 得到流量 的精确值.,三、对坐标的曲面积分的概念及性质,定义: 设 为光滑的有向曲面, 函数R(x, y, z)在 上有界, 把 任意分割成 n 块小曲面Si (Si同时又表示第 i 块小曲面的面积) (i=1, 2, , n), Si在xoy面上的投影为(Si)xy, (i, i, i)是Si上任意取定的一点, 如果当各小块曲面的直径的最大值0时, 极限,,存在, 则称此极限为函数R(x, y, z)在有向曲面 上对坐标x, y的曲面积分(也称为第二类曲面积分). 记作,即,积分曲面,被积函数,有向面积元,,,,,,,,积分和,,类似可定义:,组合形式:,物理意义: 流量问题,3. 存在性定理: 当P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)在有向光滑曲面 上连续时, 对坐标的曲面积分存在.,性质: 由定义可知, 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的性质.,1. 对积分曲面的可加性:,1与2的侧要相容.,2. 积分曲面的反向性:,由假设条件知:上式左边为函数R(x, y, z)在 上对坐标x, y的曲面积分, 而右边为一个在区域Dxy上的二,四、对坐标的曲面积分的计算法,设积分曲面 是由方程z=z(x, y)所给出的曲面上侧, 在xoy面上的投影区域为Dxy, 函数z=z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数, 被积函数R(x, y, z)在 上连续.,,z=z(x, y),Si,,,,由于 取上侧, 则cos 0, 故(Si)xy=(i)xy,,又i = z(i, i), 则,重积分,,因此有,这就是将对坐标的曲面积分化为二重积分的计算公式.,如果 取下侧, 则cos <0, 故(Si)xy = (i)xy,,注意: 对坐标的曲面积分, 必须注意积分曲面所取的侧(方向).,如果 由x=x(y, z)给出, 则有,如果 由y=y(z, x)给出, 则有,概括为: 一投、二代、三定号,投: 将积分曲面投影到与有向面积元素(如dxdy)中两个变量同名的坐标面上(如xoy面); 代: 将曲面的方程表示为二元显函数, 然后代入被积函数, 将其化成二元函数; 定号: 由曲面的方向, 即曲面的侧确定二重积分的正负号.,注1: 积分曲面的方程必须表示为单值显函数, 否则分片计算, 结果相加; 注2: 确定正负号的原则: 曲面取上侧、前侧、右侧时为正; 曲面取下侧、后侧、左侧时为负.,例1: 计算,其中 是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限的部分的前侧.,解: 由于 在xoy面的投影区域的面积为0,,在yoz面的投影区域为Dyz: 0z3, 0y1.,故,故,在zox面的投影区域为Dzx: 0z3, 0 x1.,故,所以,例2: 计算,其中 是球面x2+y2+z2=1外侧在x0, y0的部分.,解: 把 分成下半1和上半2两部分, 即,则,1, 2在xoy面上的投影区域 Dxy: x2+y21, x0, y0.,例3: 计算,平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.,其中 是,解: 将 分成四个部分:,左侧1: y=0, x+z1; 下侧2: z=0, x+y1; 后侧3: x=0, y+z1; 上侧4: x+y+z=1被x=0, y=0, z=0, 所截得的部分;,因1在xoy, yoz面上的投影面积为0, 而在zox面上y=0,,所以,同理,在4上:,同理,所以,,,,x,y,z,注: 对坐标的曲面积分的对称性 (1) 被积表达式具有轮换对称性, 即将被积表达式中的所有字母按顺序代换后原式不变; (2) 积分曲面及其侧具有对称性, 这是指曲面在各坐标面上的投影区域均相同, 且配给的符号也相同.,z=z(x, y),,,,,五、两类曲面积分之间的联系,设有向曲面 是由方程z=z(x, y)给出, 在xoy面上的投影区域为Dxy, 函数z=z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数, R(x, y, z)在 上连续.,曲面 的法向量的方向余弦为:,则对坐标的曲面积分为:,,对面积的曲面积分为:,所以,这里取曲面的两侧均成立.,两类曲面积分之间的联系:,向量形式,An为向量 在 上的投影.,其中,点(x, y, z)处的单位法向量,,称为有向曲面元.,为有向曲面 上,其中 是旋转抛物面2z=x2+y2介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧.,例: 计算,在曲面 上有,解:,注: 此例的解法具有普遍性. 设光滑曲面的方程 为z=z(x, y), (x, y)D, 取 上侧, P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)在上连续. 则,六、小 结,1、基本概念与性质; 2、物理意义; 3、两类曲面积分的联系; 4、计算时应注意以下两点: (1) 曲面的侧; (2) “一投, 二代, 三定号”.,思考题:,思考题解答:,的左侧(即oy轴与其法线成钝角的一,的左侧是正侧吗?,设 为球面x2+y2+z2=1, 若以其球面的外侧为正侧,,试问,侧)是正侧吗? 那么,。