2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4 分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当时,与等价的无穷小量是(A) (B) (C) (D)【考点分析】：等价无穷小的定义和常用的等价无穷小【求解过程】：n 方法一：利用等价无穷小时，，，n 方法二：可用洛必达法则和等价无穷小的定义来求解验证极限是否等于1，其中表示A，B，C，D四个选项中的式子故选B【基础回顾】：下面，我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时来说明两个无穷小之间的比较应当注意，下面的及都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且，也是在这个变化过程中的极限定义：如果就说是比高阶的无穷小，记作；如果，就说是比低阶的无穷小如果，就说与是同阶无穷小；如果，就说是关于的阶无穷小如果，就说与是等价无穷小，记作 显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即的情形常用等价无穷小，当时，， (2)曲线,渐近线的条数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【考点分析】：曲线的渐近线（水平、垂直、斜渐近线）的条数【求解过程】：计算垂直渐近线：求函数在其不连续点处的极限，若为则存在垂直渐近线函数只有间断点，，故存在垂直渐近线计算水平渐近线：求函数在时的极限a，若a存在，则有水平渐近线，故存在水平渐近线计算斜渐近线：求在时的极限，若存在，且，求出在相应处的极限b，则有斜渐近线故存在斜渐近线选D。
相关补充】：对于曲线，若沿方向有水平（或斜）渐近线，则沿同一方向必定没有斜（或相应地，必定没有水平）渐近线，但沿另一方向仍可能有渐近线 (3)如图,连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设.则下列结论正确的是(A) (B) (C) (D)【考点分析】：定积分的奇偶性，奇偶函数变上限积分函数的奇偶性【求解过程】：n 方法一：定积分的几何意义注意：大小半圆的面积分别为是与线段所围图形的有向面积的代数和选Cn 方法二：定积分几何意义和奇偶性结合为奇函数为偶函数，故，其他同解法一故选C【基础回顾】：若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数4)设函数在处连续,下列命题错误的是(A)若存在,则 (B)若存在,则(C)若存在,则存在 (D)若存在,则存在【考点分析】：由某极限的存在推出函数在指定点的可导性及在定点处的值，函数连续与可导的关系【求解过程】：n 方法一：直接论证法对于A，由存在及在处连续，所以，A正确对于C，由A知，所以存在，C正确对于B，由在处连续，所以在处连续所以，故综上，选Dn 方法二：举例法设，则（存在），但不存在，D错误，选D【方法小结】：考场上用举例法很快速。
5)设函数在上具有二阶导数,且, 令则下列结论正确的是(A)若,则必收敛 (B)若,则必发散(C)若,则必收敛 (D)若,则必发散【考点分析】：数列的敛散性、拉格朗日中值定理的应用【求解过程】：n 方法一：由拉格朗日中值定理证明由拉格朗日中值定理，有，由知严格单调增，故由于，若则，而是一个确定的正数，于是，故发散，选Dn 方法二：级数的定义与性质级数的前n项部分和为存在的充要条件是级数收敛而是一个确定的正数，故，从而级数发散，于是数列发散n 方法三：特殊函数举例排除法设，则，，但，从而发散，A错误设，则，，而，，则收敛，B错误设，则，且，而，，则发散，C错误故选Dn 方法四：利用函数单调性由在单调上升，有如下三种情形：①在单调上升，又由凹函数的性质时② 在单调上升，且③ 在单调下降，则或A、B错误由①②C错误，选D【方法小结】：四种方法比较而言，第一种方法较为清晰易想6)设曲线(具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点和第Ⅳ象限内的点为上从点到的一段弧,则下列小于零的是(A) (B)(C) (D)【考点分析】：曲线积分【求解过程】：记，由条件知：，并注意在积分弧段上。
于是A．B．C．为弧的长，D． D．由得，故 综上，选B(7)设向量组线性无关,则下列向量组线性相关的是(A) (B)(C) (D)【考点分析】：向量组线性相关性的判定【求解过程】：n 方法一：利用向量组线性相关的定义A中，由向量组线性相关的定义知A中的向量组线性相关，选An 方法二：利用矩阵变换求解其中故，均是可逆阵，右乘时，不改变矩阵的秩，故有 故，向量组B、C、D都是线性无关的，由排除法，选A（或显然，，则不可逆，，从而向量组A线性相关选A）【方法小结】：方法一快速有效8)设矩阵,,则与(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似【考点分析】：相似矩阵、合同矩阵的概念和判定，及两者的关系【求解过程】： 所以，A的特征值为3,3,0，B的特征值为1,1,0，A与B特征值不等，故不相似，但A，B对应的二次型的正惯性指数均为2，负惯性指数均为0，故A与B合同，选B另外，也可用如下方法求A的特征值，记，则，因，故C有特征值，由矩阵特征值的和等于矩阵对角线元素之和得C有特征值故A的特征值为，即3,3,0【基础回顾】：① 实对称矩阵相似的充要条件是具有相同的特征值② 实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正特征值个数和负特征值个数或者对应的二次型有相同的正惯性指数和负惯性指数③ 由①，②可知，实对称矩阵相似必合同，反之，不一定成立(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A) (B)(C) (D)【考点分析】：伯努利概型的计算【求解过程】：第4次射击恰好第2次命中目标即前三次击中目标一次，第4次射击击中目标由伯努利概型，前三次射击击中一次的概率为，第4次击中目标的概率为，根据独立性有，第4次射击为第二次命中目标的概率为，选C(10)设随即变量服从二维正态分布,且与不相关,,分别表示的概率密度,则在的条件下,的条件概率密度为(A) (B) (C) (D)【考点分析】：二维正态分布的概率密度、相关性、条件概率密度【基础回顾】：二维正态分布中，不相关独立。
求解过程】：二维正态分布中，不相关独立，故由条件概率密度的定义，在的条件下，如果，则，现显然，故，选A二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)(11)=_______.【考点分析】：定积分的计算方法【求解过程】：n 方法一：直接用分部积分法n 方法二：先用换元法化简定积分，再用分部积分法求解令，则(12)设为二元可微函数,,则=______.【考点分析】：求复合函数的偏导数【求解过程】：，填(13)二阶常系数非齐次线性方程的通解为=____________.【考点分析】：二阶常系数线性非齐次微分方程通解【求解过程】：对应齐次微分方程：的特征方程为，特征根，故对应齐次方程的通解为因为2不是特征根，故方程的特解可设为：，代入方程可求得A=-2，故原方程的通解为，填（为任意常数）14)设曲面,则=_____________.【考点分析】：第一类曲面积分的计算及利用奇偶性和轮换对称性【求解过程】：曲面有八块平面构成，它在第一卦限中的图像如图所示，在其它卦限中的图像与其对称 曲面关于yz面对称，x为关于x的奇函数，所以可用下列三种方法求解：n 方法一：利用关于x,y,z轮换对称，（表示曲面的面积）而为8块同样的等边三角形，每块等边三角形边长为，所以，所以n 方法二：.化为二重积分，其中D为n 利用形心公式为在第一卦限内的部分综上，应填【方法小结】：方法一最为快速，方法二三为此类问题的通法。
15)设矩阵,则的秩为________.【考点分析】：矩阵幂的运算，矩阵的秩【求解过程】：直接计算，再求，所以，(16)在区间中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于的概率为________.【考点分析】：几何型概率求解过程】：不妨假定随机地取出两个数分别为X和Y，它们相互独立X与Y两个数之差的绝对值小于对应于下图正方形中的区域D根据几何概率（表示区域D的面积，S表示单位正方形的面积）【基础回顾】：几何概型问题中事件的概率其中，维空间的n维体积，维区域的维体积所谓维体积，在时的一维体积维为长度，二维时维为面积，三维时则是通常说的体积几何概型问题中的主要计算工具是用几何方法计算长度、面积等，也会用到微积分计算三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(17)求函数在区域上的最大值和最小值【考点】函数最值的得求法【思路】所给的是一个区域，要分别求在区域内部及边界上的最值再比较得函数在区域上的最大值最小值注意这里边界上的最值形式比较简单，可以不用拉格朗日乘子数法【题解】先求函数在区域内的最值，令解得，所以在D内有又两个驻点，对应的函数值均为2。
再求边界上的最值，的边界有两部分，一部分是上半圆弧，另一部分是轴在圆弧上有，代入：记作，则，令则或在直线段上，最小值为0，最大值为4又，所以在上的最大值为8，最小值为018)计算曲面积分，其中为曲面的上侧考点】第二型曲面积分，高斯公式【思路】很典型的题目，所给的曲面不封闭，加辅助面取下侧得到区域，再应用高斯公式简化计算题解】加辅助面，取下侧，与围成的区域记作用高斯公式，有其中，其面积为，又由对称性，有，所以19)设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，，，证明：存在，使得考点】罗尔中值定理【思路】要求一点使得二阶导数相等，最直接的想法是找到三个函数值相等的点再两次应用罗尔定理，再由题意，问题转化为再找一个函数值相同的点即可题解】由条件，在内存在相等的最大值，设，则有若，令其为，则有若，不妨设，则有令，则，又在内连续，所以由零点存在定理，有使得，也即因为，在上连续，由罗尔定理，有使得，同理有使得再由罗尔定理，有，使得，即证20)设幂级数在内收敛，其和函数满足（1） 证明（2） 求得表达式【考点】幂级数，微分方程【思路】幂级数收敛因此可以逐项求导，再代入所给的微分方程即可证明，第二问只需用第一问的结论即可化简。
题解】（1）因为在内收敛，所以可以逐项求任意次导，有所以又。