单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,7.5,分,圆,多,项,式,7.5.1,复数域上的分圆多项式,7.5.2,任意域上的分圆多项式,7.5.1,复数域上的分圆多项式,定义.在复数域中n-1=0的解称为n次单位根结论：一个复数是n次单位根,当且仅当它具有以下形式：,证明：因任意复数可以表为,rcos+isin,其中r是它的模，是它的幅角，我们有,rcos+isin scos+isin,=rs cos cos-sin sin,+icos sin+sincos,=rscos+isin+据此，用数学归纳法易证：,r(cos+isin)n=rn(cos n+isin n),此数的模是rn，幅角是n由于复数1的模是1，幅角是2k，k=0，1，2，,所以，,rcos+isin是n次单位根 iff,rn=1 且 n=2k iff,r=1，且=iff,它具有以下形式：,故假设命,=,则一个复数是n次单位根，当且仅当它是的整数次,方由此可见，全部n次单位根在乘法下作成一个循,环群，是它的一个生成元素1，2，n-1为n个n次单位根：,这n个单位根的幅角都是 的整倍数；用平面上的,点代表复数，把代表这n个单位根的点用线段联结起,来便成为单位圆的一个内接正n边形。
可见，这n个n,次单位根都不同是n次单位根，固然n=1所以,的周期恰等于n定理7.5.1.复数域中恰有n个n次单位根它,们在乘法下作成一个n元循环群,=,是一个生成元素这个n元循环群的生成元素称为本原n次单位,根，共有(n)个，假定它们是,1，2，(n),命n()=(-1)(-2)(-n),n称为分圆多项式.,意思是说求出它的一个根就可以把单位圆分,成n等份了分圆多项式例,n=1时，生成元=1,(1)=1,故,1,()=(-1)n=2时，生成元=-1,(2)=1,，故,2,()=(+1)n=3时，生成元=，,(3)=2,，另一个生成元为：,2,=，,故,3,()=(-)(x-,2,)=,2,+x+1n=4时，生成元=i，,(4)=2,，,另一个生成元为：,3,=-i，故,4,()=(-)(x-,3,)=(x-i)(x+i)=x,2,+1,分圆多项式的性质,定理7.5.2 n-1=,证明：设1，2，n是全部n次单位根，于是,n-1=(-1)(-2)(-n).,任取一个dn1)往证|n-1任取d()的根,则是一个本原d次单位根于是,d=1,因而n=1,可见(x-)必消失在(-1)(-2)(-n)中.可见,全部(d)个本原d次单位根都消失在(-1)(-2)(-n)中。
因之，d()n-1 假设d和d不同,则d()和d()没有公共,一次式由于，前者的根是本原d次单位根，,后者的根是本原d次单位根，由此可见，,n-12)往证 n-1|任取n-1的根,设的周期为d,dn,因而是,本原d次单位根这就是说,(-1)(-2)(-n)中的任意一次式必,消失在某个d之内，其中dn，所以,n-1|例,由于x-1=1(),所以,1()=x-1由于x2-1=2()1()，所以，,2()=x+1由于x3-1=3()1()，所以，,3()=x2+x+1由于x4-1=4()2()1()，所以，,4()=x2+1分圆多项式的性质,定理7.5.3.n()是整系数多项式证明：用数学归纳法1()=-1是整系数多项式假定kn时，k()是整系数多项式，,试证n()亦然因n-1=n()，,由归纳法假定，此式右边每个d()都是整,系数多项式，故其积为整系数多项式，且首系,数为1所以是本原多项式，而n-1是整系数,多项式，故，n必为整系数多项式例,求12()解：由于,12-1=1264321，,6-1=6321,相除得6+1=124,因之，,12()=x4-x2+17.5.2 任意域上的分圆多项式,F为任意域，设n不是特征的倍数，方程,n-1=0在F中的根称为n次单位根。
假设n不是特征的倍数，则n-1的微商nn-1不是多项式0，因而除0外没有另外的根，但0明显不是n-1的根，所以，n-1及其微商没有公共根，因而方程n-1没有重根假设n是特征p的倍数，设n=kpm，其中k不是p的倍数，则 n-1=这时n-1的根即是k次单位根，且n-1的每个根都是pm重根例.,在,R,7,=0,，,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,上分别计算,n,次单位根，,n=1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,x,0,1,2,3,4,5,6,x,2,0,1,4,2,2,4,1,x,3,0,1,1,6,1,6,6,x,4,0,1,2,4,4,2,1,x,5,0,1,4,5,2,3,6,x,6,0,1,1,1,1,1,1,例.,R,2,=0，1上的4个矩阵：,0=，1=,a=，b=，,作成的集合F=0，1，a，b在矩阵加法、乘法,下作成一个域则在F上求4次单位根就是求方,程x,4,-1=0，即 的根由分圆多项式的性质可求出,4,(),=x,2,+1=x,2,+,定理7.5.4 设n不是F的特征的倍数,并设n()在F中有根于是，F中恰有n个n次单位根，它们在乘法下作成一个n元循环群，其(n)个生成元素恰是n()的全部的根。
证明：设是n()在F中的任意根，,往证的周期为n设的周期k由于n()n-1,是n-1的根,故n=1因而的周期kn假定kn由于k=1，所以应是,k-1的根，但k-1=，乘积中没有,n()既是n()的根又是k-1的根，因而是n-1的重根，此不行能因之，1，2，n-1,是n个不同的n次单位根，但n-1最多只能有n,个根，所以F中恰有n个n次单位根全部n次,单位根既然都是的假设干方，所以在乘法下,作成一个n元循环群，n()的任意根是,此群的一个生成元素今n元循环群只有(n),个生成元素，所以n()的根恰是全部的生,成元素此n元循环群的生成元素也叫本原n次单位根例.,考察R,5,=0，1，2，3，4上的情形,(1)对x2-1=0，,分圆多项式2=x+1由于2在R5 中有根4，所以2个二,次单位根全在R5 中，且4为其(2)=1个生,成元，由它生成的1，4就是全部二次单位,根例.,考察R,5,=0，1，2，3，4上的情形,(2)对x3-1=0,分圆多项式3()=x2+x+13在R5 中无根，3个三次单位根不全在R5 中，在R5 中只有一个根1,x,0,1,2,3,4,x,2,0,1,4,4,1,x,2,+x+1,1,3,2,3,1,x,3,0,1,3,2,4,例.,扩展R,5,至 R,7,3,()在,R,7,中有根,2,，,4,，所以,3,个三次单位根全在,R,7,中，且,2,，,4,为其,(,3,),=2,个生成元，由它们任意一个可生成全部,3,个三次单位根：,1,，,2,，,4,x,0,1,2,3,4,5,6,x,2,0,1,4,2,2,4,1,x,2,+x+1,1,3,0,6,0,3,1,x,3,0,1,1,6,1,6,6,例.,考察R,5,=0，1，2，3，4上的情形,对,x,4,-1=0,分圆多项式,4,(),=x,2,+1,。
因,为,4,()在,R,5,中有根,2,3,所以,4,个四次单,位根全在,R,5,中,且,2,，,3,为其,(,4,),=2,个生成,元，由任意一个可生成全部,4,个四次单位根x,0,1,2,3,4,x,2,0,1,4,4,1,x,2,+1,1,2,0,0,2,x,4,0,1,1,1,1,。