四川省普通高等学校“专升本”选拔《高等数学》考试大纲（理工类）总体要求考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次考试用时：120分钟考试范围及要求一 函数、极限和连续二 一元函数微分学三 一元函数积分学四 向量代数与空间解析几何五 多元函数微分学1. 了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极限与连续性概念（对计算不作要求），会求二元函数的定义域1） 多元函数① 二元函数： ② 三元函数： ③ 三元或三元以上的函数：（2） 二元函数的几何意义二元函数的图形是一个曲面，曲面在面上的投影就是定义域。
3） 二元函数的定义域一元函数的定义域: 通常可用区间（开区间、闭区间、半开半闭区间，这些区间可为有界也可是无界）或用关于的不等式表示.二元函数的定义域: 由使函数式有意义的点的全体构成通常由一条或几条曲线（称为的边界）围成的面上的一部分，可用区域（开区域、闭区域、有界开区域或有界闭区域，无界开区域或无界闭区域）可用关于、所确定的不等式组表示3） 二元函数的极限① 定义 设函数在点的附近有定义（在点处函数可无定义），如果动点沿任意路径趋近于定点时, 总是趋于一个常数，则称为函数当时的极限，记为 或 或．② 注：ⅰ 定义中是沿任意路径的；ⅱ 若动点以某一种特殊方式（沿某特殊直线或曲线）趋于点时，无限接近，不能得出的结论；ⅲ 当动点以不同方式或不同路径趋于时，趋于不同值，则一定不存在；（4）二元函数的连续性定义 设函数在点的某个邻域内有定义，如果当点趋近于点时，函数的极限存在， 且等于它在点处的函数值，即 或 则称函数在点处连续定义 设函数在点的一个邻域内有定义， 若当自变量、的增量、趋近于零时，对应的函数的全增量 也趋向于零，即 则称函数在点处连续。
2. 理解偏导数的概念，了解全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件 （1）偏导数①在点处对的偏导数：、 、 、， ②在点处对的偏导数：、、 、， ． ③在任意点处对的偏导数：、、 、 ④在任意点处对的偏导数：、 、 、． ． （2）全微分定义① 定义 如果二元函数在点处的全增量可以表示为 ： 其中、与、无关， 是的高阶无穷小，即 ．则称 为函数在点处的全微分，记为． ， 这时， 称函数在点处可微如果函数在区域内每一点都可微，则称函数在区域内可微 ② 全微分与偏见导数的关系 如果函数在点处可微，则函数在点处的偏导数存在，而且 ， （3）函数的可微性、可偏见导性、连续性的关系可微 连续 的极限存在可微 可偏导的偏导存在且连续 可微可偏导 与 连续 没有关联例1考察函数 ，在时的极限是否存在在处可偏导，求，．例2 （成都理工大学2013：理科——选择题3分）设，则在处有【 】(A) 在不连续； (B) 在偏导数不存在(C) 在连续且偏导数存在但不可微； (D) 在可微例 3（攀枝花学院：理科——解答题5分）连续是可微的（ ）条件.（A）必要 （B）充分 （C）充要 （D）无关3. 掌握二元函数的一、二阶偏导数的计算方法。
：把看成为常数，把视为的一元函数，对求导． ：把看成为常数，把视为的一元函数，对求导． 、、， 、、 ， 、、 ， 、 、，4. 掌握复合函数的一阶偏导数的求法（包括抽象函数）1）多元复合函数的中间变量为一元函数，，（2） 多元复合函数的中间变量为二元函数， ， （3）多元复合函数的中间变量一个为二元函数，一个一元函数， ， （4）多元复合函数为抽象函数形式若函数没有由自变量具体地表示出来，这样的函数称为抽象函数，如 等例1 （攀枝花学院：文科——解答题5分） 设，求.例2 设，求，.例3 设，求，.5. 会求二元函数的全微分（不包括抽象函数）例 （成都理工大学：文科——选择题4分）设，则【 】(A) (B) (C) (D) 6. 掌握由方程所确定的隐函数的一阶偏导数的计算方法1） 二元方程确定的隐函数的导数： . 例（攀枝花学院2013：文科——解答题5分） 设由方程确定的一个隐函数，求（2） 三元方程所确定的隐函数的偏导数 ， 例1 （攀枝花学院：理科——解答题5分）求由方程所确定的隐函数的全微分．例2（成都理工大学2014：理科——填空题4分）13．设函数由方程确定，其中连续偏导数，则 ， ；7. 会求空间曲线的切线和法平面方程，会求空间曲面的切平面和法线方程。
1）曲面 在其上的点处的切平面方程 切平面的法向量： 切平面方程： 法线方程： （2）曲线 在其上的点处的切线方程 切线的方向向量：， 为点对应的参数的值 切线方程： 法平面方程： （3）曲线 在其上的点处的切线方程 切线的方向向量： 切线方程： 法平面方程： 例1 （成都理工大学2013：理科——填空题4分）曲线在点的切线方程是： 例2 （成都理工大学2014：理科——选择题3分）已知曲面上点P处的切平面平行于平面 ，则点P的坐标是【 】 （A）(1,-1,2) （B）(-1,1,2) （C）(1,1,2) （D）(-1,-1,2)8. 会求二元函数的无条件极值，会应用拉格朗日乘数法求解一些最大值最小值问题1）二元函数的无条件极值① 定义： 设函数在点的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内异于的点都有 (或 )则称为函数的极大值(或极小值)极大值和极小值统称为极值，使函数取得极大值的点(或极小值的点)称为极大值的点(或极小值的点)，极大值点和极小值点统称为极值点②极值的必要条件： 设函数在点的偏导数，都存在，且在点处有极值，则在该点的偏导数必为零，即 ． 同时满足，的点称为函数的驻点。
③ 极值存在的充分条件（判别驻点是否为极值点) 设是函数的驻点，且函数在点的某个邻域内二阶偏导数连续，令 ，，，，则 (1) 当 且 时，是极大值，当 且 时，是极小值；(2) 当 时， 不是极值； (3) 当 时，可能是极值，也可能不是极值④ 求二元函数极值的步骤：(1) 求出函数的一阶、二阶偏导数 、、、、(2) 解方程组，求出函数的驻点；(3) 确定驻点处，、、的值及的符号，据此判断出该驻点是否为极值点，并求出极值例1 （攀枝花学院：理科——解答题7分） 求函数的极值.例2 求函数 的极值 解 （1） 求偏导数 ， ，， ， ．（2）解方程组 ， 得驻点及．（3） 列表判断函数的极值点驻点(结论不是极值－是是大极值 函数只有一个极大值：．（2）拉格朗日乘数法求解一些最大值最小值（条件极值）在实际问题中，往往会遇到自变量有约束条件的函数的极值问题，这样的极值称为条件极值，无约束条件的极值叫无条件极值① 求函数 在约束条件下的最值第一步：构造辅助函数 （称为拉格朗日乘数）第二步： 解联立方程组 即 得驻点第三步：判别驻点为最值点。
若在实际的函数的定义域内驻点是唯一的，讨论的问题又有最值，则该驻点为函数的最值点）第四步：得出问题的答案 ② 求三元函数在约束条件下的最值第一步：构造拉格朗日辅助函数；第二步：解联立方程组 即 得驻点 第三步：判别驻点为最值点若在实际的函数的定义域内驻点是唯一的，讨论的问题又有最值，则该驻点为函数的最值点）第四步：得出问题的答案例1 （成都理工大学2013： 文科——解答题8分） 要做一个容积为常数R3的长方体无盖水池，应如何选择长方体的长、宽、高，才能使它的表面积最小；例2 要制造一个容积为的圆柱形无盖茶缸，问茶缸的底半径与高各为多少时，才能使其用料最省？解 设圆柱形茶缸的底半径为，高为，表面积为，则 ，且．此例实际上是一个条件极值问题，即求函数在条件下的最小值构造拉格朗日辅助函数按题意组成方程组 ，即 ．解方程组，得： ．由问题的实际意义得知，函数在条件下有最小值，又函数只有一个驻点．因此点是函数的最小值点所以茶缸的底半径、高都为时，其用料最省例4 要制造一个容积为4立方米的无盖水箱，问水箱的长、宽、高各为多少时，才能使水箱的用料最省？（二）二重积分1. 理解二重积分的概念及的性质。
性质1 有限个函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和（也叫逐项积分），即 ．性质2 常数因子可以提到积分号外作因子，即 ．其中相对积分变量与而言是常数性质3 （可加性） 二重积分对积分区域具有可加性，即，若，，则 ． 性质4 如果在上，，为的面积，那么 ．性质5 (比值定理) 如果在上，，那么 ．性质6 (估值定理) 设、分别是在上的最大值和最小值，为的面积，那么 ．性质7（二重积分中值定理） 如果在闭区域上连续，为的面积，那么在上至少存在一点，使得 ．2. 掌握直角坐标系下及极坐标系下二重积分的计算方法1）型积分区域： 区域可表示为： （2）型积分区域：区域可表示为： 综合上所述，在直角坐标系下计算二重积分的一般步骤和方法是：① 作出积分区域示意图，通过解方程组求出积分区域边界曲线交点的坐标；② 。