杭州市高一数学期中考试试卷完整版1、选择题设点O是正方形的中心，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 与 共线 D. 【答案】 D 【解析】 由正方形的基本性质和向量的基本性质可得答案. 解：如图， 与 方向相同，长度相等， A正确； , , 三点在一条直线上， ，B正确； ， 与 共线，C正确； 与 方向不同， ，D错误. 故选D.2、选择题已知向量，且 ，则 =（ ） A. 5 B. -5 C. 1 D. -1 【答案】 D 【解析】 根据平面向量的坐标运算，得到方程组求出结果即可. 解： ， ， ， 故选D.3、选择题在中，角 所对的边为 ，若 ，则 一定是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】 C 【解析】 由 ，再根据余弦定理可得 ，即可得出 是等边三角形. 解: 在 中， 化简得： ，则 ， 是等边三角形. 故选C.4、选择题（ ）A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据三角函数中二倍角公式化简即可求得答案. 解： 故选B.5、选择题在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若 ，且边 ，则边b=（ ） A. 3或5 B. 3 C. 2或5 D. 5 【答案】 A 【解析】 利用余弦定理即可求出b的值. 解： ，由余弦定理得 ， 即 ，解得 或 . 故选A.6、选择题已知正六边形的边长为1，则 的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】 B 【解析】 依题意得，分别计算出当 时 的值，比较即可得出答案. 解：如图，当 时， 的值相应是 ，故最大值为 .7、选择题当时，函数 的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题通过三角恒等变换得 ，根据 ，求出 ，即可得出 的值域. 解：由题意得， . 当 时， 当 时， 取最小值为 ，所以值域为8、选择题对于集合和常数 ，定义： 为集合 相对 的“余弦方差”，则集合 相对 的“余弦方差”为（ ） A. B. C. D. 与 有关的一个值 【答案】 B 【解析】 根据题意可得， ，利用诱导公式和两角和与差的正弦公式对其化简；将 代入化简后得到的结果，即可求出答案. 因为 故选B.9、填空题已知，若 ，则 ________. 【答案】 【解析】 根据 ，利用平面向量数量积的坐标表示即可求出答案. 解： 又 解得10、填空题若，则 =_____． 【答案】 【解析】 求出角的正弦函数，然后利用两角和的正弦函数公式求解即可. 解：由条件得 ， 所以 .11、填空题已知，点P在直线 上，且 ，则点P的坐标是_____． 【答案】 【解析】 由题意可知， 三点共线，且有 ，设出点 的坐标，利用向量相等的条件建立方程求出点P的坐标 解：设 ，点P在直线 上 ， ，则有 解得12、填空题有一长为10m的斜坡，它的倾斜度是75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的斜角改为30，则坡底要延伸_____m．【答案】 【解析】 画出图形，利用正弦定理即可求出. 解：如图，在 中，设 ，由正弦定理可知13、填空题若是方程 的两个实数根，则 =_____． 【答案】 【解析】 根据韦达定理求出 ，利用三角函数和与差的正弦和余弦公式将 展开，分子分母同时除于 ，代入即可得出答案. 解：由韦达定理得 .14、填空题在中， ，则其周长为_____． 【答案】 【解析】 因为 ，由正弦定理可得 ，所以可设 ，根据面积公式可求出 ，继而求出AC和AB，利用余弦定理求出BC，从而求出周长. 由正弦定理得 . 设 则 ，解得 ， . 由余弦定理得 故此三角形的周长为 .15、填空题已知点M是所在平面内的一点，若满足 ，且 ，则实数 的值是______. 【答案】 【解析】 点M是 所在平面内的一点，若满足 ，根据向量的概念，运算求解得： ， ，再根据 与 的关系，求出 与 之比，得出 . 解：记 ， . 又 ，从而有 .16、解答题已知α，β均为锐角，且， （1）求 的值； （2）求 的值． 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）由题意可得， 利用诱导公式和二倍角的余弦公式求出 即可 （2）利用 ，即可求出 的值． 解: （1） （2）17、解答题已知两个非零向量不共线，如果 ， （1）求证：A，B，D三点共线； （2）若 ，且 ，求向量 的夹角． 【答案】 （1）见解析（2） 【解析】 （1）要证明A，B，D三点共线，只需证明 共线.根据向量加法的三角形法则求出 ，利用向量共线定理可证. （2）根据 得出 ，从而得出向量 的夹角. （1） ， 共线，即 三点共线. （2） ， ，故有向量 的夹角为 .18、解答题在中，角A，B，C所对的边为a，b，c， ，若 ， （1）求角C的大小； （2）若 ，求 的值． 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）利用 推出a，b，c的关系，利用余弦定理求出C的大小即可. （2）由正弦定理可得 ，得出 ，将 化简得 ，进而求出答案. 解：（1） ，则 ， . 由余弦定理得 ，故有 . （2） ， ，即 .19、解答题已知的面积为S，且 ， （1）当 时，求 的值； （2）当 ，边 的长为2时，求 的周长的最大值． 【答案】 （1） （2）周长的最大值为6 【解析】 设 的角 所对应的边分别为 ，根据向量和数量积和面积公式得出 ，从而得出 . （1）当 时， ，利用两角和的正切公式展开，代入 即可得出答案. （2）当 ， 时，利用正弦定理可将 的周长转化为 ，进而得出当 时，周长取最大值为6. 设 的角 所对应的边分别为 ，由题意得 ，即 ，解得 . （1）当 时， ，则有 . （2）当 时， ， . 由正弦定理得 ，所以 的周长为 ，所以当 时，周长取最大值为6.20、解答题设函数， 为常数， （1）当 时， 取最大值 ，求此函数在区间 上的最小值； （2）设 ，当 时，不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】 （1） 的最小值是1（2） 【解析】 （1）根据 的最大值可得 ，解出 ；求得 后，根据 的范围求得 的范围，结合正弦函数图象可求得最小值；（2）根据不等式 对 恒成立可得： 恒成立，然后利用三角函数的图象与性质求出 的最值，从而得到不等式，解不等式求得结果. （1）由题意得： ，解得： 当 时， （2） 即： 当 时， 即 ，整理得： 又 ，其中 ， ，解得： 不等式 对 恒成立时，。