高等数学上册第一章 函数与极限（一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性） ；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数 f (x) 在x连续lim f ( x) f ( x0 )0x x0第一类：左右极限均存在间断点 可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质： 有界性与最大值最小值定理、 零点定理、介值定理及其推论二） 极限1、定义1）数列极限lim xn a0, N, n N , xn an..2） 函数极限lim f ( x) A0,0, x, 当 0 x x0时， f ( x) Ax x0左极限： f ( x0 ) lim f (x)右极限： f ( x0 ) lim f ( x)x x0x x0lim f ( x) A 存在f ( x0 ) f ( x0 )x x02、 极限存在准则1） 夹逼准则：1） yn xnzn ( n n0 )lim ynlim zn alim x a2） nnnn2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若 lim 0 则称为无穷小量； 若 lim 则称为无穷大量2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k 阶无穷小Th1 ~ o( ) ;Th2 ~ , ~ , lim 存在，则 lim lim （无穷小代..换）4、求极限的方法1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：a)lim sin x1x 0x11) xb) lim (1x) xlim (1ex 0xx5）无穷小代换：（ x0 ）a) x ~ sin x ~ tan x ~ arcsinx ~ arctan x1 2b) 1 cosx ~ xc) ex 1 ~ x （ ax 1 ~ x ln a ）d)e)ln(1x) ~ xlog a (1x) ~ x（ln a ）(1 x)1 ~x第二章 导数与微分（一） 导数..1、定义： f ( x0 ) limf ( x) f (x0 )xx0xx0左导数： f(x0 )f ( x) f ( x0 )limxx0xx0右导数： f(x0 )f ( x) f ( x0 )limxx0xx0函数 f (x) 在 x0 点可导f( x0 ) f ( x0 )2、几何意义： f( x0 ) 为曲线 yf (x) 在点 x0 , f ( x0 ) 处的切线的斜率。
3、可导与连续的关系：4、求导的方法1） 导数定义；2） 基本公式；3） 四则运算；4） 复合函数求导（链式法则） ；5） 隐函数求导数；6） 参数方程求导；7） 对数求导法5、高阶导数d 2 yddy1） 定义： dx2 dx dx..n2） Leibniz 公式： uv (n )Cnk u(k )v( nk )k0（二） 微分1） 定义：y f ( x0x)f ( x0 ) Axo( x) ，其中 A 与x 无关2） 可 微 与 可 导 的 关 系 ： 可 微可 导 ， 且dyf ( x0 ) xf ( x0 )dx第三章 微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle定理：若函数 f (x) 满足：1 ） f ( x)C[ a,b]；2 ） f ( x) D(a, b) ；3 ）f (a)f (b) ；则(a, b), 使f( )0 .2、 Lagrange 中值定理：若函数f (x) 满足：1） f ( x)C[ a, b] ；2） f ( x)D (a, b) ；则(a,b), 使 f (b)f (a)f ( )(ba) .3、 Cauchy 中值定理：若函数f ( x), F ( x) 满足：1 ） f (x), F ( x) C[ a,b] ；2 ） f (x), F ( x)D(a, b) ； 3 ）..F ( x)0, x (a,b)则(a,b), 使 f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()（二） 洛必达法则注意 :1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分离非零因子）再用洛必达法则！如： lim1 x2cos xtan4xx 02、对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限，然后用洛必达法则！nnan b如： lim2n（三） Taylor 公式n 阶 Taylor 公式：..f ( x)f (x )f ( x )( x x )f ( x0 )( x x ) 20002!0f ( n) ( x0 )x )nf (n 1) ( )( x x)n 1( xn!0(n 1)!0在 x0与 x 之间 .当 x00 时，成为 n 阶麦克劳林公式：f ( x)f (0)f (0) xf (0) x2f ( n) (0) xnf (n1) ( ) xn 11!2!n!(n1)!在 0 与 x 之间 .常见函数的麦克劳林公式：1） ex1 x1 x21 xnexn 12!n!(n 1)!在 0 与 x 之间，x；2）x3x5x7x2 m 1sin(2m 1)( 1) m 12 x2 m 1sin x x5!7!( 2m 1)!3!(2m 1)!在 0 与 x 之间， x ；3 ）..x2x4x6( 1) m 1x2 m 2cos2mcosx 12 x2m2!4!6!(2m 2)!(2m)!在 0 与 x 之间，x；4） ln(1x)xx2x3x4(1)n 1 xn( 1)n xn 1n 1234n(n 1)(1)在 0 与 x 之间，1x 15）(1 x)1x(1) x2(1)(2) x3(1)(n 1) xn2!3!n!( 1)(n)(1) n 1xn 1 ，(n1)!在 0 与 x 之间，1x 1 .（四） 单调性及极值1、单 调 性判 别 法 ： f ( x)C[a, b] ， f ( x)D (a, b) ， 则 若f ( x) 0 ，则 f (x) 单调增加；则若 f ( x)0 ，则 f (x) 单调减少。
2、极值及其判定定理：a) 必要条件： f (x) 在 x0可导，若 x0为 f (x) 的极值点，则..f (x0 ) 0 .b) 第一充分条件： f ( x) 在 x0 的邻域内可导，且f ( x0 ) 0 ，则①若当 x x0 时， f ( x)0 ，当 x x0 时， f(x)0 ，则 x0为极大值点；②若当 。