6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点、根轨迹在实轴上的分离点与会合点 分离点或会合点的分离点或会合点的必要条件必要条件：： 式中式中 1 设设系统的开环传递函数系统的开环传递函数2 根轨迹在根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根即根轨迹上平面上相遇，表明系统有相同的根即根轨迹上的分离点的分离点(或会合点或会合点) 与特征方程式的重根相对应若为二重与特征方程式的重根相对应若为二重根，必同时满足根，必同时满足 和和 因此求得：因此求得：消去消去 ，可得到：，可得到：便于忘记，上式又可写成：便于忘记，上式又可写成： 或或 以上分析没有考虑以上分析没有考虑 (且为实数且为实数)的约束条件，所以只有满的约束条件，所以只有满足足 的这些解，才是真正的分离点（或会合点）的这些解，才是真正的分离点（或会合点）3 例例: 设系统设系统试求该系统根轨迹在实轴上的会合点试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。
解：系统的开环传递函数：解：系统的开环传递函数：求得：求得：代入特征方程代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：检验：s1代入，求得：代入，求得：K＜＜0，，故故s1舍去；舍去；s2代入，求得代入，求得K＞＞0 所以s2会合点舍去舍去) 4 检验检验K1只要得到的符号即可只要得到的符号即可,不必出具体的数值不必出具体的数值 一般来说一般来说:如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点零点)之间；则个分离点之间；则个分离点(会合点会合点) 如果根轨迹位于实轴上一个开如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点5 四重分离点四重分离点 复数分离点复数分离点6 另外两种表达形式另外两种表达形式：： (1) 因为因为令令 , 即得到即得到7 仍以上例说明仍以上例说明:因为因为令令求得求得(舍去舍去) 8 (2) 因为因为 即即 其中其中 即即 所以所以 -9 仍以上例说明仍以上例说明: 因为因为 消去分母消去分母 解上式得到解上式得到 经检验，经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。
是根轨迹在实轴上的分离点 对于采用上述三种方法，所得结果完全一致由于后面对于采用上述三种方法，所得结果完全一致由于后面两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定要检验，舍去要检验，舍去K＜0所对应的值所对应的值 （舍去）（舍去） 10 复杂情况用试探法复杂情况用试探法在在-2 -3之间存在一个分离点之间存在一个分离点所以分离点的位置为所以分离点的位置为 11 7、根轨迹的出射角与入射角、根轨迹的出射角与入射角 若根轨迹的一个分支离开复极点若根轨迹的一个分支离开复极点 的出射角为的出射角为 ，则，则 （各零点到（各零点到 的向量幅角的向量幅角 之和）之和） （其它各极点到（其它各极点到 的向量幅角的向量幅角 之和之和））若根轨迹的一个分支终止于复零点若根轨迹的一个分支终止于复零点 的入射角为的入射角为 ，则，则 (各极点到各极点到 的向量幅角的向量幅角 之和之和) (其它各零点到其它各零点到 的向量幅角的向量幅角 之和之和) 12 出射角出射角(或入射角或入射角)是指根轨迹离是指根轨迹离开复极点开复极点 (或终止复零点或终止复零点)处切线的处切线的倾角。
倾角 在根轨迹曲线上取试验点在根轨迹曲线上取试验点s1，与，与复极点复极点-pa的距离为的距离为 当当 时，可近似地时，可近似地认为认为s1在切线上，切线在切线上，切线的倾角就等于复极点的的倾角就等于复极点的出射角所以所以 的的出射角出射角: 13 8. 根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点 根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程 的的 值工作工作在此点在此点时，系，系统处于于临界界稳定状定状态介绍常用的三种方法介绍常用的三种方法1) 利用特征方程求取利用特征方程求取用用 替代替代s，令虚部、实部分别等于，令虚部、实部分别等于 零，求得零，求得 和对应的和对应的K12) 利用劳斯阵列求取利用劳斯阵列求取将劳斯阵列中将劳斯阵列中s2行系数构造的辅助行系数构造的辅助 方程求得若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯方程求得若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得的偶次方行的系数构造的辅助方程求得3) 利用试探法求取利用试探法求取。
先给出根轨迹的大致图形，根据经验先给出根轨迹的大致图形，根据经验 选择满足幅角条件的试探点求出选择满足幅角条件的试探点求出 ，再利用幅值条件确，再利用幅值条件确 定交点处的定交点处的K1值14 解：解： 起点：起点：0 －－3 －－1＋＋j －－1-j 终点：终点：∞ ∞ ∞ ∞ (1) 渐近线：渐近线：n-m=4 条倾角：倾角： 与实轴的交点：与实轴的交点： (2) 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹： 例例 试绘制根轨迹图试绘制根轨迹图15 16 (3)分离点：分离点：试探法求得试探法求得(4) –p2出射角出射角 :-p1,-p3,-p4到到-p2 的幅角分别的幅角分别 、、 、、 .所以所以同理不难求得极点同理不难求得极点-p3处的出射角：处的出射角：(5)根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求：方法一：由特征方程求： 特征方程特征方程 ：：17 实部方程：实部方程： 虚部方程：虚部方程： 解得：解得：方法二：由劳斯阵列求：方法二：由劳斯阵列求：列出劳斯阵列列出劳斯阵列令令 s1行首项为零，即行首项为零，即求求K1 得，再根据行得，再根据行s2系数得到辅助方程系数得到辅助方程(舍去舍去)1 . 13 = =w w1 . 12= =w w01= =w w18 9. 根轨迹的走向根轨迹的走向 当当n-m≥2满足时，随着满足时，随着K1增加，一些根轨迹分支向左方增加，一些根轨迹分支向左方移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。
移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动开环传递函数：开环传递函数：特征方程特征方程：： 当满足当满足n-m≥2 时，上式时，上式sn-1项将没有同次项可以合并，通项将没有同次项可以合并，通常把称之为极点的常把称之为极点的“重心重心”19 当当K1变化时，极点的重心变化时，极点的重心保持不变所以，为了平衡保持不变所以，为了平衡“重心重心”的位置，当一部分根的位置，当一部分根轨轨迹随着的增加向左方移动时，迹随着的增加向左方移动时，另一部分根轨迹将向右方移动另一部分根轨迹将向右方移动.例例20 10. 根轨迹上根轨迹上K1值的计算值的计算根轨迹上任一点根轨迹上任一点S1处的处的K1可由幅值条件来确定即可由幅值条件来确定即 = 21 例例: 系统的开环传递函数系统的开环传递函数试画根轨迹，并确定试画根轨迹，并确定 时时K1的值。
的值 解：只对根轨迹曲线的特征点进行分析解：只对根轨迹曲线的特征点进行分析 (1) 渐近线：渐近线：3条 渐近线的夹角：渐近线的夹角： 渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点：（（2）分离点：）分离点： 即即 （舍去）（舍去）22 （（3）与虚轴的交点）与虚轴的交点系统的特征方程：系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0令令 代入，求得代入，求得 实部方程实部方程: 虚部方程：虚部方程：解得：解得： (舍去舍去)（（4）确定）确定 时的时的K1 值：值： 过原点作过原点作OA射线交根轨迹于射线交根轨迹于A，， 使得使得 ，， 测量得测量得:求得求得23 A点对应的坐标，即闭环的一个极点位置点对应的坐标，即闭环的一个极点位置:K1时另外两个极点时另外两个极点同理可求得根轨迹在实轴上的分离点处对应的同理可求得根轨迹在实轴上的分离点处对应的K1=17。
24 绘制根轨迹图的十条规则绘制根轨迹图的十条规则序内容规 则 1起点终点起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括无限零点）2分支数等于开环传递函数的极点数（nm）3对称性对称于实轴4渐近线相交于实轴上的同一点：坐标为： 倾角为：5实轴上分布实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数25 序序内容内容规规 则则 6 6分离（回分离（回合）点合）点实轴上的分离（会合）点实轴上的分离（会合）点——（必要条件）（必要条件）7 7出射角出射角入射角入射角复极点复极点处的出射角：处的出射角： 复零点复零点处的入射角：处的入射角：8 8虚轴交点虚轴交点 （（1）满足特征方程）满足特征方程 的的 值；值；（（2）由劳斯阵列求得（及）由劳斯阵列求得（及K1响应的值）；响应的值）；9 9走向走向当当 时时 ，， 一些轨迹向右，则另一些将向左一些轨迹向右，则另一些将向左1010K1计算计算 根轨迹上任一点处的根轨迹上任一点处的K1：：26 一、复域分析一、复域分析1 1．稳定性分析：．稳定性分析：当当K1=240时，有一对虚根，处于临界稳定，输出等幅振荡。
时，有一对虚根，处于临界稳定，输出等幅振荡 当当K1>240时，根轨迹曲线进入时，根轨迹曲线进入S右半平面，系统有一对正实右半平面，系统有一对正实 部的共轭复根，因此系统处于不稳定状态部的共轭复根，因此系统处于不稳定状态 当当K1<240时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在S左半平面，系统是稳定的左半平面，系统是稳定的2 2．稳态性能分析：．稳态性能分析： 系统的开环根迹增益系统的开环根迹增益K1与开环放大系数成正比，因此对稳与开环放大系数成正比，因此对稳定的系统来说，定的系统来说，K1越大，越大，ess越小，稳态性能也越好，但越小，稳态性能也越好，但K1 最终最终不能大于不能大于240，否则，系统将出现不稳定状态否则，系统将出现不稳定状态4.3 控制系统性能的复域分析控制系统性能的复域分析27 3 3．动态性能分析：．动态性能分析：当当0
当当17
促使原根轨迹向右半部移动，稳定性下降设设 系统的开环传递函数：系统的开环传递函数：增加极点增加极点: s=-b: s=-b29 增加极点轨迹向右弯曲，渐近线角度由增加极点轨迹向右弯曲，渐近线角度由±900变为变为±600分离点向右移点向右移 (a) 稳定，稳定， (b) 在在K1小时稳定，小时稳定， K1大可能不稳定大可能不稳定a)(b)30 31 -2 2．增加零点．增加零点（以具体系统加以说明）（以具体系统加以说明） 对对G(s)H(s)G(s)H(s)函数增加零点，会使根轨迹向函数增加零点，会使根轨迹向s s平面左半部移动，平面左半部移动，系统的稳定性增加系统的稳定性增加增加一个实零点后的根轨迹增加一个实零点后的根轨迹32 增加一对共轭复数零点后的根轨迹增加一对共轭复数零点后的根轨迹33 3. 3. 闭环零、极点对系统动态性能的影响闭环零、极点对系统动态性能的影响 (1) (1) 闭环极点的分布决定了动态响应的类型闭环极点的分布决定了动态响应的类型( (振荡情况振荡情况) )；； (2) (2) 闭环零点的分布决定了瞬态响应曲线的形态和指标；闭环零点的分布决定了瞬态响应曲线的形态和指标； (3) (3) 闭环实数零点会减小系统的阻尼比，使系统运动速度闭环实数零点会减小系统的阻尼比，使系统运动速度 加快，超调量增大，峰值时间提前；加快，超调量增大，峰值时间提前； (4) (4) 系统的动态特性主要取决于系统的闭环极点；系统的动态特性主要取决于系统的闭环极点； (5) (5) 远离虚轴的极点远离虚轴的极点( (或零点或零点) )和偶极子对动态性能的影响和偶极子对动态性能的影响 可以忽略；可以忽略； (6) (6) 主导极点主导极点————对系统的动态性能起主导作用；对系统的动态性能起主导作用； 34 。