第 一 章集合、常用逻辑用语、不等式【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握考点基本不等式1.常考点：集合.常与一元二次不等式交汇命题，主要考查一元二次不等式的解法及集合的交、并、补运算.2.轮考点：常用逻辑用语、不等式的性质、基本不等式.(1)充分、必要条件的判断常与数列、平面向量等知识交汇命题，注重对基本概念、基本性质的考查；全称量词与存在量词命题常考查其否定形式的识别；(3)不等式的性质主要是数(式)的大小比较；(4)基本不等式主要体现在求代数式的最值.1112不等式的性质与解法11全称量词、存在量词充要条件17集合I1D2I1D1I1D22021 2022 2023 年格第 1课 时 集 合 考试要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义2理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.链接教材 夯基固本 落实主干激活技能C梳理必备知识1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号至和生表示.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法和图示法.(4)五个特定的数集的表示集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*(或 N+)ZQR2 .集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合4 B,如果集合Z中任意一个元素都是集合5中的元素，就称集合N为集合5的子集，记作ZU8或(8 2 4).(2)真子集：如 果 集 合 但 存 在 元 素 且x生4就称集合Z是集合8的真子集，记作/8或(5胡).(3)相等：若ZG8,且 匹 W，则Z=A提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.(2)若集合Z有 (2 1)个元素，则集合Z有2 个子集，有2 1个真子集，有2”2个非空真子集.3 .集合的基本运算并集交集补集图形表示AUBCOAQBu 0CM集合表示A B =,或ACB=,且C uA=xxU,I L x生出 常用结论1.4 C B=4=4 B,A U B=A B Q A.2.c a r d(Z U 8)=c a r d(/4)+c a r d(/，)一c a r d(/4 Q B).3.(C 必)n(c 毋)约；(C 必)u(c 苏)=仁乩1 0.C 激 活基本技能一、易错易混辨析(正确的打“J”，错误的打“X ”)(1)集合%1 ,3=X ,用列举法表示为1,0,1 .()(2)x y=x2 =yy=x2 =(x,j)y=x2).()若 1 G/,x ,则 x=1 或 x=l.()(4)直线y=x+3与了=2 x+6的交点组成的集合是1,4 .()答案(1)X (2)X (3)X (4)X二、教材经典衍生1.(人教A 版必修第一册P8例 1改编)集合/=2,3,4的 子 集 有()A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.9 个C A=2,3,4的子集个数为23=8,故选C.2.(多选)(人教A 版必修第一册P5习 题 改 编)若 集 合/=x.2 1 =0 ,则下列结论正确的是()A.1EA B.1曰C.0QA D.-1,1第 Z答案ABC3.(人教A 版必修第一册P35T9改编)(2023 新高考H卷)设集合/=0,-),B=1,a-2,2a2 ,若 Z G 8,则 a=()A.2 B.12C.-D.-13B 依题意，有a2=0 或2a2=0,当a2=0 时，解得。
2,此时Z=0,-2,B=1,0,2 ,不满足Z G 8;当 2a2=0 时，解得 a=l,此时Z=0,-1,B=-1,0,1 ,满足NCR所以 a=l,故选 B.4.(人教A 版必修第一册Pi4T4改编)设全集为R,集合Z=x|3WxV9,B=x|(x-2)(x-1 0)0 ,则C R(NU5)=,(C m)08=.x|xW2 或x210 x|2Vx3 或 9W x 10由题意，集合Z=x|3Wx9,8=x|2x10,可得 ZU8=x|2VxV10,所以 C R(ZU8)=X|XW2 或 xN10,又由C RN=x|x3 或 xN9,所以(C R/)D5=x2Vx3 或 9WxV 10.典例精研核心考点 重难解惑直击高考考点一集合的概念典例 1(1)已知集合2=1,2,3 ,则 3=(x,y)xA,一川 2中所含元素的个数为()A.2B.4C.6D.8(2)已知集合2=机+2,2m2+m ,若 3 Z,则机的值为.(1)C(2)-1(1)因为幺=1,2,3,所以 8=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),即 8 中含 6 个元素.故选C.(2)由题意得 m+2 =3 或 2m2+m =3,则 m =或 m=-.当m=l时，加+2 =3且2加2+加=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意；2 1a当掰=5时，掰+2=于 而2掰2+加=3,符合题意，故机=-.【教师备选资源】非空有限数集S满足：若a,bS,则必有 2,，a b S,则满足条件且含有两个元素的数集5=.(写出一个即可)0,1(或 -1,1 )由题意，不妨设S=a,b ,根据题意有序,ab,b2S,所以小，a b,按中必有两个是相等的，若 a2=b2 于 ab,则 a=-b,故 a b=一层，又 把=a,或 屋=/?=一4，所以a=0(舍去)或a=1或a=1,此时S=-1,1 ;若。
2 =仍?6 2,则口=0,此时人2 =6,故6=1或6 =0(舍去)，此时S=0,1 ,若b2=ab*a2,则b=0,此 时 序=4,故口=1或口=0(舍去)，此时S=0,1 ,综上，S=0,1 ,或5=-1,1 .名 师 点 评解决集合含义问题的注意点一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.跟进训练1.(1)(2 0 2 3 上海高考)已知集合尸=1,2 ,Q=2,3 ,若 凶=小 尸 且x庄Q ,则/=()A.1 B.2 C.1,2 D.1,2,3(2)已知集合幺=久e z ,则集合幺中的元素个数为()A.3 B.4C.5 D.6(1)A(2)C(1)V P=1,2 ,Q=2,3 ,M=xxP xQ,：.M=1 .故选A.(2):工Z,.x2 的取值有-4,-2,-1,1,2,4,的值分别为一2,0,x 21,3,4,6,又x G N,故x的值为0,1,3,4,6.故集合Z中有5个元素.考点二集合间的基本关系典 例2 (2023 江 苏 南 京 盐 城 一 模)设 =巾=：,/CGZ),N=尤k=k+；,k c z ,则()A.MN B.NiMC.M=N D.M C N=0(2)已知集合/=x|3WxW4,8=x|27 一 IWXW 机+1 ,且 8 G N,则实数机的取值范围是.(1)B(2)-1,+8)(1)因为=k+=等，因为左G Z,所以2左+1为奇数，故2 M故选B.(2)当8=0时，2机一1机+1,解得机 2;2m iW m+1,2m一 12 3,解得一 1WMW2.m+1W4,综上，实数加的取值范围是1,+8).【教师备选资源】在本例(2)中，若 把 改 为 历/,则 实 数 加 的 取 值 范 围 是.1,+)当5=0时，2加一1加+1,所以加 2;2m IWTM+1,2 m-1-3,7 7 1 +1 4,2m IWzn+1,2m 1 3,解得一1W加 W2.m+1W4,综上，实数加的取值范围是1,+8).名 师 点 评已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，“=”加不加.提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.跟进训练2.（2024 广东肇庆期中）设集合/=小2+1 5=0 ,集合5=3 一1 =0）,若则实数。
取值集合的真子集的个数为（）A.2B.3C.7D.8(2)(2024 福建厦门模拟)设集合N=x|lW xW 3,集合8=1 T,若&C B,写出一个符合条件的集合C,则写出一个即可)(1)C(2)x|lWxW4(答案不唯一)(1)由 X2 8X+15=0,得(一3)(-5)=0,解得x=3 或x=5,所以/=3,5.当a=0 时，B=0,满足8G4当 aWO 时，B,因为 BA,所以-=3 或-=5,得 口=；或.kaj a a 3 5综上，实数a 的取值集合为0,I，1),所以实数a 取值集合的真子集的个数为231=7.故选.(2)2=x|lWxW3,B=xxl,若 4 G B,则可有 C=x|lW xW 4.考点三集合的基本运算考向1集合的运算 典例 3(1)(2023 新高考3 卷)已知集合”=2,-1,0,1,2,N=x|x2x6 N 0 ,则/A N=()A.-2,-1,0,1 B.0,1,2C.-2 D.2全集小10,xGN*,AU,BQU,(C 毋)n/=l,9,AB=3,(CM)n(C uB)=4,6,7 ,贝 I MU8=.(1)C(2)1,2,3,5,8,9(l)Vx2-x-6 0,：.(x-3)(x+2)0,.xC3或 xW 2,N=x|xW2,或 x 2 3 ,则 MAN=2.故选C.(2)由已知条件可得。
1,2,3,4,5,6,7,8,9 ,画出Venn图如图所示.由图可得ZU8=1,2,3,5,8,9.考向2利用集合的运算求参数 典例4 已知集合/=任片4W0,8=x|2x+aW0,若Z U 5=5,则实数a的取值范围是()A.(8,2)B.(8,2C.(-4,+8)D.(8,-4 D 集合N=x|-2WxW2,8=胃，由 Z U 8=8 可 得 作 出 数 轴图如可知一彳 三 2,即aW4.名师点评解决集合运算问题的注意点(1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值.(2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简单明了.(3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图.(4)端点值验证.跟进训练3.(1)(2023 全国乙卷)设集合 U=R,集合=x|xl,N=x lx2,则 x|x N 2 =()A.C MUN)B.NUC uMC.C&MCN)D.MUC uN(2)(2024年 1 月九省联考卷)已知集合/=2,0,2,4,8=x|x3|W机 ,若/n B=z,则 加 的 最 小 值 为.(1)A(2)5(1)由题意，M U N=xx 0 ,则2必8=.(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,1 3,同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人.(1)0,1U(2,+0)(2)8(1)由题可知 8=(1,+8),所以 2 0 5 =(1,2.由题意得幺8=C 4(Zn8)UC B(NC8)=0,1U(2,+=).(2)设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为2,B,C,同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图.由全班共36名同学可得(266/+6+(1 5 46)+4+(134一%)+=3 6,解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.名 师 点 评 Venn图具有形象直观的特征，应 用Venn图可以解决两大类问题：一是处理部分有限集合的元素个数的计数问题；二是解决抽象集合的运算问题或判断集合间的关系问题.跟进训练4.(1)已知集合P,0均为R的子集，且(C RQ)U P=R,则()A.尸n 0=R B.PC.P D.尸UQ=R(2)某中学为了解本校学生阅读 西游记和 红楼梦的情况，随机调查了 100位学生，其中阅读过 西游记或 红。