1DigitalImageProcessing 数字图像处理http:/E-MAIL:2第八章小波图像编码38.1 8.1 概述概述 58.2 8.2 小波变换小波变换 6一维连续小波给定称为连续小波或分析小波称为连续小波或分析小波( (Analyzing Wavelet) Analyzing Wavelet) 叫基本小波或母小波（叫基本小波或母小波（Mother WaveletMother Wavelet）其中其中a a是伸缩因子，是伸缩因子，b b为平移因子为平移因子 定定义义义义 7一维连续小波变换CWT设|a|-1/2规范化因子，可使定定义义义义 是连续小波 记则函数的连续小波变换：8基小波或允许小波设则 为一个基小波或允许小波 定定义义义义 是连续小波且满足容许性条件： 9允许小波的性质1小波逆变换存在性且有 令令 是允许小波，对所有是允许小波，对所有有：有：10允许小波的性质2 2能量比例性能量比例性 上式为能量公式，在允许性条件下，小波变换幅度的平方上式为能量公式，在允许性条件下，小波变换幅度的平方的积分与信号能量成正比的积分与信号能量成正比 令令 是允许小波，对所有是允许小波，对所有有：有：11允许小波的性质3 3正则性正则性 p=1可直接由允许性条件验证，至于其他情况，能使上式成立的n越大越好.令令 是允许小波，是允许小波，要求其前要求其前 n n 阶原点矩为零，且阶原点矩为零，且 n n 越大越好，即越大越好，即12小波变换的性质1 1线性性线性性 如果如果则则13小波变换的性质2 2平移不变性平移不变性 如果则则14小波变换的性质3 3伸缩共变性伸缩共变性 如果则则15小波变换的性质4 4自相似性自相似性对应不同尺度参数和不同平移参数的连续小波变换之间是自相似的。
5 5冗余性冗余性（1）由连续小波变换恢复信号的重构公式不是唯一的也就是说，信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而Fourier变换与反Fourier变换是一一对应的2）小波变换的核函数即函数存在许多可能的选择（例如，非正交小波、正交小波、双正交小波,甚至允许是彼此线性相关的） 168.3 8.3 离散小波变换离散小波变换 17离散小波尺度离散化：尺度离散化：取一个合理的值a0，使尺度因子只取a0的整数幂，即定定义义义义 位移离散化：位移离散化：当尺度取当尺度取a0时，取位移时，取位移b=bb=b0 0，各位移为各位移为kbkb0 0当当 时，取时，取 ， 其中其中 固定的离散小波函数离散小波函数: : 18离散小波变换离散小波变换：离散小波变换：定定义义义义 改变改变a a和和b b的大小，以使小波变换具有的大小，以使小波变换具有“ “变焦距变焦距” ”的功能19离散小波变换定定义义义义 令：令：a0=2=2，b b0 0=1=1时，尺度为时，尺度为2j ，而位移为而位移为2j k k即：即：尺度为尺度为2j ，而位移为而位移为2j k k则：二进离散小波：则：二进离散小波：相应的小波变换记：相应的小波变换记：20框架理论 定定义义义义 设设 存在存在 ，对，对 有：有：则则 称为一个框架称为一个框架 如果如果A=BA=B，则框架为紧框架有：则框架为紧框架有：21框架理论 框架算子框架算子定定义义义义 称称 T T 为框架算子为框架算子 如果如果 是框架是框架 有线性算子：有线性算子：I恒等算子 22框架理论 对偶框架对偶框架定定义义义义 则则也是框架，且其框架界为也是框架，且其框架界为B B-1-1和和A A-1-1称称 是是 的对偶框架的对偶框架 设设 是框架是框架 令：令：23框架理论 对偶框架算子对偶框架算子 可以得到可以得到：设设 对偶框架对偶框架 的框架算子的框架算子则：则：248.4 8.4 多分辨率分析和多分辨率分析和MallatMallat算法算法 25多分辨率分析 则空间集合称为依尺度函数 的多分辨率分析 定定义义义义 若下列条件成立： (1)嵌套性：(2)稠密性： (3)分立性: (4)尺度性:(5)Riesz基存在性: 中一系列嵌套函数子空间序列 构成V0的Riesz基 且26小波分解和重建Vk一个多分辨分析, Wk是Vk关于Vk+1的补空间则：则：对分解分解 27小波分解和重建双尺度方程双尺度方程 令：令：则：则：分解分解 28小波分解和重建由：由：推广得：推广得：分解分解 29小波分解和重建由于由于 , , 分别是分别是对应空间的对应空间的RieszRiesz基：基：所以所以(a)分解分解 30小波分解和重建将a式代入得:分解分解 31小波分解和重建由于： ， 线性无关得分解算法:， 分解算法示意图分解算法示意图 分解分解 32小波分解和重建重建重建 33小波分解和重建由于： ， 线性无关得重构算法:小波重建示意图小波重建示意图 重建重建 348.5 8.5 MatlabMatlab中常用小波基介绍中常用小波基介绍 35常用小波函数介绍 n（1）Harr小波 尺度函数尺度函数36常用小波函数介绍 （2）Daubechies（dbN)小波系 除除db1db1（HaarHaar小波），其余的小波），其余的dbdb系列小波函数没有解析的表达式系列小波函数没有解析的表达式 37常用小波函数介绍 （3）Symltes（symN）小波系 sym sym 小波在保持小波在保持dbdb小波简单性的基础上提高了小波的对称性小波简单性的基础上提高了小波的对称性 38常用小波函数介绍 （4）Coiflet(coifN)小波族 具有更长支集长度和更大消失矩具有更长支集长度和更大消失矩, ,是对称性比较好的小波系是对称性比较好的小波系 coif3coif3的小波尺度、小波函数和分解重构滤波器的小波尺度、小波函数和分解重构滤波器 39常用小波函数介绍 （4）Biorthogonal（biorNr.Nd）双正交小波系 正交基与正交小波变换从数学角度上说是最理想的，但正交基与正交小波变换从数学角度上说是最理想的，但DaubechisDaubechis已经证明，除已经证明，除HaarHaar基外，所有正交基都不具有对称性。
这在图像编基外，所有正交基都不具有对称性这在图像编码这类型失真的应用中，会引入相位失真，是很不理想的，因此希码这类型失真的应用中，会引入相位失真，是很不理想的，因此希望有对称性质的小波基望有对称性质的小波基 CohenCohen和和DaubechiesDaubechies构造了一类具有紧支撑性和一定正则性的对称构造了一类具有紧支撑性和一定正则性的对称双正交小波基，它的主要特性体现在具有线性相位性，主要应用在双正交小波基，它的主要特性体现在具有线性相位性，主要应用在信号与图像重构信号与图像重构40常用小波函数介绍 （4）Biorthogonal（biorNr.Nd）双正交小波系 Bior2.4Bior2.4小波、对偶小波及滤波器小波、对偶小波及滤波器 41与小波函数有关的Matlab函数 WAVEINFO函数：提供小波工具箱中所有小波信息WAVEFUN函数： 返回一维小波的小波函数和尺度函数（如果尺度函数存在的情况下）的近似值WFILTERS函数： 返回指定小波的分解和重构滤波器42与小波函数有关的Matlab函数 例例8 82 2 MatlabMatlab程程序序waveinfo(db);%显示db系小波信息phi,psi,xval=wavefun(db2,10);%得到db2的尺度函数和小波函数subplot(242);plot(xval,phi,k);%显示尺度函数axis(03-0.51.5);axissquare;title(db2尺度函数);subplot(243);plot(xval,psi,k);%显示小波函数axis(03-1.51.5);axissquare;title(db2小波函数);lo_d,hi_d,lo_r,hi_r=wfilters(db2);%得到db2的相关滤波器subplot(245);stem(lo_d,ok);title(db2分解低通滤波器);subplot(246);stem(hi_d,ok)；title(db2分解高通滤波器);subplot(247);stem(lo_r,ok);title(db2重构低通滤波器);subplot(248);stem(hi_r,ok);title(db2重构高通滤波器);43与小波函数有关的Matlab函数 例例8 8。
2 2 结果结果448.68.6小波变换在图像编码中的应用小波变换在图像编码中的应用 45数字图像的小波分解 设设 是一个二维可分离的多分辨率分析是一个二维可分离的多分辨率分析， ，其中其中 是是 上的一个多分辨率上的一个多分辨率分析，其尺度函数为分析，其尺度函数为 ，小波函数为小波函数为 ，那么有相应于二，那么有相应于二维的可分离的尺度函数维的可分离的尺度函数 和三个可分离的方向敏感小和三个可分离的方向敏感小波函数波函数 ， ， 为：为： 46数字图像的小波分解沿着不同的方向小波函数会有变化，沿着不同的方向小波函数会有变化， 度量沿着列变化（例如，度量沿着列变化（例如，水平边缘），水平边缘）， 度量沿着行变化（例如，垂直边缘），度量沿着行变化（例如，垂直边缘）， 则对应于对则对应于对角线方向每个小波上的角线方向每个小波上的H H表示水平方向，表示水平方向，V V表示垂直方向，表示垂直方向，D D表示对表示对角线方向角线方向47数字图像的小波分解由前的尺度和小波函数，定义一个伸缩和平移的基函数由前的尺度和小波函数，定义一个伸缩和平移的基函数 ：48数字图像的小波分解同一维一样，可得到分解算法同一维一样，可得到分解算法 ：49数字图像的小波分解令分解序列为令分解序列为Lo_DLo_D和和Hi_DHi_D 数字图像小波分解数据流示意图数字图像小波分解数据流示意图 50数字图像的小波分解数字图像小波分解流程图数字图像小波分解流程图 51数字图像的重构同样，同样，则重构算法：则重构算法：令重构序列为Lo_R和Hi_R 数字图像小波分解数据流示意图数字图像小波分解数据流示意图 52数字图像的分解例例其Matlab程序如下：I=imread(cameraman.tif,tif);%读入并显示原始图像figure(1)；subplot(121);imshow(I);ca1,ch1,cv1,cd1=dwt2(I,db2);%用db2小波对图像进行一层小波解I2=ca1,ch1*4;cv1*4,cd1*4;%组成变换后的矩阵 %图像不能反映实际情况，要作一些处理。
min=min(I2(:);max=max(I2(:);subplot(122);imshow(I2,min,max);%显示变换后近似和细节图像X=idwt2(ca1,ch1,cv1,cd1,db2);%用idwt2作反变换rmes=compare(I,X)%反变换结果与原始图像比较53数字图像的分解例例二维小波一层分解图二维小波一层分解图 54数字图像的分解例例二维小波一层分解图二维小波一层分解图 55数字图像的分解例例多级二维小波变换结果多级二维小波变换结果 56小波基的选择 不同于不同于FourierFourier分析，小波基不是唯一，显然选择最优的小分析，小波基不是唯一，显然选择最优的小波基用于图像编码是一个非常困难的事，一般情况下需考虑以波基用于图像编码是一个非常困难的事，一般情况下需考虑以下几个因素：下几个因素：小波基的正则性和消失矩；小波基的正则性和消失矩；小波基的线性相位；小波基的线性相位；要处理图像与小波基的相似性；要处理图像与小波基的相似性；小波函数的能量集中性；小波函数的能量集中性；综合考虑压缩效率和计算复杂度综合考虑压缩效率和计算复杂度57小波基的选择 图像压缩中几种常用小波基图像压缩中几种常用小波基 N0133445/6419/64-1/8-3/643/1281/21/4。