2017年考研数学一真题及答案解析跨考教育数学教研室一、选择题: 18 小题,每小题4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . (1)若函数1 cos,0( ),0 xxf xaxb x-=在0 x =处连续,则()( )( )11()22()02A abB abC abD ab= -=【答案】 A 【解析】0011cos12limlim,( )2xxxxf xaxaxa+-=在0 x =处连续11.22baba=选 A. (2)设函数( )f x可导,且( )( )0f x fx,则()( )( )( )(1)( 1)(1)( 1)( )(1)( 1)(1)( 1)A ffB ffCffDff-【答案】 C 【解析】( )0( )( )0,(1)( )0f xf x fxfx或( )0(2)( )0f xfx,只有 C 选项满足(1)且满足(2),所以选 C3)函数22( , , )f x y zx yz=+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为()( )12( )6( )4()2ABCD【答案】 D 【解析】2(1,2,0)1 2 22,2 ,4,1,04,1,0 , 2.|u|3 3 3fugradfxy xzgradfgradfu=选 D. (4)甲乙两人赛跑, 计时开始时, 甲在乙前方10 (单位: m)处,图中实线表示甲的速度曲线1( )vv t=(单位:/m s) ,虚线表示乙的速度曲线2( )vv t=,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t(单位: s) ,则()051015202530( )t s(/ )v m s10200000( )10( )1520( )25()25A tBtC tD t=【答案】 B 【解析】从0 到0t这段时间内甲乙的位移分别为001200(t),(t),ttvdtvdt则乙要追上甲,则0210(t)v (t)10tvdt-=,当025t =时满足,故选C. (5)设是n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则()( )( )( )( )22TTTTA EB EC ED E-+-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】 A 【解析】选项A,由()0-=-=TE得()0-=TEx有非零解,故0-=TE。
即-TE不可逆选项 B,由()1=Tr得T的特征值为n-1 个 0,1.故+TE的特征值为n-1 个 1, 2.故可逆其它选项类似理解6)设矩阵200210100021 ,020 ,020001001002ABC=,则()( )( )( ),( ),A ACBCB ACBCCACBCD ACBC与 相似与相似与 相似与 不相似与 不相似与 相似与不相似与不相似【答案】 B 【解析】由()0EA-=可知 A 的特征值为2,2,1 因为3(2)1rEA-=, A 可相似对角化,且100020002A由0EB-=可知 B 特征值为2,2,1. 因为3(2)2rEB-=, B 不可相似对角化,显然C 可相似对角化,AC,且 B 不相似于C (7)设,A B为随机概率,若0()1,0( )1P AP B,则()()P A BP A B的充分必要条件是()( )()()()()()() ()()() ()()A P B AP B AB P B AP B AC P B AP B AD P B AP B A【答案】 A 【解析】按照条件概率定义展开,则选项符合题意8)设12,(2)nXXXn为来自总体( ,1)N的简单随机样本,记11niiXXn=,则下列结论中不正确的是()( )( )22221122221( )()2()( )()()nininiiAXBXXCXXD n X=-服从分布服从分布服从分布服从分布【答案】 B 【解析】221222122221( ,1),(0,1)()( ),(1)()(1)C1( ,),()(0,1), () (1),()(0,2),(1),B2iniiniinXNXNXn AnSXXnX Nn XNn XDnXXN=-=-正确,正确,正确,故 错误.由于找不正确的结论,故B 符合题意。
二、填空题: 9- 14 小题,每小题4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上 . (9) 已知函数21( )1f xx=+,则(3)(0)f=_ 【答案】(0)6f= -【解析】22220023211( )()( 1)11()( )( 1) 2 (21)(22)(0)0nnnnnnnnf xxxxxfxnnnxf=-=-=-+- -=-=(10) 微分方程230yyy+=的通解为y =_ 【答案】12(cos2sin2 )xyecxcx-=+, (12,c c为任意常数)【解析】齐次特征方程为21,223012i+= -+故通解为12(cos 2sin2 )xecxcx-+(11) 若曲线积分221Lxdxaydyxy-+-在区域22( ,) |1Dx yxy=+内与路径无关,则a =_ 【答案】1a =【解析】22222222,(1)(1)PxyQaxyyxyxxy-=+-+-由积分与路径无关知1PQayx= -(12) 幂级数111( 1)nnnnx-=-在区间( 1,1)-内的和函数( )S x =_ 【答案】()21( )1s xx=+【解析】1112111( 1)( 1)1(1)nnnnnnxnxxxx-=-=-=+(13)设矩阵101112011A=,123,为线性无关的3 维列向量组,则向量组123,AAA的秩为_【答案】 2 【解析】由123,线性无关,可知矩阵123,可逆,故()()()( )123123,rAAArArA=再由( )2rA =得()123,2r AAA=(14)设随机变量X的分布函数为4( )0.5( )0.5 ()2xF xx-=+,其中( )x为标准正态分布函数,则EX =_ 【答案】 2 【解析】0.54( )0.5 ( )()22-=+xFxx,故0.540.5( )()22+-=+xEXxx dxxdx( )0+=xx dxEX。
令42-=xt,则4()2+-xxdx=()242( )8 14( )8+=+=tt dttt dt因此()2E X =. 三、解答题: 1523 小题,共94 分.请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . (15) (本题满分10 分)设函数( , )f u v具有 2 阶连续偏导数,(,cos)xyf ex=,求0 xdydx=,220 xd ydx=【答案】2111200(1,1),(1,1),xxdyd yffdxdx=【解析】()()01212100222111221221222111220(,cos )(0)(1,1)sin(1,1)1(1,1) 0(1,1)( sin )( sin )sincos(1,1)(1,1)(1,1)xxxxxxxxxxyf exyfdyf efxfffdxd yf ef exf exfxf efxdxd yfffdx=+-=+=+-+-+-=+-结论:102111220(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)xxdyfdxd yfffdx=+-(16) (本题满分10 分)求21limln 1nnkkknn=+【答案】14【解析】2111221020001111 11limln(1)ln(1)ln(1)(ln(1)2214nnkkkxxx dxx dxxxdxnnx=-+=+=+=+-=+(17) (本题满分10 分)已知函数( )y x由方程333320 xyxy+-+-=确定,求( )y x的极值【答案】极大值为(1) 1y=,极小值为( 1)0y -=【解析】两边求导得:2233 33 0 xy yy+-+=(1)令0y =得1x =对( 1)式两边关于x 求导得( )22663 3 0 xy yy yy+=(2)将1x =代入原题给的等式中,得1110 xxoryy= -=,将1,1xy=代入( 2)得(1)10y= -将1,0 xy= -=代入( 2)得( 1)20y-=故1x =为极大值点,(1)1y=;1x = -为极小值点,( 1)0y -=(18) (本题满分10 分)设函数( )f x在区间0,1上具有 2 阶导数,且0( )(1)0,lim0 xf xfx+,证明:( )方程( )0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;()方程2( )( )( )0f x fxfx+=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
答案】【解析】(I)( )f x二阶导数,0( )(1)0,lim0 xf xfx+解: 1)由于0( )lim0 xf xx+,根据极限的保号性得0,(0, )x有( )0f xx,即( )0f x进而( )0(0,)0 xf有又由于( )f x二阶可导,所以( )f x在0,1上必连续那么( )f x在 ,1上连续,由( )0,(1)0ff根据零点定理得:至少存在一点( ,1),使( )0f=,即得证(II )由( 1)可知(0)0f=,(0,1),( )0f=使,令( )( )( )F xf x fx=,则(0)( )0ff=由罗尔定理(0, ),( )0f=使,则(0)( )( )0FFF=,对( )F x在(0, ),( , )分别使用罗尔定理:12(0, ),( , )且1212,(0,1),,使得12()()0FF=,即()2( )( )( )( )0Fxf x fxfx=+=在(0,1)至少有两个不同实根19) (本题满分10 分)设薄片型物体S是圆锥面22zxy=+被柱面22zx=割下的有限部分,其上任一点的密度为2229xyz=+记圆锥面与柱面的交线为C( )求C在xOy平面上的投影曲线的方程;()求S的M质量。
答案】 64 【解析】(1)由题设条件知,C的方程为2222222zxyxyxzx=+=则C在xoy平面的方程为2220 xyxz+=(2)2222222:22cos2202(x, y,z)99 221864ssD xyxmdSxyz dSxydxdydr dr+-=+=+=(20) (本题满分11 分)设 3 阶矩阵()123,A =有 3 个不同的特征值,且3122=+ )证明( )2r A =;()若123=+,求方程组Ax =的通解答案】(I)略; (II)通解为1121 ,11kkR+-【解析】(I)证明:由3122=+可得12320+-=,即123,线性相关,因此,1230A =,即 A 的特征值必有0又因为 A 有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1 个 0,另外两个非0. 且由于 A 必可相似对角化,则可设其对角矩阵为1212,00=( )()2r Ar=(II )由( 1)( )2r A =,知3( )1r A-=,即0Ax =的基础解系只有1 个解向量,由12320+-=可得()12311,22011A=-,则0Ax =的基础解系为121-,又123=+,即()12311,1111A=,则Ax =的一个特解为111,综上,Ax =的通解为1121 ,11kkR+-(21) (本题满分11 分)设二次型222123123121323(,)2282f x xxxxaxx xx xx x=-+-+在正交变换XQY=下的标准型221122yy+,求a的值及一个正交矩阵Q【答案】2212111326122;0,3636111326aQf xQyyy-= -=-+【解析】123(,)Tf x x xX AX=,其中21411141Aa-=-由于123(,)Tf x xxX AX=经正交变换后,得到的标准形为221122yy+,故214( )2|01110241r AAaa-=-=-,将2a =代入,满足()2r A =,因此2a =符合题意,此时214111412A-=-,则1232。