专题1 3最值模型-瓜豆原理动点轨迹问题是中考的重要题型，受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线一上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓 之“瓜豆原理”模 型 1、运动轨迹为直线模 型 1-1如图，P 是 直 线 上 一 动 点，连接A P,取 A P 中点当点P 在 上 运 动 时，点轨迹是？解析：当 P 点轨迹是直线时，点轨迹也是一条直线.理由：分别过A、向 作 垂 线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ,所以N 始终为A M 的一半，即点到B C 的距离是定值，故点轨迹是一条直线.模 型 L 2 如图，在a A P中AP=AQ,/H Q 为定值，当点P 在直线8 C 上运动时，求。
点轨迹？解析：当AP与 A夹角固定且ARAQ为定值的话，P、0轨迹是同一种图形理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得点轨迹线段最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值例 1.（2 0 2 1 四川绵阳中考真题）如图，在 ACD中，A D =6,BC=5,A C2 A B（A B +B C）,且DAB D C A,若 A D =3 A P,点是线段A B 上的动点，则P Q 的最小值是（）【答案】AAn rn【分析】根据相似三角形的性质得到丝=丝，得到34,A B =B D =4,过 B作于根BD AD据等腰三角形的性质得 到 河=；A D =3,根据勾股定理得到即/=，钻 2 _ 4 守=二 三=近,当时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论.【详解】解：ADAB皿4,糕J,袅比2解得：初=4（负值舍去）,2s r CD Q 3 4NDAB ADC4,=-=/.AC=-A BfAB AD 6 2 2AC2=AB（AB+BC）,.-.RAB I =AB（AB+BC）,，AB=4,;.AB=BD=4,过 B 作 B H q A D 于 H,44?-3?=，AD=3AP,AD=6,.-.AP=2,当尸 Q2AB 时，P。
的值最小,ZAQP=ZAHB=90,ZPAQ=ZBAH AAPQ AABH,=-AB BH,=哭，,PQ=4,故选：A-、7 1 2【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.例 2.（2021 四川广元 中 考 真题）如图，在 M C 中，Z A C B =90,AC=8C=4,点是BC边的中点，点 P 是 AC边上一个动点，连接P D,以尸为边在尸的下方作等边三角形P连接C Q.则CQ【答案】BC.垃D.22【分析】以 C为边作等边三角形C D E,连接E由题意易得BPDCWQDE,P D=Q D,进而可得SiPCDiQED,则有回尸回 0 即=90然后可得点是 在 所 在 直 线 上 运 动，所 以 CQ的最小值为C回 QE时，最后问题可求解.【详解】解：以 CO为边作等边三角形C C E,连接E Q,如图所示：B0 即是等边三角形，国 /CED =NPDQ=NCDE=60PD=QD,CD=ED,EEC是公共角，EPDC=SQDE,PCDSQED（SAS）,0ZACB=90,AC=BC=4,点是 BC边的中点，3回 。
回即=90CD=DE=CE=；BC=2,回点是在QE所在直线上运动，团 当 CQEIQE 时，C取的最小值，0 QEC=90-ZCED=30,ElCQ=；CE=l；故选 B.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含 30直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含 30直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键.例 3.（2022湖北鄂州市三模）如图，在边长为6 的正方形ABCD中，尸是边AD的中点，E 是边A3上的一个动点（不与A 重合），以线段AE为边在正方形内作等边AEF,M 是边E尸的中点，连接尸河，则在点E 运动过程中，尸河的最小值是（）A.-B.币 C.D.32 2【答案】C【分析】连接A M,在点E 运动过程中，点 M 在SEAF的平分线上，所以当AMBPM时，取得最小值,根据等边三角形的性质得到AMBER EIE4M=30求得IBB4M=60进而即可得到PM 最小值.【详解】解：回尸是边AO的中点，AD=6,EAP=3,如图，连接AM,r).cu IA E BE l 等边A E F,A/是边E 产的中点，H A M 平分E I E A E团在点E运动过程中，点 M在 回 E A F 的平分线上，回当A M 0 P M 时，PM取得最小值，国/是等边 AEF的边E 尸的中点，SPMAM,E E A M=30,0 m M=6 O,E P A/=A P=,故选：C.2 2【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，推出在点E运动过程中，点 M在回必尸的平分线上，是解题的关键.例 4.（20 22山 东日照 中考真题）如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A的坐标为（0,4）,尸是无轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转6 0。
得到线段P F,连接O F,则线段尸 长 的 最 小 值 是.【分析】点尸运动所形成的图象是一条直线，当无时，垂线段O 尸最短，当点用在尤轴上时，由勾股定理得：4孚，进而得用4 =44=46=半，求得点B 的坐标为度,当点尸2在 y轴上时，求得点八的坐标为（0,-4）,最后根据待定系数法，求 得 直 线 的 解 析 式 为 y=4,再由线段中垂线性质得出与心=4 片=手，在 R f A O B B 中，设点到/小2的距离为力，则根据面积法得葭 0 中 0 舄=1 片勺/2,即 逑x4,x+叵x/7,解得a=2,根据垂线段最短，即可得到线段尸的2 2 2 1 2 2 3 2 3最小值为2.【详解】解：回将线段B 4 绕点尸顺时针旋转6 0得到线段P R0 0 A P F=6 O,PF=PA,E E A P F 是等边三角形，AP=AF,如图，当点用在X 轴上时，AP/A B 为等边三角形，则0 A P/F/=6 OAOPjFi，SPJOFJO,E A O B=9 0,f f l P/A（?=30,且 A 0=4,由勾股定理得：p Q =F、O=q ,回 A=IG=AE=，回点B的坐标为 W，。
如图，当点尸2在 y 轴上时，瓯尸公尸2为等边三角形，AOSP2O,0 A O=/24,回点尸2的坐标为（0,-4）,3回点厂运动所形成的图象是一条直线，回当旗尸户2时，线段尸最短，设直线入尸2的解析式为产f c l+b，4 近 k+h=C k=则亍，解得，回 直 线 的 解 析 式 为 y=6.4,.b=-4b=-4 i0 A o=B O=4,AOBiPiFj,S1FF,=AE=,在 MHOBB 中，0 R 3 B 尸 2,1 2 1 3设点0到F1F2的距离为h,贝 IO 耳xOF2=XF1F2 xh,回&逑X4 =L 8X/I,解得力=2,即线段尸的最小值为2,故答案为2.2 3 2 3【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用.例 5.（2 0 2 2 福建福州模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=gx +2 上的一个动点，将绕点尸（-1,0）逆时针旋转9 0得到点Q ,连接最 小 值 为.【答案】7 5【分析】设0（2,1力+2）,作ABIx轴，作AQLAB,作根据A 4 s可证明V/用 三V60P,由此2可求0（-/1 -3 +1）,令 入=-；t-3,y=t+l,可得Q 在直线y =-2 x-5上运动，当OQ工EQ时，O Q 的值最小，再由t a n/C D O =得t a n N鳏=1,进而得出0 E =5,即可得出答案.2 2【详解】设0（t,；t+2）,过点尸作ABIx轴，过点。
作A Q _ L A B交于A点，过点作Q：B _ L AB交于8点，0 Z W =9 0 ,AQPA+AQPB=9 0 .AQPA+NAQP=9 0 ,0/QPB=A A Q P.QP=QP,0 APQi BQP(AAS),Q A =P B,AP=QB.团 P(1,0)，回0 4 =一 方 -1,AP=-t +2,团 0 (!方一 3 +1),2 2令 x t 3 j y=，+l,回y =-2x 5,团点在直线y =-2x-5上运动，当 廊 时，O Q 的值最小.在 =工彳+2 中，令 x=O,贝 l y=2,令 y=O,则=,0 C(O,2),D(-4,O),0 t a n Z C (9 =-.22ACDO=AOEQ,E l t a n/O E Q =：,QE=2在y =-2x-5中，令x=0,贝!J y=-5,回(0,5),0O E=5.E KEQ）2=0E2,即5（2 5,解得0 0，=&,所以的最小值 为 君.故答案为：7 5 .【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，确定点0 的运动轨迹是解题的关键.例 6.（2 0 2 2 河南南阳二模）如图所示，A B =4,BC=8,A B SBC于点8,点。
是线段B C上一个动3点，且石于点t m Z D A E =,连 接 C E,则 C E 长 的 最 小 值 是._ _ _ _ _ _ _ _ _:【详解】解：在 3 c 上截取，则，中，0 ，回 在 中，|F1 后 ,【点睛】本题主要考查相似的性质与性质，正确作出辅助线是解题的关键.a B C=1 2,回8=13,0B=g B -Q E=8,故选：B.【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定点运动的规律，从而把问题转化为_|DAF+WAF=DAB=90,同44 幻匝34=90回 点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB,O G,如图:在 R/EL4O8 中，回48=90回8=团当且公当G,8三点共线时8G取得最小值.【详解】如图所示，回边长为6的等边又 回 0,:即 故答案为:【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识.关IA/0E 7BD【答 案】#【分析】连接A C,以BE为直径作，先证明点G在 上，连接A M,当AM于 交于点G时,时 AG 最短，再求得 8E=AE=,CE=A E=1,则 8 E=1,得至U CM=C0AC=AB=,SBE=AE=,CE=AE=1,SCM=CE+ME=2,EL4Af=,BAG=AMMG=,I【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、解直角三角形等知识，作。