数 学 思 想 史讲 义杜 文 久西南大学数学与统计学院第一章 数学的起源数学是从那里来的？它又将走向何方？了解这一点对每一个数学工作者来说，都是十分重要的，因为只有了解了数学的来龙去脉，我们才能更好地掌握数学的未来英国科学史家丹皮尔（）曾经说过：“再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了”数学是历史最悠久的人类知识领域之一，从远古屈指计数到现代化高速电子计算机的发明；从量地测天到抽象严密的公理化体系，在五千余年的数学历史长河中，重大数学思想的诞生与发展，构成了科学史上最富有理性魅力的题材学习数学史无论对于深刻认识作为科学的数学本身，还是全面了解整个人类文明的发展都具有重要意义 第一节．数的概念的产生数的概念是从何时开始产生的，现在已经无法考证了，但可以肯定的是，早在现代文明建立起以前，人类就已经有数的概念了据考证，在人类的早期，人类对数的认识只有1和多这两个概念，而没有1，2，3，4等等这样的概念例如今天在非洲的一些原始部落，在人们的心中，就只有1和多，而没有其他的数的概念新生的婴儿只能区分一和多，而不能区分二和三等概念澳洲的一些土著居民能区分1，2，3，4，但更多的数也就不能认识了。
不但人有数的概念，一些动物也有数的概念，一个人类学家曾经记载了这样一个故事：一个田主发现在他的了望楼上，有一只乌鸦在筑巢，他恨死了这只乌鸦，决定要打死它但每当他走进了望楼时，乌鸦就飞走了它在远远的一棵树上站着，一直等到田主离开了望楼以后才飞回来田主对此毫无办法后来，田主经过苦思幂想，终于思得一计第二天，两个人走进了了望楼，但一个人出来，田主藏在了了望楼然里然而，聪明的乌鸦识破了田主的阴谋诡计，它知道进去的是两个人，走了一个人，还剩一个人它没有上田主的当，一直等到田主离开以后才飞回来这说明乌鸦能区分1和2田主的阴谋失败了田主一计不成，又生一计第三天，三个人走进了望楼，两个人出来然而聪明的乌鸦仍然识破了田主的诡计，它知道进去的是三个人，走了两个，还剩一个这表明乌鸦能分辨二和三第四天，四个人进去，走三个，但乌鸦仍未上当，它能够分辨三和四第五天，五个人进去，走四个这一次，乌鸦上当了，它分不清4和5，结果被田主打死了这个例子表明，乌鸦能够分清1，2，3，4但大于4的数它就分不清了这个例子说明，在对数的原始概念的认识上面，人类并不比动物高明随着人类社会实践的不断发展，人们对数的概念的认识也逐渐发展起来。
历史考证表明，古人是通过结绳来记数的中国的一本古书《周易，系词传》上写到：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”就是说，在上古时期，人们是利用结绳记数来治理国家，而后代的圣人则利用书写的方式来治理国家结绳记数法相当于我们现在的一一对应比如，为了记住羊圈内羊的只数，古人用的方法是圈进一只羊在绳上打一个节当把羊圈进完后，绳上节的个数就等于圈内羊的个数在我国新疆的一些地区，至今仍保持着这一习惯有的地区用小石子或是木条上刻痕来进行记数在原始社会时期，由于生产力的发展，人们手上有了剩余产品，需要进行交换比如，用一头羊交换一匹布，就是说一头羊和一匹布是等值的，这一交换方式也体现了一一对应思想约在公元前九世纪，古希腊诗人荷马给我们留下了一则十分优美动人的一一对应的故事：奥德修斯，希腊神话中的英雄，他是伊塔刻国王在特洛伊战争中奥德修斯屡建奇功，尤其是他的献木马计，使希腊军队取得了决定性的胜利在回国途中，奥德修斯误入独眼巨人波吕斐摩斯的洞穴，他的部份随从被巨人吃掉最后，聪明的奥德修斯用酒将巨人灌醉，弄瞎了巨人的独眼后，逃出了巨人的洞穴那个不幸的老巨人从此再也看不见东西了，于是他每天早上都把守在他的洞口他每放一头羊出洞，就从一堆石子里捡起一个，晚上羊回来的时候，他每让一头羊进洞，就把早晨检起来的石子扔下一个。
这样，如果把检起来的石子都扔完了，他就确定他的整个羊群都回来了在古巴比仑和埃及的数学登场以前，人类在数学上几乎没有什么进展，长期停滞在刻痕识数，结绳记数这一最原始的记数方法中，足见数学迈出头几步是何等的困难直到巴比仑和埃及的数学出现以后，数学才开始进入了一个缓慢的发展时期第二节．巴比仑的数学1．历史背景在公元前4000年左右，在西南亚的底格里斯河和幼发捡底河之间的新月形地区（现伊拉克境内），古称“美索波达米亚”地区，大体上相当于现在的伊拉克共和国境内的一部分，居住着以苏美尔人和阿卡德人为主的一些民族，这些民族居住在独立的城邦里，如巴比伦、多尔、克希等，在这一时期，苏美尔人创造了巴比伦文明，在大约公元前2250年左右达到高峰但在公元前2500年左右，苏美尔人就受阿卡德人政治控制，阿卡德人是闪族，他们的主要城市是阿卡德，当时的统治者是Sargon，在阿卡德人统治时期，苏美尔的文化被阿卡德文化所淹没了公元前1000年左右，由于民族迁徙和铁器的使用，使社会生产方式发生了大变化大约在公元前800年左右，这一地区被原居住在底格里斯河上游的亚述人所控制一个世纪后，亚述帝国为迦勒底人和米太人所控制米太人与波斯人种接近，美索波达米亚史上的这段时期（公元前7世纪），通常称为迦勒底时期。
公元前540年左右，近东地区为波斯人所征服公元前330年，希腊军事领袖亚历山大（Alexander the great ）征服了美索波达米亚，从公元前330年到基督诞生这一时期称为塞流卡斯时期巴比仑所创造的数学大部分出现在塞流卡斯时期之前2．数的记号记载数字的方法起源于苏美尔人，苏美尔人最初用芦管在粘土版上划出痕迹来记数，划出痕迹“”代表“1”，竖划痕迹“”代表10，公元前2500年左右，巴比仑人改用断面呈三角形的尖笔，在粘土版上压出楔形来记数，泥版经烘烤后能完整保存下来，这种文字称为楔形文字（图）巴比伦人的整数写法如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 30 40 50 60 70 80 120 130 巴比伦人的记数系统是人类历史上第一个记数系统。
它是60进位的，关于这一点，可根据地质学家W·W劳夫斯于1854年发掘出来的两块泥版（称为森开莱泥版）证明在两块泥版中，有一块刻着一个数列，用现代的记数符号来表示，前7个数是：1、4、9、16、25、36、49显然这是一个自然数平方数列那么，按道理接下去定是64、81、100、121、等然而，记载却是、、…直到，但 ， ， 因此可以断定巴比仑记数系统60进位制的巴比仑的六十进制数对数学的发展产生了很大的影响，至今，六十进制数仍在使用，如角度，时间就仍然在使用六十进制起初，巴比仑人没有用一个记号来表示某一位上没有数，因此他们写的数的意义是不确定的例如， 可以表示80或3620，这取决于头一个记号是表示60或3600后来，巴比仑人又用留空位的办法来表示数字中间某位没有数例如 ， 可能代表，但这样仍容易引起误解 3）分数巴比仑人经常使用分数，而且分母总是常数60，巴比仑人并没有现代意义下的分数记号，而是与表示整数的记号混淆在一起，例如 表示分数时，表示20/60，又如 （） 可表示，也可以表示，还可以表示等等。
只有这几个分数特殊，他们分别用、、表示，对于这些特殊的分数，巴比仑人是把他们当成整数来看待的例如，一元钱与一角钱对比时，可把一角钱写1/10元，但1/10元本身又被看成一个单位：1角由此可见，巴比仑的记数系统是不严密的，它是进位制的（60进1），但没有引进位置制，因此对于一个数的表示经常出现歧义至今不知道巴比仑人为什么要采用60进制，他们的进位制“60”怎么来的，但进位制对现代数学的影响却是无形的如今的三角学中，我们仍然在用60进位制系统来划分角度这就是受了巴比仑的影响3．算术运算1） 四则运算在巴比仑的记数系统中，代表1的“”和代表达式10的“”是基本记号，从1到59以内的数无需进位，只是用一个或几个记号表示而成的因此从1到59内的加减只需要加上或去掉这样的记号就行了① 加法：巴比仑人把数字合在一起表示相加例： 若用巴比仑的方式；相当于 减法：用记号表示，它表示从一个数中去掉另一个数例：，用巴比仑记号则为 ② 乘法：巴比仑人的乘法是在整数范围内进行的，其记号是 他们的作法是这样的：比如要求，那么就先将10乘以2，，再将2乘以2，即 。
这一作法相当于我们现在的乘法分配律，为便于计算巴比仑人将到编制了乘法表③ 除法：巴比仑的除法是整数除以整数的运算，其方式是采用取倒数相乘他们把倒数化为60进制的小数，然后再相乘，例如，他们有倒数表，可以查出1/a形式的数（其中）怎样表示成60进制的“小.数”，有些数表给出其1/7，1/11，1/13等的近似值，因为这些分数所化成的60进制的小数是无限循环的下面是巴比仑人的一个倒数表中的一些数：igi2gaLl—bi30igi3gaL—bi20igi4gaL—bi15igi6gaLl—bi10………………igi27gaL—bi2,13,202）乘方、开方运算巴比仑人也利用数表来进行平方、立方、开平方、开立方运算，例如，他们有一张形如的数表，其用途看来是为了解这类三次方程，被表示为、被表示为，这些达到了很好的近似程度巴比仑人用的什么方法来开方，目前还不甚清楚但是从一个相当于求长和宽为的矩形对角线的长度时，可以看出他们实际上是用了近似公式： 用现在的观点来看，当时，这个公式是合理的，因为 ，按二项式展开，取其前两项，就得到了这个结果4． 巴比仑的代数最早的代数语言是巴比仑人在使用苏美尔人的旧教材过程中产生的。
在苏美尔人的象形文字中，每一个字代表一个独立概念，巴比仑人用自已的语言来记这些符号，但保持它的原意，这些符号后来成为代数的标准语言例如，他们采用（长）、（宽）、（面积），这些记号系代表未知量，而这些未知量还不一定是它们原来所代表的几何量，这可能是因为很多代数问题都与几何问题有关1）代数方程巴比化人用一些特殊方法解出了一些二次、三次、四次甚至五次代数方程例如，有这样一个问题，求一个数，使它与它的倒数之和等于另一个给定的数，用现在的符号来表示，就是，即 巴比仑人的解答相当于，这同现在与求根公式是一致的，后来巴比仑人实际上知道二次方程的求根公式后来还有三次方得到的问题，其中一个问题若用现在的符号写下来就是， ，，，解这个问题必然要遇到开立方问题，巴比仑人用我们上述的表来解这类问题还有这样一个问题：“我们把长、宽相乘得面积10，我们把长自乘得面积，我们把长大于宽的量自乘，再把这个结果乘以9，这个面积等于长自乘所得的面积，问长和宽各是多少。