积分中值定理及其应用

学号：学号：**************************师范大学师范大学 学士学位论文学士学位论文题题 目目 积分中值定理及其应用积分中值定理及其应用学学 生生 nfa( )g x上可积，在点的右极限存在，且，则第二积分中值定理中的满足[ , ]a ba(0)0g a.0lim,( , )1xaanxa bxan 定理 19：假设函数在上单调，函数在点的右导数存在，并且有；( )f x[ , ]a b( )f xa(0)0fa在上存在直到阶导数，且有在点连续，并且满足( )g x[ , ]a bm()( )mgxa，，则第二积分中值定理中的点满足(1)( )(0)(0)0mg ag agaL()(0)0mga.1 01lim,( , )2m xaaxa bxam  定理 20：假设函数在上单调，在上有直到阶的导数，在点连续，并( )f x[ , ]a b[ , ]a bn( )( )nfxa且在点的右导数满足，；在a(1)(0)(0)(0)0nfafafaL( )(0)0nfa( )g x上存在直到阶导数，在点连续，且满足，[ , ]a bm()( )mgxa(1)( )(0)(0)0mg ag agaL，则第二积分中值定理中的点满足.()(0)0mga1 0lim,( , )1m xaanxa bxamn  6 6 积分中值定理的应用积分中值定理的应用6.1 估计积分值例 1 估计的积分201 0.5sinxdx x解：由于，111 1 0.51 0.5sin1 0.5x 即.21231 0.5sin x于是204431 0.5sinxdx x此时可得到估计的积分值为.2084(1)1 0.5sin33xdx x 例 2 估计的积分2sin,(0)bax dxab解：设.则xt，2221sinsin2bbaatx dxdtt其次，假设和，则单调下降，并且有.于是，( )sinf tt1 2( ) tt( ) t( )0t22221sin11sin(coscos )222baatdxtdxaaat2211sinsin22aa aa其中，.因此22ab1.2sin(1)bax dxa例 3 证明等式.sinlim0npnnxdx x证法 1：由第一积分中值定理可知，sinsinlimlim0npnnnnnxx 其中位于和之间的某个值.nnnp证法 2：由第二积分中值定理可知得sin1sinnnpnnxdxxdxxn，11coscos0()nnnnn 其中位于和之间的某个值，于是.nnnpsinlim0npnnxdx x2、求含定积分的极限例 4 求极限120lim1nnx x解：利用广义积分中值定理1122001lim11n nnxdxx dxx1 1 02211[],(01)11(1)(1)nx nn 则12201limlim01(1)(1)nnnxdxxn3、 确定积分号例 5 确定积分的符号131xx e dx 解：101013333311010()()xxxtxx e dxx e dxx e dxxtt e dtx e dx 010113333310100()txtxxxt e dtx e dxt e dtx e dxx eedx 由积分中值定理可知其中.1331()0xx e dxee(01)又在上不恒为 0，则有，即的符号为正号.3xx e[ 1,1]1310xx e dx 131xx e dx 4、 比较积分大小例 6 比较积分和的大小34 0sin x 24 0sin x 解：当时，，从而有，于是我们有(0,)4x0sin1x320sinsin1xx，即小于等于.3244 00sinsinxx 34 0sin x 24 0sin x 5、 证明函数的单调性例 7 设函数在上连续，其中，试证：在内，若( )f x(0,)0( )(2 ) ( )xF xxt f t dt(0,)为非减函数，则必为非增函数.( )f x( )F x证明：利用分歩积分法，将化为( )F x000( )(2 ) ( )( )2( )xxxF xxt f t dtxf t dttf t dt对上式求导，可以得到：.00( )( )( )2( )( )( )xxF xf t dtxf xxf xf t dtxf x由积分中值定理，可得：.( )( )( )( ( )( )),(0)F xxfxf xx ff xx若为非减函数，则有成立，因此可以得到，故为非增函数，( )f x( )( )0ff x( )0F x( )F x命题得证.6、 证明定理例 8 证明（阿贝尔判别法）如果在上可积，单调有界，那么收( )f x[ ,)a ( )g x( ) ( ) af x g x dx敛.证明：由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间上（其中） ，存在[ ,]A A,A Aa ，使得[ ,]A A.( ) ( )( )( )()( )AAAAf x g x dxg Af x dxg Af x dx因为在上可积，则收敛，所以对于任何，存在，使得当( )f x[ ,)a ( ) af x dx00Aa时，成立0,A AA.( ),( )AAf x dxf x dx又由0( ),,g xLA AA所以当时，有( ) ( )( )( )()( )AAAAf x g x dxg Af x dxg Af x dx，( )( )()( )2AAg Af x dxg Af x dxL根据柯西收敛原理可推知积分收敛.( ) ( ) af x g x dx备注 2： 当讨论无界函数广义积分时，可将阿贝尔判别法可改写为：假设在有奇点，收敛，单调有界，那么积分收敛.( )f xxa( )baf x dx( )g x( ) ( )baf x g x dx证明：对应用第二积分中值定理，证明过程略.( ) ( )aaf x g x dx备注 3：当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的阿贝尔判别法可写为：假设关于为一致收敛，关于单调（即对每个固定的，( , ) af x y dx[ , ]yc d( , )g x yx[ , ]yc d作为的函数是单调的） ，并且关于是一致有界的，即存在正数，对所讨论范围内的一切( , )g x yxyL成立：.那么积分, x y( , )g x yL( , ) ( , ) af x y g x y dx关于在上是一致收敛的.y[ , ]c d证明：由于关于是一致收敛的，则对于任意正数，存在，( , ) af x y dx[ , ]yc d00Aa当时，成立0,A AA.( , )AAf x y dx因此，当时，将看成给定常数，则由积分第二中值定理中的公式0,A AAy( , ) ( , )AAf x y g x y dx( )( )( , )( , )(, )( , )yAAyg A yf x y dxg A yf x y dx因为对任意的都有，则., x y( , )g x yL( , ) ( , )2AAf x y g x y dxL因此，关于在上是一致收敛的，命题得证.( , ) ( , ) af x y g x y dxy[ , ]c d例 9 证明（狄里克莱判别法）如果有界，即存在，使得( )( )AaF Af x dx0K 单调且当时趋向于零，那么积分收敛.( ), ( )Aaf x dxK g xx  ( ) ( ) af x g x dx证明：因为，所以对任意的，存在，当时，( )0()g xx 00A0,A AA，.又因，所以( )g A()g A ( )Aaf x dxK，( )( )( )2AAaaf x dxf x dxf x dxK同样我们有 .( )2Af x dxK 由第二积分中值定理，只要，就有0,A AA( ) ( )( )( )()( )4AAAAf x g x dxg Af x dxg Af x dxK所以积分收敛，命题得证.( ) ( ) af x g x dx备注 4：当讨论无界函数广义积分时，我们可将狄立克莱判别法写为：设在有奇点，是的有界函数，单调且当时趋于零，那么积( )f xxa( )baf x dx ( )g xxa分收敛.( ) ( )baf x g x dx证明：对应用第二积分中值定理，证明过程略.( ) ( )aaf x g x dx备注 5： 当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的狄立克莱判别法写为：设积分对于和是一致有界的，即存在正数，使对上述成立( , )Aaf x y dxAa[ , ]yc dK,A y( , )Aaf x y dxK又因为关于是单调的，并且当时，关于上的一致趋于零，即( , )g x yxx  ( , )g x y[ , ]c dy对于任意给定的正数，有，当时，对一切成立0A0xA[ , ]yc d，( , )g x y那么积分关于在上是一致收敛的.( , ) ( , ) af x y g x y dxy[ , ]c d证明：由所假设的条件可推知对任何，有,A Aa( , )( , )( , )AAAAaaf x y dxf x y dxf x y dx( , )( , )2AAaaf x y dxf x y dxK而由和上式可推知，当时( , )g x y,A Aa( )( , ) ( , )( , )( , )AyAAf x y g x y dxg A yf x y dx，( )(, )( , )224Ayg A yf x y dxKKK 因此，关于在上是一致收敛的，命题得证.( , ) ( , ) af x y g x y dxy[ , ]c d参考文献：参考文献：[1] 陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版上册）.北京:高等教育出版社，2004.294-310[2] 陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版下册）.北京:高等教育出版社，2004.165-170[3] 陈传璋、金福林等编.数学分析（下册）.北京：高等教育出版社，1983. 286-288[4] 陈传璋、金福林等编.数学分析（上册）.北京：高等教育出版社，1983. 51-56， 252[5] 同济大学应用数学系.高等数学（第五版上册）.北京：高等教育出版社，1996. 232THE MEAN-VALUE THEOREM AND ITS APPLICATIONAbstract:The main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the。