第7章 互感与变压器,,7.1 互感元件 7.2 互感线圈的串、并联 7.3 理想变压器 7.4 实际变压器 本章小结 阅读材料：涡流现象及其应用 实验11 单相铁芯变压器特性的测试,7.1 互感元件 7.1.1 互感与互感电压 1．互感的基本概念 两个相邻的载流线圈，当任一线圈中的电流发生变化时，它所产生的变化磁场，将使位于它附近的另一线圈中的磁通量发生变化，从而激发起感应电压这种由一个线圈的交变电流在另一个线圈中产生感应电压的现象叫做互感现象由此产生的感应电压叫互感电压,,设有相邻放置的两个电感线圈L1、L2，如图7-1所示，匝数分别为N1和N2，通过的交变电流分别为i1和i2i1圈L1中产生的自磁通为Φ11，则线圈L1的自磁通链Ψ11=N1Φ11，同时Φ11的一部分通过线圈L2，称为互磁通Φ21，则线圈L1与线圈L2的互磁通链Ψ21=N2Φ21同理有i2圈L2中产生的自磁通为Φ22，自磁通链Ψ22=N2Φ22，与线圈L1的互磁通为Φ12，互磁通链Ψ12=N1Φ12,,,图7-1 互感线圈示意图,我们定义Ψ21与i1的比值为L1对L2的互感系数，用M21表示，定义Ψ12与i2的比值为L2对L1的互感系数，用M12表示，即 互感系数简称为互感，其单位与自感的单位相同，都是亨利(H)，可以证明M21=M12，因此，我们用M表示M21和M12，M为常数时，称为线性时不变互感。
,,,(7-1),(7-2),线圈L1和L2在电的方面是相互独立的，它们的相互影响是靠磁场相互联系起来，称为磁耦合线圈L1中电流i1产生的磁通与L2相交链的部分Φ21总是小于或等于产生的自磁通Φ11，线圈L2中电流i2产生的磁通与L1相交链的部分Φ12总是小于或等于产生的自磁通Φ22即互磁通总是小于或等于自磁通，若自磁通中的一部分不与另一线圈相交链，则该部分磁通称为漏磁通 为了表示两线圈耦合的紧密程度，引入了一个新的参数——耦合系数，用字母k表示，定义为,,,(7-3),由自感系数和互感系数的定义可得 代入式(7-3)可得,,,(7-4),所以耦合系数为互感系数与两线圈自感系数几何平均值的比值，是一个无量纲参数理想情况下无漏磁通，Φ21=Φ11，Φ12=Φ22，k=1所以，一般有 耦合系数k的大小取决于两个线圈的相对位置及磁介质的性质如果两个线圈紧密地缠绕在一起，则k值接近于1；若两线圈相距较远，或线圈的轴线相互垂直放置，则k值很小甚至接近于零当k=0时，说明两线圈之间没有耦合(相隔很远或相互垂直放置甚至加上磁屏蔽)；当k=1时，说明两线圈之间为全耦合(双线并绕，甚至放入铁芯)。
,,2.耦合电感线圈上的电压、电流关系 当两个耦合电感线圈上都有电流通过时，在L1中，若自磁通Φ11与互磁通Φ12方向相同，则称为磁通相助；同理，在L2中，若自磁通Φ22与互磁通Φ21方向相同，磁通也相助即两耦合线圈的自磁通与互磁通方向相同，如图7-2所示 根据自感和互感的定义，有以下关系式 对于电感L1，有 Ψ1=Ψ11+Ψ12=L1i1+Mi2 ,,,,图7-2 磁通相助电路图,对于电感L2，有 Ψ2=Ψ22+Ψ21=L2i2+Mi1 如图7-2所示，设i1与u1、i2与u2参考方向关联，根据电磁感应定律，两线圈上电压与电流的关系如下： 对于电感L1，有 对于电感L2，有 ,,(7-5a),,(7-5b),式(7-5)中第一项是由自感产生的自感电压，第二项是由耦合产生的互感电压即两耦合线圈的自磁通与互磁通相助时，线圈电压等于自感电压u′与互感电压u″之和 同理，当两耦合线圈的自磁通与互磁通方向相反时，即在L1中，自磁通Φ11与互磁通Φ12方向相反，则称为磁通相消；在L2中，自磁通Φ22与互磁通Φ21方向相反，磁通也相消，如图7-3所示图7-3 磁通相消电路图,对于电感L1，有 Ψ1=Ψ11－Ψ12=L1i1－Mi2 对于电感L2，有 Ψ2=Ψ22－Ψ21=L2i2－Mi1 如图7-3所示，设i1与u1、i2与u2参考方向关联，根据电磁感应定律，两线圈上电压与电流的关系如下： 对于电感L1，有,,,(7-6a),,,对于电感L2，有 所以，当两耦合线圈的自磁通与互磁通相消时，线圈电压等于自感电压u′与互感电压u″之差。
,,(7-6b),7.1.2 互感线圈的同名端 综上所述，耦合电感线圈上的电压等于自感电压与互感电压的代数和在上述内容中，分析电压、电流关系时，给定了两个条件：①规定了电压与电流的参考方向关联；②已知线圈的绕向，通过安培定则确定磁通的方向但是在工程实践中，线圈的绕制方向从外观上无法看出；且无法画出耦合电感线圈电路模型，很不方便所以，为了表示线圈的相对绕向以确定互感电压的极性，常采用标记同名端的方法,,1．同名端的规定 如图7-4(a)所示，i1与u1、i2与u2参考方向关联，两个电感线圈L1、L2磁通相助，所产生的磁通是相互增强的，那么，两电流同时流入(或流出)的端钮a和c就是同名端，用标记“·”或“*”表示当电感线圈L2的绕制方向发生变化时，要使两线圈的磁通相助，则电压、电流方向应如图7-4(b)所示 根据上述分析，同名端的定义为自感电压与互感电压极性相同的端钮因此，可将图7-4所示的耦合电感线圈用图7-5所示的电路模型来表示,,,图7-4 磁通相助同名端标定示意图,,图7-5 磁通相助电路模型,2．同名端的实验判定方法 (1)直流法如图7-6(a)所示，给线圈L1的两个端钮1和2之间接直流电压源，线圈L2的两个端钮3和4之间接直流检流计G。
当开关S闭合瞬间检流计G正向偏转(右偏)，则1和3为同名端；若检流计G反向偏转，则1和4为同名端 (2)交流法如图7-6(b)所示，给线圈L1的两个端钮1和2之间接交流电压源u(t)，用万用表分别测量各接线端的电压(有效值)U12、U13和U34，若U12=│U13－U34│，则1和3为同名端；若U12=U13+U34，则1和4为同名端,,,图7-6 实验法判定同名端电路图,【例7-1】 写出图7-7所示互感线圈端电压u1和u2的表达式 解 对于图7-7(a)，两耦合线圈的自磁通与互磁通相助，有 对于图7-7(b)，两耦合线圈的自磁通与互磁通相消，有,,,,,,,图7-7 例7-1图,对于图7-7(c)，L1的电压、电流参考方向非关联，所以i1的关联方向与图示参考方向相反，两耦合线圈的自磁通与互磁通相助，有 对于图7-7(d)，两耦合线圈的自磁通与互磁通相助，有,,,,,,,7.2 互感线圈的串、并联 具有互感作用的两电感线圈，每个线圈上的电压不但与本线圈的电流变化率有关，而且与另一线圈上的电流变化率有关其电压、电流关系又因同名端位置及电压、电流参考方向的不同而有所区别，这给含有互感的电路的分析带来了不便。
本节主要通过电路等效的方法去掉互感耦合，从而简化分析方法,,7.2.1 互感线圈的串联等效 图7-8(a)所示电路中，两电感线圈L1、L2串联，它们相连的端钮是异名端，这种形式的串联称为顺向串联 根据电路中所设电压、电流参考方向及互感线圈上的电压、电流关系，可得,,(7-7),,图7-8 电感顺向串联电路图,式(7-7)中 Lab=L1+L2+2M (7-8) 称为两互感线圈顺向串联时的等效电感，因此可画出图7-8(a)所示电路的等效电路图，如图7-8(b)所示 图7-9(a)所示电路中，两电感线圈L1、L2串联，它们相连的端钮是同名端，这种形式的串联称为反向串联,,,图7-9 电感反向串联电路图,根据电路中所设电压、电流参考方向及互感线圈上的电压、电流关系，可得 式中 Lab=L1+L2－2M (7-9) 称为两互感线圈反向串联时的等效电感，因此可画出图7-9(a)所示电路的等效电路图，如图7-9(b)所示例7-2】计算图7-10所示电路中的等效电感Lab 解 根据式(7-8)、式(7-9)可得 对于图7-10(a) Lab=L1+L2+2M=10H 对于图7-10(b) Lab=L1+L2－2M=4H,,,图7-10 例7-2图,7.2.2 互感线圈的并联等效 如图7-11(a)所示电路中，两电感线圈L1、L2并联，它们相连的端钮是同名端，这种形式的并联称为同侧并联。
电路中电压、电流参考方向如图7-11(a)所示，根据KCL，可列出节点电流方程为 i=i1+i2 (7-10) 根据互感的电压、电流关系，可得 ,,(7-11),,图7-11 电感线圈同侧并联电路图,设外加正弦交流电压u=Umsinωt，则式(7-10)、式(7-11)可改写成相量形式，即 解上列方程组可得 式中,,,,(7-12),称为两互感线圈同侧并联时的等效电感，因此可画出图7-11(a)所示电路的等效电路图，如图7-11(b)所示 如图7-12(a)所示电路中，两电感线圈L1、L2并联，它们相连的端钮是异名端，这种形式的并联称为异侧并联 电路中电压、电流参考方向如图7-12(a)所示，根据KCL，可列出节点电流方程为 i=i1+i2 (7-13) 根据互感的电压、电流关系，可得,,,(7-14),,图7-12 电感线圈异侧并联电路图,设外加正弦交流电压u=Umsinωt，则式(7-13)、式(7-14)可改写成相量形式，即 解上列方程组可得 式中 ,,,,,(7-15),称为两互感线圈异侧并联时的等效电感，因此可画出图7-12(a)所示电路的等效电路图，如图7-12(b)所示。
综上所述，两电感并联时等效电感表达式可写为 上式中当两电感同侧并联时取“－”，异侧并联时取“+” 因为等效电感应始终大于等于零，因此式(7-16)中分子部分应满足L1L2－M2≥0，即 (7-17) 所以可得：互感M的最大值为,,(7-16),,,【例7-3】 计算图7-13所示电路中两电感并联的等效电感Lab 解 图7-13(a)中，两电感L1、L2为同侧并联，根据式(7-12)可得 图7-13(b)中，两电感L1、L2为异侧并联，根据式(7-15)可得,,,,,图7-13 例7-3图,,7.3 理想变压器 变压器是各种电气设备和电子设备中应用非常广泛的一种多端子基本电路元件，其主要作用是利用互感线圈之间的磁耦合进行能量或信号的传递本节主要介绍变压器在理想 条件下的主要性能,,1．变压器的理想化模型 理想变压器是由实际变压器抽象出来的一种理想化模型，若实际变压器满足以下三个理想条件：①全耦合(耦合系数k=1)；②自感系数L1、L2为无穷大，且L1/L2为常数；③无损耗，即不消耗能量,也不储存能量，仅起到一个变换参数的作用，即可将其视为理想变压器，此时制作变压器的材料为理想材料，绕制线圈的导线接近超导体，铁芯导磁率为无穷大。
根据以上条件，理想化的变压器电路模型如图7-14所示，图中N1线圈一般与电源或信号源连接，作为能量或信号的输入端，称做初级线圈或初级绕组，简称初级或原方N2线圈一般与负载连接，作为能量或信号的输出端，称做次级线圈或次级绕组，简称次级或副方,,,图7-14 理想变压器电路模型,2．理想变压器的主要性能 理想铁芯变压器的结构如图7-15所示，初、次级线圈的匝数分别为N1、N2 由于是理想状态，所以线圈产生的自磁通与互磁通相等均为Φ，有以下关系： 1)理想变压器的电压关系 对于线圈N1，有 对于线圈N2，有,,,,,图7-15 理想变压器结构示意图,联立上述两式可得 上式即为理想变压器的变压关系式，式中，n称为匝数比或变压比，若电压为有效值，则变压比的表。