1998 年考研数学一真题及答案一、填空题 ( 此题共 5 小题 ,每题 3 分, 总分值 15 分 .) (1) 20112limxxxx . (2) 设1()(),zf xyyxyfx具有二阶连续导数, 那么2zx y . (3) 设L为椭圆221,43xy其周长记为a, 那么22(234)Lxyxyds . (4) 设A为n阶矩阵 ,0A,*A为A的伴随矩阵 ,E为n阶单位矩阵 . 假设A有特征值,那么*2()AE必有特征值 . (5) 设平面区域D由曲线1yx及直线20,1,yxxe所围成 ,二维随机变量(, )X Y在区域D上服从均匀分布, 那么(,)X Y关于X的边缘概率密度在2x处的值为_ . 二、选择题 ( 此题共 5小题 , 每题 3分 , 共15分.)(1) 设( )f x连续 , 那么220()xdtf xt dtdx( ) (A) 2()xfx (B) 2()xf x (C) 22()xf x (D) 22()xfx(2) 函数23( )(2)f xxxxx不可导点的个数是 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (3) 函数( )yy x在任意点x处的增量2,1y xyx且当0 x时,是x的高阶无穷小 ,(0)y, 那么(1)y等于 ( ) (A) 2 (B)(C) 4e (D) 4e(4) 设矩阵111222333abcabcabc是满秩的 , 那么直线333121212xaybzcaabbcc与直线111232323xaybzcaabbcc ( ) (A) 相交于一点 (B) 重合(C) 平行但不重合 (D) 异面(5) 设AB、是两个随机事件, 且0()1,( )0,(|)(|),P AP BP BAP BA那么必有( ) (A) (|)(|)P A BP A B (B) (|)(|)P A BP A B(C) ()( ) ()P ABP A P B (D) ()( )()P ABP A P B三、 ( 此题总分值 5分) 求直线11:111xyzL在平面:210 xyz上的投影直线0L的方程 ,并求0L绕y轴旋转一周所成曲面的方程. 四、 ( 此题总分值 6分) 确定常数, 使在右半平面0 x上的向量42242( , )2()()A x yxy xyixxyj为某二元函数( , )u x y的梯度 , 并求( ,)u x y. 五、 ( 此题总分值 6分) 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测要求 , 需确定仪器的下沉深度y( 从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系. 设仪器在重力作用下, 从海平面由静止开场铅直下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用. 设仪器的质量为m, 体积为B, 海水比重为, 仪器所受的阻力与下沉速度成正比, 比例系数为(0)k k. 试建立y与v所满足的微分方程, 并求出函数关系式y= y v. 六、 ( 此题总分值 7分) 计算212222(),()axdydzzadxdyxyz其中为下半球面222zaxy的上侧 ,a为大于零的常数 . 七、 ( 此题总分值 6分) 求2sinsinsinlim.1112nnnnnnn八、 ( 此题总分值 5分) 设正项数列na单调减少 , 且1( 1)nnna发散 , 试问级数11()1nnna是否收敛？并说明理由 . 九、 ( 此题总分值 6分) 设( )yf x是区间0,1上的任一非负连续函数. (1) 试证存在0(0,1)x, 使得在区间00,x上以0()f x为高的矩形面积, 等于在区间0,1x上以( )yfx为曲边的梯形面积. (2) 又设( )f x在区间(0,1)内可导 , 且2 ( )( ),f xfxx证明 (1) 中的0 x是唯一的 . 十、 ( 此题总分值 6分) 二次曲面方程2222224xayzbxyxzyz,可以经过正交变换xyPz化为椭圆柱面方程2244, 求,a b的值和正交矩阵P. 十一、 ( 此题总分值 4分) 设A是n阶矩阵 , 假设存在正整数k, 使线性方程组0kA x有解向量, 且10kA, 证明：向量组1,kAA是线性无关的. 十二、 ( 此题总分值 5分) 线性方程组1111221,222112222,221 122,220,0,( )0nnnnnnnnna xa xaxa xa xaxIa xa xax的一个根底解系为11121,221222,212,2(,) ,(,) ,(,)TTTnnnnnnbbbbbbbbb, 试写出线性方程组1111221,222112222,221122,220,0,()0nnnnnnnnnb yb ybyb yb ybyIIb yb yby的通解 , 并说明理由 . 十三、 ( 此题总分值 6分) 设两个随机变量,X Y互相独立 , 且都服从均值为0、方差为12的正态分布 , 求随机变量XY的方差 . 十四、 ( 此题总分值 4分) 从正态总体2(3.4,6 )N中抽取容量为n的样本 , 假如要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95, 问样本容量n至少应取多大？附表：标准正态分布表221( )2tzzedtz 1.28 1.645 1.96 2.33 ( )z0.900 0.950 0.975 0.990 十五、 ( 此题总分值 4分) 设某次考试的学生成绩服从正态分布, 从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5 分,标准差为 15分, 问在显著性程度0.05 下, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70分？并给出检验过程. 附表：t分布表 ( )( )pP t ntnpp( )ptn0.95 0.975 n351.68962.0301 361.68832.0281 答案一、填空题 ( 此题共 5 小题 ,每题 3 分, 总分值 15 分 .) (1) 【答案】14【解析】 方法 1：用四那么运算将分子化简, 再用等价无穷小交换, 原式20112112lim112xxxxxxxx220114lim112xxxxxx220211lim4xxx222201112112lim24xxxxx. 方法 2：采用洛必达法那么. 原式02112limxxxx洛0112 12 1lim2xxxx2011lim41xxxxx011lim4xxxx0112 12 1lim4xxx洛011lim12 12 144xxx. 方法 3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至2x项, 1x22111128xxox,1x22211128xxox, 从而原式2222122011111122828limxxxoxxxoxx222122014limxxoxoxx14. (2) 【答案】()()()yfxyxyyxy【分析】因为1()(),zf xyyxyfx具有二阶连续导数, 利用混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关, 先求zx或zy均可 , 但不同的选择可能影响计算的繁简. 方法 1：先求zx.211()()()()()zyf xyyxyfxyfxyyxyxxxxx, 2221()()()11()()()()()11()()()()()()()().zyfxyfxyyxyx yyxxyfxy xfxyfxy xxyyxyxxxfxyfxyyfxyxyyxyxxyfxyxyyxy方法 2：先求zy. 11()()()()()()()(),zf xyyxyfxy xxyyxyyy xxfxyxyyxy22()()()()()().zzfxyxyyxyx yy xxyfxyxyyxy方法 3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：21()()1()()()()()()().zf xyyxyx yxyxyxfxy xyxyxxyfxyyxyxyyfxyxyyxy评注：此题中 ,f中的中间变量均为一元, 因此此题本质上是一元复合函数的求导,只要注意到对x求导时 ,y视为常数；对y求导时 ,x视为常数就可以了.(3) 【答案】12a【解析】L关于x轴(y轴) 对称 ,2xy关于y( 关于x) 为奇函数20Lxyds. 又在L上, 22222213412(34)1212 .43LLxyxyxydsdsa因此 , 原式222(34)12LLxydsxydsa. 【相关知识点】 对称性： 平面第一型曲线积分,lfx y ds, 设,fx y在l上连续 , 假如l关于y轴对称 ,1l为l上0 x的局部 , 那么有结论：12,0,llfx y dsfx yxfx y dsfx yx关于 为偶函数 ,，关于 为奇函数 .类似地 , 假如l关于x轴对称 ,2l为l上0y的局部 , 那么有结论：22,0,llfx y dsfx yyfx y dsfx yy关于 为偶函数 ,，关于 为奇函数 .(4) 【答案】21A【解析】 方法 1：设A的对应于特征值的特征向量为, 由特征向量的定义有,(0)A. 由0A, 知0( 假如 0是A的特征值0A), 将上式两端左乘A, 得O 1 2 2exy1yx1(2,)2A AAAA, 从而有*,AA( 即A的特征值为A). 将此式两端左乘A, 得22*AAAA. 又E, 所以22*1AAE, 故*2()AE的特征值为21A. 方法 2：由0A,A的特征值0( 假如 0是A的特征值0A), 那么1A有特征值1,A的特征值为A；*2()AE的特征值为21A. 【相关知识点】1. 矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵 , 假设存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立 , 那么称是矩阵A的特征值 , 称非零向量X是矩阵A的特征向量 . 由为A的特征值可知, 存在非零向量使A, 两端左乘1A, 得1A. 因为0, 故0, 于是有11A. 按特征值定义知1是1A的特征值 . 假设AXX, 那么()()AkE XAXkXk X. 即假设是A的特征值 , 那么AkE的特征值是k. 2. 矩阵A可逆的充要条件是0A, 且11AAA. (5) 【答案】14【解析】首先求(,)X Y的结合概率密度( , )f x y. 21( , ) |1,0Dx yxeyx, 区域D的面积为22111ln2.eeDSdxxx1,( , ),( , )20,x yDf x y其他.其次求关于X的边缘概率密度. 当1x或2xe时,( )0Xfx；当21xe时,1011( )( ,)22xXfxf x y dydyx. 故1(2).4Xf二、选择题 ( 此题共 5小题 , 每题 3分 , 共15分.)(1) 【答案】 (A) 【解析】为变限所定义的函数求导数, 作积分变量代换22,uxt2: 0:0txu x,222dud xttdt12dtdut, 222022220001()( )211( )( ),22xxxxtf xtdt uxttf udttf u duf u du2220022221()( )211()() 2(),22xxddtfxtdtf u dudxdxf xxf xxxfx选(A). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：假设( )( )( )( )ttF tf x dx,( ) t,( ) t均一阶可导 , 那么( )( )( )( )( )F ttfttft. (2) 【答案】 (B) 【解析】当函数中出现绝对值号时, 就有可能出现不可导的“尖点, 因为这时的函数是分段函数 .22( )(2)1f xxxx x, 当0,1x时( )f x可导 , 因此只需在0, 1x处考察( )f x是否可导 . 在这些点我们分别考察其左、右导数. 由22222222(2) (1),1,(2) (1),10,( )(2) (1),01,(2) (1), 1,xxxxxxxx xxf xxxxxxxxx xx22111(2) (1)0( 1)limlim011xxfxfxxxxfxx, 22111(2) (1)0( 1)limlim011xxfxfxxxxfxx, 即( )f x在1x处可导 . 又22000(2) (1)0(0)。