2.4矩阵的初等变换

第四节,矩阵的初等变换 和初等矩阵,倍乘变换: 以非零常数c乘矩阵的某一行（列）；,(2) 倍加变换: 将矩阵的某一行(列)乘以非零常数 k 加到另一行（列）；,(3)对换变换: 将矩阵的某两行(列)位置对换统称为矩阵的初等变换,一、矩阵的初等变换,例：设,对A作如下初等行变换：,（注意这里的箭头符号）,交换1,3行,阶梯型矩阵,零行位于矩阵下方； 各非零行的首非零元的列标随着行标的增大而严格增大,继续作初等行变换：,行简化阶梯型矩阵,行简化阶梯型矩阵,各非零行的首非零元为1； 每个首非零元所在列的其余元素都为0.,定理： 任意一个矩阵都可以经过有限次 初等行变换化为阶梯型矩阵，并进而化为行简化阶梯型矩阵在求解方程组时会用到,将单位矩阵作一次初等变换所得到 的矩阵称为初等矩阵 三类初等矩阵为:,(1)初等倍乘矩阵Ei(c)；将单位矩阵第i行(或列)乘c ; Ei(c)=diag(1,…,1,c,1,…1),二、初等矩阵,(3)初等对换矩阵Eij：将单位矩阵的第i, j行(或列)对换;,(2)初等倍加矩阵Eij(k)：将单位矩阵第i行乘k加到第j行， 或将第j列乘k加 i 列 ;,,,初等矩阵左乘矩阵A相当于对A作相应的行变换, 初等矩阵右乘矩阵B相当于对B作相应的列变换,,,例,定理,,,初等矩阵都是可逆矩阵,且逆矩阵都是同类初等矩阵,(因为对初等矩阵再做一次同类型的初等变换 都可化为单位矩阵),定理,清楚了初等变换与初等矩阵的关系后，我们来研究可逆矩阵的另一种求法。

定理 可逆矩阵可以经过若干次初等变换 化为单位矩阵推论1.,可逆矩阵可以表示为若干初等矩阵的乘积,由PsP2 P1 A=E 得,证：,推论2.,对A做若干初等变换，将A化为单位矩阵E时， 同样的这些初等变换将单位矩阵E化为A1由PsP2 P1 A=E 得,证：,A1=Ps…P2 P1 = PsP2 P1E,也可用初等列变换求A的逆矩阵,用初等行变换求A的逆矩阵,例1 用初等行变换求矩阵A的逆矩阵解,,,解 因为BX－2X=BX－2IX=AT, 即(B－2I)X=AT,,,例2,练习:用初等行变换计算下列各题,,,,,,,,,,,答案,,1、,,2、,,,3、,。